Математический анализ - 1

Упражнение 1:

Номер 1

Какую неопределённость нужно раскрыть при вычислении предела функции :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Какую неопределённость нужно раскрыть при вычислении предела функции :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Какую неопределённость нужно раскрыть при вычислении предела функции :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 4

Какую неопределённость нужно раскрыть при вычислении предела функции :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 2:

Номер 1

Пусть  и  - бесконечно малые в точке  функции, для которых существует предел . Тогда  существует предел

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Пусть  и  - бесконечно большие в точке  функции, для которых существует предел . Тогда  существует предел

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Пусть  и  - бесконечно малые на бесконечности функции, для которых существует предел . Тогда  существует предел

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 4

Пусть  и  - бесконечно  большие на бесконечности функции, для которых существует предел . Тогда  существует предел

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 3:

Номер 1

Каким условиям в точке  должны удовлетворять функции  и , чтобы выполнялось правило Лопиталя:

Ответ:

(1)

- бесконечно малая и - math

бесконечно малая

(2)

- бесконечно большая и - math

бесконечно малая

(3)

- бесконечно малая и - math

бесконечно большая

(4)

и

непрерывны в точке math

(5)

и

дифференцируемы в окрестности точки math

(6) существует math

(7) существует math

Номер 2

Каким условиям в точке  должны удовлетворять функции  и , чтобы выполнялось правило Лопиталя:

Ответ:

(1)

- бесконечно большая и math

- бесконечно малая

(2)

- бесконечно малая и - math

бесконечно большая

(3)

и

непрерывны в точке math

(4)

и

дифференцируемы в проколотой окрестности точки math

(5) существует math

(6) существует math

Номер 3

Каким условиям на бесконечности должны удовлетворять функции  и , чтобы выполнялось правило Лопиталя:

Ответ:

(1)

- бесконечно большая и math

- бесконечно малая

(2)

- бесконечно малая и math

-бесконечно большая

(3)

и

непрерывны в точке math

(4)

и

дифференцируемы в окрестности точки math

(5) существует math

(6) существует math

Номер 4

Каким условиям в точке  должны удовлетворять функции  и , чтобы выполнялось правило Лопиталя:

Ответ:

(1)

- бесконечно малая и - бесконечно малая

(2)

- бесконечно большая и - бесконечно малая

(3)

- бесконечно малая и - бесконечно большая

(4)

и

непрерывны

(5)

и

дифференцируемы для достаточно больших math

(6) существует math

(7) существует math

Упражнение 4:

Номер 1

Пусть выполнены условия теоремы 4 (правило Лопиталя) для бесконечно малых функций  и . Тогда предел

Ответ:

(1) не существует

(2) равен math

(3) равен math

(4) равен нулю

(5) равен бесконечности

Номер 2

Пусть выполнены условия теоремы 5 (правило Лопиталя) для бесконечно больших функций  и . Тогда предел

Ответ:

(1) не существует

(2) равен math

(3) равен math

(4) равен нулю

(5) равен бесконечности

Номер 3

Пусть выполнены условия теоремы 6 (правило Лопиталя) для бесконечно больших функций  и  на бесконечности. Тогда предел

Ответ:

(1) не существует

(2) равен math

(3) равен math

(4) равен нулю

(5) равен бесконечности

Упражнение 5:

Номер 1

Какие утверждения справедливы:

Ответ:

(1) если math

и

- бесконечно малые в точке math

функции и существует предел math

, то существует также предел math

;

(2) для бесконечно малых в точке math

функций

и

, у которых и существует предел math

, также существует предел math

;

(3) если math

и

- бесконечно большие в точке math

функции и существует предел math

, то существует также предел math

;

(4) для бесконечно больших в точке math

функций

и

, у которых и существует предел math

, также существует предел math

;

Номер 2

Какие утверждения справедливы:

Ответ:

(1) если math

и

- бесконечно малые на бесконечности функции и существует предел math

, то существует также предел math

;

(2) для бесконечно малых на бесконечности функций math

и

, у которых и существует предел math

, также существует предел math

;

(3) если math

и

- бесконечно большие на бесконечности функции и существует предел math

, то существует также предел math

;

(4) для бесконечно больших на бесконечности функций math

и

, у которых и существует предел math

, также существует предел math

;

Упражнение 6:

Номер 1

Проверить выполнение условий теоремы 6 для применения правила Лопиталя при вычислении предела

Ответ:

(1)

- бесконечно большая и - math

бесконечно большая

(2)

и

дифференцируемы в окрестности точки math

(3) существует math

Математический анализ - 1 - тест 44