Введение в математическое программирование

Упражнение 1:

Номер 1

Функция f(x) достигает локального максимума в точке 
, если для всех точек x, лежащих в 
малой окрестности точки  имеет место неравенство:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

.

Номер 2

Если для всех точек x, лежащих в малой окрестности точки 
 имеет место неравенство 
, то:

Ответ:

(1) функция достигает локального минимума в точке math

(2) функция достигает локального максимума в точке math

(3) функция не имеет экстремумов в точке math

Номер 3

Функция f(x) достигает локального максимума в точке 
 и при этом имеет место равенство 
. Это справедливо:

Ответ:

(1) для всех действительных x

(2) для всех x, принадлежащих малой окрестности math

(3) для всех положительных x

Упражнение 2:

Номер 1

Множество точек S₁(x₁,...,x_n) функции 
f(x) называется множеством стационарных точек, если они удовлетворяют условию:

Ответ:

(1) ∂f(x)/∂x_j ≥ 0, j=1,...,n

(2) ∂f(x)/∂x_j < 0, j=1,...,n

(3) ∂f(x)/∂x_j = 0, j=1,...,n

Номер 2

Множество точек S₁(x₁,...,x_n) функции 
f(x), удовлетворяющих условию ∂f(x)/∂x_j = 0, j=1,...,n 
называется:

Ответ:

(1) множеством стационарных точек

(2) множеством граничных точек

(3) множеством окрестных точек

Номер 3

Множеством стационарных точек функции f(x) называется множество точек 
S₁(x₁,...,x_n):

Ответ:

(1) удовлетворяющих условию ∂f(x)/∂x_j > 0, j=1,...,n

(2) удовлетворяющих условию ∂f(x)/∂x_j = 0, j=1,...,n

(3) точки не удовлетворяют ни одному из вышеперечисленных условий

Упражнение 3:

Номер 1

Пусть f(x₁,...,x_n) дифференцируема в некоторой 
допустимой области R. Если в некоторой внутренней точке 
 области R функция достигает относительного 
максимума, то:

Ответ:

(1) ∂f(x₀)/∂x_j = 0, j=1,...,n

(2) ∂f(x₀)/∂x_j ≠ 0, j=1,...,n

(3) ∂f(x₀)/∂x_j ≤ 0, j=1,...,n

Номер 2

Пусть f(x₁,...,x_n) дифференцируема в некоторой допустимой 
области R. Если для данной функции выполняется условие 
∂f(x₀)/∂x_j = 0, j=1,...,n, то в некоторой внутренней точке 
 области R функция:

Ответ:

(1) достигает относительного минимума

(2) достигает относительного максимума

(3) не определена

Номер 3

Если функция f(x₁,...,x_n) в некоторой внутренней точке 
 допустимой области R функция достигает относительного 
максимума и при этом справедливо равенство 
∂f(x₀)/∂x_j = 0, j=1,...,n, то:

Ответ:

(1) функция не дифференцируема в данной области

(2) функция дифференцируема в данной области

(3) функция частично дифференцируема в данной области

Упражнение 4:

Номер 1

Функция f(x) достигает глобального (абсолютного) максимума в 
точке x⁰, если для всех точек x є R справедливо:

Ответ:

(1) f(x⁰) = f(x)

(2) f(x⁰) ≤ f(x)

(3) f(x⁰) ≥ f(x)

Номер 2

Если для всех точек x є R некоторой функции f(x) 
справедливо неравенство f(x⁰) ≥ f(x), то в точке x⁰ 
функция f(x):

Ответ:

(1) достигает глобального (абсолютного) максимума

(2) достигает глобального (абсолютного) минимума

(3) экстремумов не имеет

Номер 3

Если для всех точек x є R некоторой функции f(x) справедливо 
неравенство f(x⁰) ≥ f(x), то функция f(x):

Ответ:

(1) в точке x⁰ не определена

(2) в точке x⁰ достигает глобального (абсолютного) максимума

(3) в точке x⁰ достигает глобального (абсолютного) минимума

Упражнение 5:

Номер 1

Пусть R – выпуклое множество точек n – мерного пространства. 
Функция f, определенная на R, называется выпуклой верх, если для 
любой пары точек x₁, x₂ є R и произвольного 
0 ≤ k ≤ 1 справедливо:

Ответ:

(1) f[kx₁+(1–k)x₂] = kf(x₁)+(1–k)f(x₂);

(2) f[kx₁+(1–k)x₂] < kf(x₁)+(1–k)f(x₂)

(3) f[kx₁+(1–k)x₂] ≥ kf(x₁)+(1–k)f(x₂).

