Логические нейронные сети

Упражнение 1:

Номер 1

Пусть в системе автоматического управления технологическим процессом по измеренным значениям вектора двух характеристик X = {x₁, x₂} вырабатывается вектор управляющего воздействия Y = {y₁, y₂} Реализован принцип ситуационного управления, основанный на табличном представлении. Таблица имеет вид:

Рассчитайте приближенное значение компонент вектора Y для измеренных компонент вектора Х, считая, что y₁ слабо зависит от х₂, а y₂ слабо зависит от х₁

X = {4,6; 2,4}

Ответ:

(1) двум точкам, определяемым векторами X₁= {4; 2} и X₂= {5; 3}, включающими данную точку, соответствуют точки, определяемые векторами Y₁= {0,6; 0,5} и Y₂= {0,5; 0,6} Тогда y₁= 0,54, y₂= 0,54

(2) двум точкам, определяемым векторами X₁= {4; 2} и X₂= {5; 3}, включающими данную точку, соответствуют точки, определяемые векторами Y₂= {0,6; 0,5} и Y₂= {0,5; 0,6} Тогда y₁= 0,56, y₂= 0,54

(3) двум точкам, определяемым векторами X₁= {4; 2} и X₂= {5; 3}, включающими данную точку, соответствуют точки, определяемые векторами Y₁= {0,5; 0,6} и Y₂= {0,6; 0,5} Тогда y₁= 0,54, y₂= 0,54

Номер 2

Пусть в системе автоматического управления технологическим процессом по измеренным значениям вектора двух характеристик X = {x₁, x₂} вырабатывается вектор управляющего воздействия Y = {y₁, y₂} Реализован принцип ситуационного управления, основанный на табличном представлении. Таблица имеет вид:

Рассчитайте приближенное значение компонент вектора Y для измеренных компонент вектора Х, считая, что y₁ слабо зависит от х₂, а y₂ слабо зависит от х₁

X = {2,1; 3,7}

Ответ:

(1) двум точкам, определяемым векторами X₁= {2; 3} и X₂= {3; 4}, включающими данную точку, соответствуют точки, определяемые векторами Y₁= {0,2; 0,5} и Y₂= {0,3; 0,6} Тогда y₁= 0,21, y₂= 0,57

(2) двум точкам, определяемым векторами X₁= {4; 2} и X₂= {5; 3}, включающими данную точку, соответствуют точки, определяемые векторами Y₁= {0,2; 0,5} и Y₂= {0,3; 0,6} Тогда y₁= 0,26, y₂= 0,56

(3) двум точкам, определяемым векторами X₁= {2; 3} и X₂= {3; 4}, включающими данную точку, соответствуют точки, определяемые векторами Y₁= {0,2; 0,5} и Y₂= {0,3; 0,6} Тогда y₁= 0,21, y₂= 0,56

Номер 3

Пусть в системе автоматического управления технологическим процессом по измеренным значениям вектора двух характеристик X = {x₁, x₂} вырабатывается вектор управляющего воздействия Y = {y₁, y₂} Реализован принцип ситуационного управления, основанный на табличном представлении. Таблица имеет вид:

Рассчитайте приближенное значение компонент вектора Y для измеренных компонент вектора Х, считая, что y₁ слабо зависит от х₂, а y₂ слабо зависит от х₁

X = {4,2; 4,8}

Ответ:

(1) двум точкам, определяемым векторами X₁= {4; 4} и X₂= {5; 5}, включающими данную точку, соответствуют точки, определяемые векторами Y₁= {0,3; 0,6} и Y₂= {0,5; 0,4} Тогда y₁= 0,34, y₂= 0,44

(2) двум точкам, определяемым векторами X₁= {4; 4} и X₂= {5; 5}, включающими данную точку, соответствуют точки, определяемые векторами Y₁= {0,3; 0,6} и Y₂= {0,5; 0,4} Тогда y₁= 0,34, y₂= 0,42

(3) двум точкам, определяемым векторами X₁= {4; 4} и X₂= {5; 5}, включающими данную точку, соответствуют точки, определяемые векторами Y₁= {0,3; 0,6} и Y₂= {0,5; 0,4} Тогда y₁= 0,32, y₂= 0,44

Упражнение 2:

Номер 1

По таблице

рассчитайте приближенное значение (игнорируя математическое обоснование) компонент вектора Y для измеренного вектора Х с помощью расстояния между точками, "участвующими" в проводимой интерполяции по формуле

Х = {4,6; 2,4}

Ответ:

