Исследование операций и модели экономического поведения

Упражнение 1:

Номер 1

Выберите правильное утверждение: ситуацией равновесия по Нэшу в игре <X₁,X₂,M₁(x₁,x₂), M₂(x₁,x₂)>  называется пара стратегий (x₁⁰,x₂⁰),удовлетворяющая соотношениям

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Дуополия с назначением выпусков. Два производителя одного и того же товара могут производить его в объемах 0≤x_i≤0.5, i=1,2. Затраты на выпуск единицы продукции составляют c_i(x_i)=C_ix_i,C_i>0. Товар подается на рынке по цене p(x)=1-x, где x=x₁+x₂ - совокупное предложение товара. Прибыль i-го производителя от выпуска товара в объеме  x_i описывается функцией M_i(x_ix₂)=x_ip(x)-c_i(x_i). Какие объемы выпуска являются устойчивыми в дуополии с назначением выпусков (образуют ситуацию равновесия по Нэшу) при C₁=0,5, C₂=0,5?

Ответ:

(1) x₁⁰=1/3, x₂⁰=1/3

(2) x₁⁰=1/2, x₂⁰=1/2

(3) x₁⁰=1/6, x₂⁰=1/6

Номер 3

Дуополия с назначением выпусков. Два производителя одного и того же товара могут производить его в объемах 0≤x_i≤0.5, i=1,2. Затраты на выпуск единицы продукции составляют c_i(x_i)=C_ix_i,C_i>0. Товар подается на рынке по цене p(x)=1-x, где x=x₁+x₂ - совокупное предложение товара. Прибыль i-го производителя от выпуска товара в объеме  x_i описывается функцией M_i(x_ix₂)=x_ip(x)-c_i(x_i). Какие объемы выпуска являются оптимальными по Парето (эффективными) в дуополии с назначением выпусков при C₁=0,5, C₂=0,5?

Ответ:

(1) x₁⁰=1/8, x₂⁰=1/8

(2) x₁⁰=1/6, x₂⁰=1/6

(3) x₁⁰=1/4, x₂⁰=0

(4) x₁⁰=1/4, x₂⁰=1/4

Упражнение 2:

Номер 1

Выберите правильное утверждение: пара стратегий (x₁,x₂) называется оптимальной по Парето в игре  <X₁,X₂,M₁(x₁,x₂), M₂(x₁,x₂)>, если

Ответ:

(1) из решения неравенств M₁(x₁,x₂)≥M₁(x₁,x₂), M₂(x₁,x₂)≥M₂(x₁,x₂) следует x₁=x₁, x₂=x₂

(2)

(3) (∀x₁,x₂)M₁(x₁,x₂)≥M₁(x₁,x₂),M₂(x₁,x₂)≥M₂(x₁,x₂)

Номер 2

Дуополия с назначением выпусков. Два производителя одного и того же товара могут производить его в объемах 0≤x_i≤0.5, i=1,2. Затраты на выпуск единицы продукции составляют c_i(x_i)=C_ix_i,C_i>0. Товар подается на рынке по цене p(x)=1-x, где x=x₁+x₂ - совокупное предложение товара. Прибыль i-го производителя от выпуска товара в объеме  x_i описывается функцией M_i(x_ix₂)=x_ip(x)-c_i(x_i). Какие объемы выпуска являются устойчивыми (образуют ситуацию равновесия по Нэшу) в дуополии с назначением выпусков при C₁=0,4, C₂=0,4

Ответ:

(1) x₁⁰=1/3, x₂⁰=1/3

(2) x₁⁰=1/5, x₂⁰=1/5

(3) x₁⁰=1/6, x₂⁰=1/6

Номер 3

Дуополия с назначением выпусков. Два производителя одного и того же товара могут производить его в объемах 0≤x_i≤0.5, i=1,2. Затраты на выпуск единицы продукции составляют c_i(x_i)=C_ix_i,C_i>0. Товар подается на рынке по цене p(x)=1-x, где x=x₁+x₂ - совокупное предложение товара. Прибыль i-го производителя от выпуска товара в объеме  x_i описывается функцией M_i(x_ix₂)=x_ip(x)-c_i(x_i). Какие объемы выпуска являются оптимальными по Парето (эффективными) в дуополии с назначением выпусков при C₁=0,4, C₂=0,4

Ответ:

(1) x₁⁰=1/3, x₂⁰=1/3

(2) x₁⁰=3/20, x₂⁰=3/20

(3) x₁⁰=1/5, x₂⁰=1/5

(4) x₁⁰=0, x₂⁰=3/10

Упражнение 3:

Номер 1

Какое из утверждений справедливо для игры  <X₁,X₂,M₁(x₁,x₂), M₂(x₁,x₂)>, где Х₁=Х₂=[-1,1],  M₁(x₁,x₂)= M₂(x₁,x₂)=x₁x₂?

Ответ:

(1) множество ситуаций равновесия по Нэшу совпадает с множеством решений, оптимальных по Парето

(2) можество ситуаций равновесия по Нэшу не пересекается с множеством решений, оптимальных по Парето

(3) множество ситуаций равновесия по Нэшу включает в себя множество решений, оптимальных по Парето

Номер 2

Какие объемы выпуска являются устойчивыми (образуют ситуацию равновесия по Нэшу) в дуополии с назначением выпусков при  C₁=0,7, C₂=0,7

Ответ:

(1) x₁⁰=1/10, x₂⁰=1/10

(2) x₁⁰=1/8, x₂⁰=1/8

(3) x₁⁰=1/6, x₂⁰=1/6

Номер 3

Какие объемы выпуска являются оптимальными по Парето (эффективными) в дуополии с назначением выпусков при C₁=0,7, C₂=0,7

Ответ:

(1) x₁⁰=1/10, x₂⁰=1/10

(2) x₁⁰=1/8, x₂⁰=1/8

(3) x₁⁰=3/40, x₂⁰=3/40

(4) x₁⁰=3/20, x₂⁰=0

Исследование операций и модели экономического поведения - тест 3