Номер 2

Пусть R – выпуклое множество точек n – мерного пространства. 
Функция f, определенная на R, удовлетворяет условиям: для любых 
x₁, x₂ є R и 0 ≤ k ≤ 1 
f[kx₁+(1–k)x₂] ≤ kf(x₁)+(1–k)f(x₂). 
Тогда функция f называется:

Ответ:

(1) выпуклой

(2) вогнутой

(3) выпуклой вниз

Номер 3

Пусть для некоторой выпуклой вверх(вогнутой) функции f, определенной на множестве 
R справедливо условие: для любых x₁, x₂ є R и 0 ≤ k ≤ 1 
f[kx₁+(1–k)x₂] ≤ kf(x₁)+(1–k)f(x₂). 
Тогда множество R является:

Ответ:

(1) выпуклым множеством

(2) вогнутым множеством

(3) строго вогнутым множеством

Упражнение 6:

Номер 1

Дифференцируемая функция f(x) строго вогнутая в некоторой окрестности точки 
, если выполняются следующие условия:

Ответ:

(1)

f_{11}(x_0) < 0; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0)
\end{vmatrix}
> 0 ; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) & f_{13}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0) & f_{23}(x_0) \\
f_{31}(x_0) & f_{32}(x_0) & f_{33}(x_0) 
\end{vmatrix}
< 0

(2)

f_{11}(x_0) > 0; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0)
\end{vmatrix}
> 0 ; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) & f_{13}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0) & f_{23}(x_0) \\
f_{31}(x_0) & f_{32}(x_0) & f_{33}(x_0) 
\end{vmatrix}
< 0

(3)

f_{11}(x_0) \ge; 0; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0)
\end{vmatrix}
> 0 ; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) & f_{13}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0) & f_{23}(x_0) \\
f_{31}(x_0) & f_{32}(x_0) & f_{33}(x_0) 
\end{vmatrix}
< 0

Номер 2

Если для некоторой функции f(x) в некоторой окрестности точки 
 знаки определителей чередуются, т.е. справедливо условие
 $f_{11}(x_0) < 0; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0)
\end{vmatrix}
> 0 ; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) & f_{13}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0) & f_{23}(x_0) \\
f_{31}(x_0) & f_{32}(x_0) & f_{33}(x_0) 
\end{vmatrix}
< 0$ , то дифференцируемая функция f(x):

Ответ:

(1) строго выпуклая

(2) строго вогнутая

(3) не определена

Номер 3

Если для некоторой строго вогнутой функции f(x) в некоторой окрестности 
точки  знаки определителей чередуются, т.е. справедливо условие
 $f_{11}(x_0) < 0; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0)
\end{vmatrix}
> 0 ; \quad
\begin{vmatrix}
f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) & f_{13}(x_0) \\
f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0) & f_{23}(x_0) \\
f_{31}(x_0) & f_{32}(x_0) & f_{33}(x_0) 
\end{vmatrix}
< 0$ , то функция f(x):

Ответ:

(1) не определена

(2) дифференцируема

(3) не дифференцируема

Упражнение 7:

Номер 1

Для того, чтобы в точке x₀ достигался внутренний относительный 
минимум, достаточно, чтобы эта точка была стационарной, а сама функция в окрестности точки 
x₀ была:

Ответ:

(1) вогнутой

(2) выпуклой

(3) строго выпуклой

Номер 2

Если некоторая точка x₀ функции является стационарной, а сама 
функция в окрестности точки x₀ является строго выпуклой, 
то в точке x₀:

Ответ:

(1) достигается внутренний относительный минимум

(2) достигается внутренний относительный максимум

(3) достигается внутренний абсолютный максимум

Номер 3

Пусть в некоторой точке x₀ достигается внутренний 
относительный минимум, и сама функция при этом в окрестности точки x₀ строго выпукла. 
Тогда точка x₀:

Ответ:

(1) не является стационарной

(2) является стационарной

(3) является граничной точкой

Упражнение 8:

Номер 1

Если функции f₁(x), f₂(x),...,f_p(x) выпуклы 
(вогнуты) на множестве R_i, то функция 
g(x) = Σk_if_i(x), i=1,...,p также выпукла (вогнута) при условии:

Ответ:

(1) k_i > 0, i = 1,2,...,p

(2) k_i ≥ 0, i = 1,2,...,p

(3) k_i < 0, i = 1,2,...,p

Номер 2

Если функции f₁(x), f₂(x),...,f_p(x) 
выпуклы (вогнуты) на множестве R_i и выполняется условие 
k_i ≥ 0, i = 1,2,...,p, то функция 
g(x) = Σk_if_i(x), i=1,...,p:

Ответ:

(1) также является выпуклой (вогнутой)

(2) не является выпуклой (вогнутой)

(3) не определена на данном множестве

Номер 3

Пусть на некотором множестве R_i функция 
g(x) = Σk_if_i(x), i=1,...,p выпукла (вогнута) и 
выполняется условие k_i ≥ 0, i = 1,2,...,p. Тогда на множестве 
R_i функции 
f₁(x), f₂(x),...,f_p(x):

Ответ:

(1) не определены на данном множестве

(2) не являются выпуклыми (вогнутыми)

(3) являются выпуклыми (вогнутыми)

Введение в математическое программирование - тест 7