(1) ближайшие точки в таблице: X₁= {4; 2}, X₂= {5; 3} Им соответствуют точки-решения Y₁= {0,6; 0,5} и Y₂= {0,5; 0,6} math

,

, y₁= 0,55, y₂= 0,55

(2) ближайшие точки в таблице: X₁= {4; 2}, X₂= {5; 3} Им соответствуют точки-решения Y₁= {0,6; 0,5} и Y₂= {0,5; 0,6} math

,

,y₁= 0,54, y₂= 0,56

(3) ближайшие точки в таблице: X₁= {4; 2}, X₂= {5; 3} Им соответствуют точки-решения Y₁= {0,6; 0,5} и Y₂= {0,5; 0,6} math

,

,y₁= 0,54, y₂= 0,55

Номер 2

По таблице

рассчитайте приближенное значение (игнорируя математическое обоснование) компонент вектора Y для измеренного вектора Х с помощью расстояния между точками, "участвующими" в проводимой интерполяции по формуле

Х = {2,1; 3,7}

Ответ:

(1) ближайшие точки в таблице: X₁= {2; 3}, X₂= {3; 4} Им соответствуют точки-решения Y₁= {0,2; 0,5} и Y₂= {0,3; 0,6} math

,

, y₁= 0,25, y₂= 0,55

(2) ближайшие точки в таблице: X₁= {2; 3}, X₂= {3; 4} Им соответствуют точки-решения Y₁= {0,2; 0,5} и Y₂= {0,3; 0,6} math

,

, y₁= 0,26, y₂= 0,56

(3) ближайшие точки в таблице: X₁= {2; 3}, X₂= {3; 4} Им соответствуют точки-решения Y₁= {0,2; 0,5} и Y₂= {0,3; 0,6} math

,

, y₁= 0,26, y₂= 0,55

Номер 3

По таблице

рассчитайте приближенное значение (игнорируя математическое обоснование) компонент вектора Y для измеренного вектора Х с помощью расстояния между точками, "участвующими" в проводимой интерполяции по формуле

Х = {4,2; 4,8}

Ответ:

(1) ближайшие точки в таблице: X₁= {4; 4}, X₂= {5; 5} Им соответствуют точки-решения Y₁= {0,3; 0,6} и Y₂= {0,5; 0,4} math

,

, y₁= 0,42, y₂= 0,48

(2) ближайшие точки в таблице: X₁= {4; 4}, X₂= {5; 5} Им соответствуют точки-решения Y₁= {0,3; 0,6} и Y₂= {0,5; 0,4} math

,

, y₁= 0,43, y₂= 0,46

(3) ближайшие точки в таблице: X₁= {4; 4}, X₂= {5; 5} Им соответствуют точки-решения Y₁= {0,3; 0,6} и Y₂= {0,5; 0,4} math

,

, y₁= 0,42, y₂= 0,5

Упражнение 3:

Номер 1

Диапазоны изменения измеряемых характеристик системы управления технологическим процессом разбиты на составляющие интервалы, определяемые требованиями по точности. Совокупность X = {x₁, x₂} измеренных значений, каждое из которых принадлежит некоторому интервалу, определяет вектор Y(y₁, y₂) необходимых управляющих воздействий, составляющих ограниченное множество векторов: Y₁= {5; 8}, Y₂= {3; 4}, Y₃= {6; 5}, Y₄= {1; 5} Диапазон [0, 3] изменения переменных x₁ и x₂ разбит на три интервала δ₁= [0, 1), δ₂= [1, 2), δ₃= [2, 3) По данному логическому описанию системы управления составьте  однослойную логическую нейронную сеть системы управления, используя принцип "размножения" решений.

(x₁∈δ₁) ∧ (x₂∈δ₁) → Y₁
(x₁∈δ₁) ∧ (x₂∈δ₂) → Y₂(x₁∈δ₁) ∧ (x₂∈δ₃) → Y₃
(x₁∈δ₂) ∧ (x₂∈δ₁) → Y₄
(x₁∈δ₂) ∧ (x₂∈δ₂) → Y₁
(x₁∈δ₂) ∧ (x₂∈δ₃) → Y₂
(x₁∈δ₃) ∧ (x₂∈δ₁) → Y₃
(x₁∈δ₃) ∧ (x₂∈δ₂) → Y₄
(x₁∈δ₃) ∧ (x₂∈δ₃) → Y₁

