Программирование - тест 163

Упражнение 1:

---

Номер 1

Какова степень интерполяционного многочлена,
построенного по трем узлам
x0, x1, x2,
принимающего в этих узлах значения
y0, y1, y2?

Ответ:

---

Номер 2

Какова степень интерполяционного многочлена,
построенного по четырем узлам
x0, x1,
x2, x3,
принимающего в этих узлах значения
y0, y1,
y2, y3?

Ответ:

---

Номер 3

Пусть 2 многочлена p(x) и q(x)
степени 4 принимают в четырех попарно различных узлах
x0, x1,
x2, x3 одни и те же
значения
y0, y1,
y2, y3. Следует ли из
этого, что многочлены p(x) и q(x)
равны?

Ответ:

---

Упражнение 2:

---

Номер 1

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона, построенный
по узлам
x0, x1, ..., xn,
представляется формулой

pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a1(x-x0)(x-x1) + ... + an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)

Сколько действий необходимо выполнить, чтобы вычислить его значение
в некоторой точке x=t?

Ответ:

---

Номер 2

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона, построенный
по узлам
x0, x1, ..., xn и
принимающий в этих узлах значения
y0, y1, ..., yn,
представляется формулой

pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a1(x-x0)(x-x1) + ... + an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)

Сколько действий нужно выполнить, чтобы вычислить все его коэффициенты
a0, a1, ..., an?

Ответ:

---

Номер 3

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона, построенный
по узлам
x0, x1, ..., xn и
принимающий в этих узлах значения
y0, y1, ..., yn,
представляется формулой

pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a1(x-x0)(x-x1) + ... + an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)

Пусть коэффициенты
a0, a1, ..., an
многочлена pn(x)
уже вычислены. Мы добавляем новый узел xn+1,
значение в котором должно быть равно yn+1,
и строим новый многочлен Ньютона pn+1(x)
на единицу большей степени по узлам
x0, x1, ..., xn, xn+1
и значениям
y0, y1, ..., yn, yn+1.
Сколько действий нужно выполнить, чтобы вычислить все
коэффициенты нового многочлена?

Ответ:

---

Упражнение 3:

---

Номер 1

Для приближения функции, заданной на отрезке [a, b],
применяется сплайн-интерполяция. Для этого отрезок разбивается
на n частей точками
x0, x1, x2, ..., xn,
в которых заданы значения функции
y0, y1, y2, ..., yn,
На каждом из этих маленьких отрезков
[xi, xi+1] функция приближается
многочленом степени d, который на концах отрезка принимает
заданные значения. Пусть, помимо значений функции в узлах интерполяции
yi,
заданы также и значения ее производной
y'i в узлах; производная каждого интерполяционного
многочлена также должна принимать заданные значения
на концах отрезка [xi, xi+1].
Чему должна быть равна
степень d интерполяционных многочленов, из которых
составляется искомый сплайн?

Ответ:

---

Номер 2

Пусть неизвестная функция определена на отрезке [a, b],
причем на концах отрезка заданы ее значения
y0=f(a),
y1=f(b),
а также значения ее производной
y'0=f'(a),
y'1=f'(b).
Нужно приблизить функцию многочленом так, чтобы на концах отрезка
его значения, а также значения его производной совпадали со
значениями и производной функции. Какой должна быть
степень такого многочлена? (Укажите минимальную
степень, достаточную для решения этой задачи.)

Ответ:

---

Номер 3

Пусть неизвестная функция определена на отрезке [a, b],
причем на концах отрезка заданы ее значения
y0=f(a),
y1=f(b),
а также значения ее производной
y'0=f'(a),
y'1=f'(b).
Всегда ли существует многочлен степени 2 такой, что
на концах отрезка его значения и значения его производной
совпадают со значениями и производной функции?

Ответ:

---

Упражнение 4:

---

Номер 1

Пусть f(x) - гладкая функция,
заданная на отрезке [a, b], производная которой
по абсолютной величине не превышает некоторой константы.
Для приближенного вычисления интеграла от этой функции мы
применяем формулу прямоугольников, разбивая отрезок
[a, b] на n равных частей.
Какова точность вычисления интеграла в зависимости от n?

Ответ:

---

Номер 2

Пусть f(x) - гладкая функция,
заданная на отрезке [a, b], вторая производная которой
по абсолютной величине не превышает некоторой константы.
Для приближенного вычисления интеграла от этой функции мы
применяем формулу трапеций, разбивая отрезок
[a, b] на n равных частей.
Какова точность вычисления интеграла в зависимости от n?

Ответ:

---

Номер 3

Пусть f(x) - гладкая функция,
заданная на отрезке [a, b], третья производная которой
по абсолютной величине не превышает некоторой константы.
Для приближенного вычисления интеграла от этой функции мы
применяем формулу Симпсона (парабол), разбивая отрезок
[a, b] на 2*n равных частей.
Какова точность вычисления интеграла в зависимости от n?

Ответ:

---

Упражнение 5:

---

Номер 1

Пусть функция
f(x) = p*x2 + q*x + r
(многочлен степени 2), заданная на отрезке [a, b],
принимает значения
y0, y1, y2
в точках a, (a+b)/2, b
(на концах и в середине отрезка). Чему равен интеграл от этой
функции по отрезку [a, b]?

Ответ:

---

Номер 2

Пусть функция
f(x) = p*x2 + q*x + r
(многочлен степени 2) задана на отрезке [a, b].
Пусть отрезок [a, b] разделен на 4 равных части;
обозначим концы этих отрезков через
x0, x1,
x2, x3, x4:

    h = (b-a)/4, xi = a+i*h, i = 0,1,2,3,4.

Обозначим

    yi = f(xi).

Чему равен интеграл функции f(x)
по отрезку [a, b]? Отметьте все правильные ответы.

Ответ:

---

Номер 3

Приближенное значение интеграла по отрезку [a, b]
от функции y = f(x) вычисляется по формуле

    1/6 * (y0 + 4*y1 + y2) * (b - a).

где

    y0 = f(a), y1 = f((a+b)/2), y2 = f(b).

Пусть f(x) - многочлен некоторой степени.
Какова максимальная степень многочленов, для которых эта формула
всегда дает точное значение интеграла?

Ответ:

---