Основы теории нечетких множеств

Упражнение 1:

Номер 1

Отношением сходства называется:

Ответ:

(1) антисимметричное, транзитивное и рефлексивное отношение

(2) антисимметричное, транзитивное и антирефлексивное отношение

(3) симметричное и рефлексивное отношение

(4) антисимметричное и рефлексивное отношение

(5) симметричное и антитранзитивное отношение

Номер 2

Отношением различия называется:

Ответ:

(1) антисимметричное, транзитивное и рефлексивное отношение

(2) антисимметричное, транзитивное и антирефлексивное отношение

(3) симметричное и рефлексивное отношение

(4) антисимметричное и рефлексивное отношение

(5) симметричное и антирефлексивное отношение

Номер 3

Отношением нестрогого порядка называется:

Ответ:

(1) антисимметричное, транзитивное и рефлексивное отношение

(2) антисимметричное, транзитивное и антирефлексивное отношение

(3) симметричное и рефлексивное отношение

(4) антисимметричное и рефлексивное отношение

(5) симметричное и антитранзитивное отношение

Номер 4

Строгим порядком называется:

Ответ:

(1) антисимметричное, транзитивное и рефлексивное отношение

(2) антисимметричное, транзитивное и антирефлексивное отношение

(3) симметричное и рефлексивное отношение

(4) антисимметричное и рефлексивное отношение

(5) симметричное и антитранзитивное отношение

Номер 5

Слабым порядком называется:

Ответ:

(1) антисимметричное, транзитивное и рефлексивное отношение

(2) антисимметричное, транзитивное и антирефлексивное отношение

(3) симметричное и рефлексивное отношение

(4) рефлексивное отношение

(5) симметричное и антитранзитивное отношение

Упражнение 2:

Номер 1

Какое отношение является двойственным к отношению сходства?

Ответ:

(1) отношение различия

(2) отношение порядка

(3) отношение эквивалентности

Номер 2

Отношением подобия называется:

Ответ:

(1) транзитивное отношение различия

(2) транзитивное отношение порядка

(3) транзитивное отношение сходства

Номер 3

Отношение сходства можно задать с помощью:

Ответ:

(1) матрицы сходства

(2) неориентированного взвешенного графа

(3) ориентированного взвешенного графа

Номер 4

Метрика является двойственным отношением к отношению:

Ответ:

(1) (∧)- транзитивного сходства

(2) (Δ)-транзитивного сходства

(3) (·)-транзитивного сходства

(4) порядка, удовлетворяющего условию метрической транзитивности

Упражнение 3:

Номер 1

Ультраметрикой называется:

Ответ:

(1) отношение различия, удовлетворяющее условию, двойственному к условию (∧)-транзитивности

(2) отношение различия, удовлетворяющее условию, двойственному к условию (Δ)-транзитивности

(3) отношение различия, удовлетворяющее условию, двойственному к условию (·)-транзитивности

(4) отношение порядка, удовлетворяющее условию ультраметрической транзитивности

Номер 2

Метрикой называется:

Ответ:

(1) отношение различия, удовлетворяющее условию, двойственному к условию (∧)-транзитивности

(2) отношение различия, удовлетворяющее условию, двойственному к условию (Δ)-транзитивности

(3) отношение различия, удовлетворяющее условию, двойственному к условию (·)-транзитивности

(4) отношение порядка, удовлетворяющее условию ультраметрической транзитивности

Номер 3

Ультраметрика является отношением, двойственным к отношению:

Ответ:

(1) (∧)-транзитивного сходства

(2) (Δ)-транзитивного сходства

(3) (·)-транзитивного сходства

(4) порядка, удовлетворяющего условию ультраметрической транзитивности

Номер 4

Каким из перечисленных ниже свойств обладает отношение подобия?

Ответ:

(1) каждый α-уровень является обычным отношением эквивалентности

(2) каждый α-уровень является обычным отношением порядка

(3) для любых x, y, z ∈ U из трех чисел μ(x, y), μ(y, z), μ(x, z) по крайней мере два числа равны друг другу и по величине превышают третье

(4) для любых x, y, z ∈ U из трех чисел μ(x, y), μ(y, z), μ(x, z) по крайней мере два числа равны друг другу и по величине меньше третьего

Номер 5

В каком случае отношение различия D может быть выражено через отношение сходства S с помощью формулы μ_D(x,y)=1-μ_S(x,y)?

Ответ:

(1) когда L=[0, 1]

(2) когда D ⊆ R², S ⊆ R²

(3) всегда

(4) никогда

Упражнение 4:

Номер 1

Какое из нижеперечисленных свойств транзитивности является свойством ацикличности?