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Диапазоны изменения измеряемых характеристик системы управления технологическим процессом разбиты на составляющие интервалы, определяемые требованиями по точности. Совокупность X = {x₁, x₂} измеренных значений, каждое из которых принадлежит некоторому интервалу, определяет вектор Y(y₁, y₂) необходимых управляющих воздействий, составляющих ограниченное множество векторов: Y₁= {5; 8}, Y₂= {3; 4}, Y₃= {6; 5}, Y₄= {1; 5} Диапазон [0, 3] изменения переменных x₁ и x₂ разбит на три интервала δ₁= [0, 1), δ₂= [1, 2), δ₃= [2, 3) По данному логическому описанию системы управления составьте  однослойную логическую нейронную сеть системы управления, используя принцип "размножения" решений.

(x₁∈δ₁) ∧ (x₂∈δ₁) → Y₂(x₁∈δ₁) ∧ (x₂∈δ₂) → Y₃(x₁∈δ₁) ∧ (x₂∈δ₃) → Y₄(x₁∈δ₂) ∧ (x₂∈δ₁) → Y₁(x₁∈δ₂) ∧ (x₂∈δ₂) → Y₂(x₁∈δ₂) ∧ (x₂∈δ₃) → Y₃(x₁∈δ₃) ∧ (x₂∈δ₁) → Y₄(x₁∈δ₃) ∧ (x₂∈δ₂) → Y₁(x₁∈δ₃) ∧ (x₂∈δ₃) → Y₂

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Диапазоны изменения измеряемых характеристик системы управления технологическим процессом разбиты на составляющие интервалы, определяемые требованиями по точности. Совокупность X = {x₁, x₂} измеренных значений, каждое из которых принадлежит некоторому интервалу, определяет вектор Y(y₁, y₂) необходимых управляющих воздействий, составляющих ограниченное множество векторов: Y₁= {5; 8}, Y₂= {3; 4}, Y₃= {6; 5}, Y₄= {1; 5} Диапазон [0, 3] изменения переменных x₁ и x₂ разбит на три интервала δ₁= [0, 1), δ₂= [1, 2), δ₃= [2, 3) По данному логическому описанию системы управления составьте  однослойную логическую нейронную сеть системы управления, используя принцип "размножения" решений.

(x₁∈δ₁) ∧ (x₂∈δ₁) → Y₃(x₁∈δ₁) ∧ (x₂∈δ₂) → Y₄(x₁∈δ₁) ∧ (x₂∈δ₃) → Y₁(x₁∈δ₂) ∧ (x₂∈δ₁) → Y₂(x₁∈δ₂) ∧ (x₂∈δ₂) → Y₃(x₁∈δ₂) ∧ (x₂∈δ₃) → Y₄(x₁∈δ₃) ∧ (x₂∈δ₁) → Y₁(x₁∈δ₃) ∧ (x₂∈δ₂) → Y₂(x₁∈δ₃) ∧ (x₂∈δ₃) → Y₃

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 4:

Номер 1

Рассчитайте значения возбуждения нейронов выходного слоя и найдите вектор управляющего воздействия по нечетко заданным характеристикам. Передаточная функция имеет вид:
 $\begin{array}{l}
V=\sum_j V_j \\
V_i = \left \{ \begin{array}{ll}
V, & \mbox{если } V > h \\
0, & \mbox{в противном случае} 
\end{array}\right \\ h=0,5
\end{array}$ 
Нейронная сеть имеет вид:

Достоверность предположения о принадлежности значений  x₁ и x₂ исследуемым интервалам равна:

P(x₁∈δ₂) = 0,2,
P(x₁∈δ₃) = 0,8,
P(x₂∈δ₁) = 0,2,
P(x₂∈δ₂) = 0,6,
P(x₂∈δ₃) = 0,2.

Ответ:

(1) y₁= 4, y₂= 6

(2) y₁= 4,2, y₂= 6,7

(3) y₁= 4, y₂= 5,6

Номер 2

Рассчитайте значения возбуждения нейронов выходного слоя и найдите вектор управляющего воздействия по нечетко заданным характеристикам. Передаточная функция имеет вид:
 $\begin{array}{l}
V=\sum_j V_j \\
V_i = \left \{ \begin{array}{ll}
V, & \mbox{если } V > h \\
0, & \mbox{в противном случае} 
\end{array}\right \\ h=0,5
\end{array}$ 
Нейронная сеть имеет вид:

Достоверность предположения о принадлежности значений  x₁ и x₂ исследуемым интервалам равна:

P(x₁∈δ₂) = 0,2,
P(x₁∈δ₃) = 0,8,
P(x₂∈δ₁) = 0,2,
P(x₂∈δ₂) = 0,8.

