Введение в математическое программирование

Упражнение 1:

Номер 1

Общая форма задачи линейного программирования имеет вид:

Ответ:

(1)

\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \ge 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \le 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \le 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \le 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

Номер 2

Запись задачи линейного программирования в виде
 $\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \ge 0, \; j \in J_1
\end{aligned}$ 
представляет собой:

Ответ:

(1) каноническую форму

(2) общую форму

(3) стандартную форму

Номер 3

Выберите из представленного ряда записей задач 
линейного программирования запись задачи в общей форме:

Ответ:

(1)

\begin{aligned}
& W = cx \rightarrow \min \\
& Ax=b, x \ge 0
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& W = cx \rightarrow \min \\
& a_i x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \le 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& W = cx \rightarrow \min \\
& a_i x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \ge 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

Упражнение 2:

Номер 1

Каноническая форма задачи линейного программирования имеет вид:

Ответ:

(1)

\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \ge 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax = b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax \le b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

Номер 2

Запись задачи линейного программирования в виде
 $\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax = b \\
& x \ge 0
\end{aligned}$ 
представляет собой:

Ответ:

(1) общую форму

(2) каноническую форму

(3) стандартную форму

Номер 3

Выберите из представленного ряда записей задач 
линейного программирования запись задачи в канонической форме:

Ответ:

(1)

\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \ge 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax = b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax = b \\
& x \le 0
\end{aligned}

Упражнение 3:

Номер 1

Стандартная форма задачи линейного программирования имеет вид:

Ответ:

(1)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax \ge b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \ge 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax = b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

Номер 2

Запись задачи линейного программирования в виде
 $\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax \ge b \\
& x \ge 0
\end{aligned}$

Ответ:

(1) каноническую форму

(2) общую форму

(3) стандартную форму

Номер 3

Выберите из представленного ряда записей задач 
линейного программирования запись задачи в стандартной форме:

Ответ:

(1)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax = b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& \omega = cx \rightarrow \min \\
& Ax \ge b \\
& x \ge 0
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& a_1 x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\
& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\
& x_j \ge 0, \; j \in J_1
\end{aligned}

Упражнение 4:

Номер 1

Задачу линейного программирования можно сформулировать:

Ответ:

(1) максимизировать math

при условиях

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \le b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \le b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \le b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(2) минимизировать math

при условиях

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \le b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \le b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \le b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(3) минимизировать math

при условиях

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \ge b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \ge b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \ge b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

Номер 2

Если задача сформулирована в виде: 
максимизировать  при условиях
 $\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \le b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \le b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \le b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}$ 
то это задача:

Ответ:

(1) нелинейного программирования

(2) линейного программирования

(3) стохастического программирования

Номер 3

Если задача линейного программирования сформулирована следующим образом: 
максимизировать , то условия имеют вид:

Ответ:

(1)

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \ge b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \ge b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \ge b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \le b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \le b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \le b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

Упражнение 5:

Номер 1

Задачу линейного программирования в канонической форме можно сформулировать:

Ответ:

(1) максимизировать math

при условиях

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \le b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \le b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \le b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(2) максимизировать math

при условиях

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(3) минимизировать math

при условиях

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \le b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \le b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \le b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

Номер 2

Пусть задача сформулирована в виде:
максимизировать  при условиях
 $\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}$ 
Данная форма записи является:

Ответ:

(1) общей формой

(2) стандартной формой

(3) канонической формой

Номер 3

Задача линейного программирования сформулирована в каноническом виде:
максимизировать . Тогда условия ограничения имеют вид:

Ответ:

(1)

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \le b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \le b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \le b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(2)

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

(3)

\begin{aligned}
& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \ge b_1 \\
& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \ge b_2 \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \ge b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .
\end{aligned}

Упражнение 6:

Номер 1

В матричной форме задача линейного программирования записывается следующим образом:

Ответ:

(1) максимизировать c^Tx при ограничениях Аx≤b; x≥0;

(2) минимизировать c^Tx при ограничениях Аx≤b; x≥0;

(3) максимизировать c^Tx при ограничениях Аx≥b; x≥0;

Номер 2

Задача линейного программирования сформулирована в матричной форме: 
        максимизировать c^Tx при ограничениях 
        Аx≤b; x≥0;. Тогда ограничения имеют вид:

Ответ:

(1) Аx≤b; x≤0;

(2) Аx≤b; x≥0;

(3) Аx≥b; x≥0;

Номер 3

Пусть задача линейного программирования сформулирована следующим образом: 
        максимизировать c^Tx при ограничениях 
        Аx≤b; x≥0;. Данная форма записи является:

Ответ:

(1) канонической формой

(2) общей формой

(3) матричной формой

Упражнение 7:

Номер 1

Задача линейного программирования имеет вид: 
        максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n. 
        В векторной форме ограничения задачи имеют вид:

Ответ:

(1) A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n≤b;

(2) A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n=b;

(3) A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n≥b;

Номер 2

Задача линейного программирования имеет вид: максимизировать 
        Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях
        A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n≤b;
        Данная форма записи является:

Ответ:

(1) матричной формой

(2) векторной формой

(3) канонической формой

Номер 3

Задачу линейного программирования в векторной форме можно сформулировать следующим образом:

Ответ:

(1) минимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n≤b;

(2) максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n≥b;

(3) максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n≤b;

Упражнение 8:

Номер 1

Пусть задача линейного программирования имеет вид: 
        максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях
        
        a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n ≤ b₁
        a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n ≤ b₂                   (1)
        .........................
        a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n ≤ b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0.
        
        Тогда допустимым множеством решений задачи называется:

Ответ:

(1) множество R(x) всех векторов x, которые удовлетворяют условиям: a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n ≤ b₂ ......................... a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n ≤ b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0.

(2) множество всех решений, которые удовлетворяют условиям: a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n ≥ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n ≥ b₂ ......................... a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n ≥ b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0.

(3) множество всех векторов R(x).

Номер 2

        Множество R(x) всех векторов x, которые удовлетворяют условиям:
        
	a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n ≤ b₁
	a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n ≤ b₂
	.........................
	a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n ≤ b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0,
                
        является:

Ответ:

(1) оптимальным множеством решений задачи (1)

(2) допустимым множеством решений задачи (1)

(3) эквивалентным множеством решений задачи (1)

Номер 3

Пусть задача линейного программирования имеет вид: 
        максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях
        
        a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n ≤ b₁
        a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n ≤ b₂                   (1)
        .........................
        a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n ≤ b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0.
        
        Тогда множество R(x) является допустимым множеством решений данной задачи, если оно удовлетворяет условиям:

Ответ:

(1) a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n > b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n > b₂ ......................... a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n > b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0,

(2) a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n < b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n < b₂ ......................... a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n < b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0,

(3) a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n ≤ b₂ ......................... a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n ≤ b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0,

Введение в математическое программирование - тест 3