Ответ:

(1) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)>0

(2) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,z)≥0

(3) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)≥P(x,y)·P(y,z)

(4) ∀x₀, x₁,..., x_n P(x₀, x₁)>0,P(x₁,x₂)>0,...,P(x_n-1,x_n)>0 ⇒ P(x₀,x_n)≥0

(5) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,z)≥P(x,y)∨P(y,z)

(6) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)>P(x,y)∨P(y,z)

(7) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)≥P(x,y)∧P(y,z)

(8) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,z)=P(x,y)∨P(y,z)

(9) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,y)+P(y,z)≥P(x,z)≥P(x,y)∨P(y,z)

Номер 2

Какое из нижеперечисленных свойств транзитивности является свойством отрицательной транзитивности?

Ответ:

(1) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)>0

(2) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,z)≥0

(3) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)≥P(x,y)·P(y,z)

(4) ∀x₀, x₁,..., x_n P(x₀, x₁)>0,P(x₁,x₂)>0,...,P(x_n-1,x_n)>0 ⇒ P(x₀,x_n)≥0

(5) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,z)≥P(x,y)∨P(y,z)

(6) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)>P(x,y)∨P(y,z)

(7) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)≥P(x,y)∧P(y,z)

(8) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,z)=P(x,y)∨P(y,z)

(9) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,y)+P(y,z)≥P(x,z)≥P(x,y)∨P(y,z)

Номер 3

Какое из нижеперечисленных свойств транзитивности является свойством сильной транзитивности?

Ответ:

(1) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)>0

(2) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,z)≥0

(3) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)≥P(x,y)·P(y,z)

(4) ∀x₀, x₁,..., x_n P(x₀, x₁)>0,P(x₁,x₂)>0,...,P(x_n-1,x_n)>0 ⇒ P(x₀,x_n)≥0

(5) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,z)≥P(x,y)∨P(y,z)

(6) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)>P(x,y)∨P(y,z)

(7) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)≥P(x,y)∧P(y,z)

(8) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,z)=P(x,y)∨P(y,z)

(9) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,y)+P(y,z)≥P(x,z)≥P(x,y)∨P(y,z)

Номер 4

Какое из нижеперечисленных свойств транзитивности является свойством метрической транзитивности?

Ответ:

(1) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)>0

(2) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,z)≥0

(3) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)≥P(x,y)·P(y,z)

(4) ∀x₀, x₁,..., x_n P(x₀, x₁)>0,P(x₁,x₂)>0,...,P(x_n-1,x_n)>0 ⇒ P(x₀,x_n)≥0

(5) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,z)≥P(x,y)∨P(y,z)

(6) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)>P(x,y)∨P(y,z)

(7) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)≥P(x,y)∧P(y,z)

(8) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,z)=P(x,y)∨P(y,z)

(9) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,y)+P(y,z)≥P(x,z)≥P(x,y)∨P(y,z)

Номер 5

Какое из нижеперечисленных свойств транзитивности является свойством квазисерийности?

Ответ:

(1) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)>0

(2) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,z)≥0

(3) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)≥P(x,y)·P(y,z)

(4) ∀x₀, x₁,..., x_n P(x₀, x₁)>0,P(x₁,x₂)>0,...,P(x_n-1,x_n)>0 ⇒ P(x₀,x_n)≥0

(5) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,z)≥P(x,y)∨P(y,z)

(6) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)>P(x,y)∨P(y,z)

(7) ∀x,y,z P(x,y)>0,P(y,z)>0 ⇒ P(x,z)≥P(x,y)∧P(y,z)

(8) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,z)=P(x,y)∨P(y,z)

(9) ∀x,y,z P(x,y)≥0,P(y,z)≥0 ⇒ P(x,y)+P(y,z)≥P(x,z)≥P(x,y)∨P(y,z)

Упражнение 5:

Номер 1

Пусть P – отношение строгого порядка. Тогда отношение P∪P^-1 является

Ответ:

(1) отношением сходства

(2) отношением различия

(3) отношением нестрого порядка

(4) отношением слабого порядка

Номер 2

Пусть P – отношение строгого  порядка. Тогда отношение P∪P^-1 является

Ответ:

(1) отношением сходства

(2) отношением различия

(3) отношением нестрогого порядка

(4) отношением слабого порядка

Номер 3

Пусть P – отношение строгого  порядка. Тогда отношение P^-1  является

Ответ:

(1) отношением сходства

(2) отношением различия

(3) отношением нестрогого порядка

(4) отношением слабого порядка

Номер 4

Отношение R  задается с помощью формулы:

Ответ:

(1) μ_R(x,y)=1-μ_R(x,y)

(2) μ_R(x,y)=¬μ_R(x,y)

(3) μ_R(x,y)=μ_R(y,x)

Номер 5

Отношение R^-1  задается с помощью формулы:

Ответ:

(1) μ_R(x,y) = 1-μ_R(x,y)

(2) μ_R(x,y)=¬μ_R(x,y)

(3) μ_R(x,y)=μ_R(y,x)

Основы теории нечетких множеств - тест 3