Ответ:

(1) y₁= 3,7, y₂= 5,4

(2) y₁= 4,2, y₂= 5,7

(3) y₁= 4, y₂= 5,6

Номер 3

Рассчитайте значения возбуждения нейронов выходного слоя и найдите вектор управляющего воздействия по нечетко заданным характеристикам. Передаточная функция имеет вид:
 $\begin{array}{l}
V=\sum_j V_j \\
V_i = \left \{ \begin{array}{ll}
V, & \mbox{если } V > h \\
0, & \mbox{в противном случае} 
\end{array}\right \\ h=0,5
\end{array}$ 
Нейронная сеть имеет вид:

Достоверность предположения о принадлежности значений  x₁ и x₂ исследуемым интервалам равна:

P(x₁∈δ₂) = 0,2,
P(x₁∈δ₃) = 0,8,
P(x₂∈δ₁) = 0,2,
P(x₂∈δ₂) = 0,7,
P(x₂∈δ₃) = 0,1

Ответ:

(1) y₁= 4,2, y₂= 5,3

(2) y₁= 4,2, y₂= 5,6

(3) y₁= 4, y₂= 5,6

Упражнение 5:

Номер 1

В результате моделирования выяснилось, что рассмотрение принадлежности x₁ всему диапазону δ₁ не удовлетворяет требованиям к точности результатов. А именно, если предполагается условие x₁∈[0; 0,5), нейросеть выдает удовлетворительный ответ. Однако условие (x₁∈[0,5; 1))∧ (x₂∈[1, 2)) требует нового правильного решения Y₅ Модифицируйте заданную нейронную сеть с учетом новых данных.

Исходная нейронная сеть имеет вид:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

В результате моделирования выяснилось, что рассмотрение принадлежности x₁ всему диапазону δ₁ не удовлетворяет требованиям к точности результатов. А именно, если предполагается условие x₁∈[0; 0,5), нейросеть выдает удовлетворительный ответ. Однако условие (x₁∈[0,5; 1))∧ (x₂∈[1, 2)) требует нового правильного решения Y₅ Модифицируйте заданную нейронную сеть с учетом новых данных.

Исходная нейронная сеть имеет вид:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

В результате моделирования выяснилось, что рассмотрение принадлежности x₁ всему диапазону δ₁ не удовлетворяет требованиям к точности результатов. А именно, если предполагается условие x₁∈[0; 0,5), нейросеть выдает удовлетворительный ответ. Однако условие (x₁∈[0,5; 1))∧ (x₂∈[1, 2)) требует нового правильного решения Y₅ Модифицируйте заданную нейронную сеть с учетом новых данных.

Исходная нейронная сеть имеет вид:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 6:

Номер 1

Почему так важно соблюдать принцип "размножения" решений?

Нейронная сеть имеет вид:

Ответ:

(1) в противном случае нейрон, "отвечающий" за решение Y₁, всегда будет "собирать" на себе возбуждение всех рецепторов. А так как они отображают два исчерпывающих множества событий, то всегда, при правильном формировании запроса, V₇= 2

(2) выполнение данного требования облегчает расчет

(3) "размножение" решений способствует равномерному распределению возбуждения нейронов выходного слоя, не требуя применения операции приведения

Номер 2

Почему так важно соблюдать принцип "размножения" решений?

Нейронная сеть имеет вид:

Ответ:

(1) в противном случае нейрон, "отвечающий" за решение Y₂, всегда будет "собирать" на себе возбуждение всех рецепторов. А так как они отображают два исчерпывающих множества событий, то всегда, при правильном формировании запроса, V₇= 2

(2) выполнение данного требования облегчает расчет

(3) "размножение" решений способствует равномерному распределению возбуждения нейронов выходного слоя, не требуя применения операции приведения

Номер 3

Почему так важно соблюдать принцип "размножения" решений?

Нейронная сеть имеет вид:

Ответ:

(1) в противном случае нейрон, "отвечающий" за решение Y₃, всегда будет "собирать" на себе возбуждение всех рецепторов. А так как они отображают два исчерпывающих множества событий, то всегда, при правильном формировании запроса, V₇= 2

(2) выполнение данного требования облегчает расчет

(3) "размножение" решений способствует равномерному распределению возбуждения нейронов выходного слоя, не требуя применения операции приведения

Логические нейронные сети - тест 7