Введение в математическое программирование - тест 8

Упражнение 1:

---

Номер 1

Функция f(x) является строго квазивыпуклой, если для всех действительных 
x1, x2 таких, что f(x1) ≠ f(x2) 
и λ є (0;1) выполняется неравенство:

Ответ:

---

Номер 2

Если для всех действительных x1, x2, таких, 
что f(x1) ≠ f(x2) и λ є (0;1) выполняется неравенство 
f(λx1 + (1–λ)x1) < max{f(x1),f(x2)}, 
то функция f(x) является:

Ответ:

---

Номер 3

Пусть функция f(x) является строго квазивыпуклой и выполняется неравенство 
f(λx1 + (1–λ)x1) < max{f(x1),f(x2)}. 
При этом для всех действительных x1, x2 выполняется условие:

Ответ:

---

Упражнение 2:

---

Номер 1

Пусть функция f(x) определена на непустом и выпуклом множестве R. 
Функция f(x) квазивыпукла, если для любых x1, x2 є R и 
λ є [0;1] выполняется неравенство:

Ответ:

---

Номер 2

Пусть функция f(x) определена на непустом и выпуклом множестве R. 
При этом для функции f(x) выполняется условие: для любых 
x1, x2 є R и λ є [0;1] 
f(λx1 + (1–λ)x1) ≤ max{f(x1),f(x2)}. 
Тогда функция f(x):

Ответ:

---

Номер 3

Пусть функция f(x) на некотором множестве R является квазивыпуклой, 
т.е. для любых x1, x2 є R и λ є [0;1] выполняется неравенство 
f(λx1 + (1–λ)x1) ≤ max{f(x1),f(x2)}.
Тогда множество R является:

Ответ:

---

Упражнение 3:

---

Номер 1

Пусть f(x) – строго квазивыпуклая функция. Рассмотрим задачу минимизации 
f(x) при условии, что x є R, где R – непустое выпуклое множество 
в Е(n). Пусть x' – точка локального минимума рассматриваемой задачи. 
Тогда x' является:

Ответ:

---

Номер 2

Пусть f(x) – строго квазивыпуклая функция. Рассмотрим задачу минимизации 
f(x) при условии, что x є R, где R – непустое выпуклое множество в 
Е(n). Если некоторая точка x' является точкой глобального минимума 
рассматриваемой задачи, то x' одновременно является:

Ответ:

---

Номер 3

Пусть в некоторой задаче минимизации функции f(x), где x є R и 
R – непустое выпуклое множество в Е(n), точка x' является 
одновременно точкой и локального, и глобального минимумов. Тогда функция f(x):

Ответ:

---

Упражнение 4:

---

Номер 1

Пусть задана задача нелинейного программирования: 
минимизировать f(x1,...,xn) при условиях 

h1(x1,...,xn) = 0;
h2(x1,...,xn) = 0;
...............
hm(x1,...,xn) = 0. 

Допустим, что существует такая точка x*, в которой достигается относительный экстремум данной задачи. 
Если ранг матрицы 
I = [δhj(x)/δxj], i = 1,...,m; j = 1,...,n 
в точке x* равен m, то существуют m чисел 
λ1,...,λn, не все из которых равны нулю одновременно, и при которых:

Ответ:

---

Номер 2

Пусть задача нелинейного программирования задана в виде: 
минимизировать f(x1,...,xn) при условиях

h1(x1,...,xn) = 0;
h2(x1,...,xn) = 0;
...............
hm(x1,...,xn) = 0. 

Допустим, что существует такая точка x*, в которой достигается относительный экстремум данной задачи.
Известно, что существуют m чисел λ1,...,λn, 
не все из которых равны нулю одновременно, и при которых 
Δf(x*) + ΣλiΔhi(x) = 0, i = 1,...,m. Тогда:
        

Ответ:

---

Номер 3

Пусть задана задача нелинейного программирования: 
минимизировать f(x1,...,xn) при условиях 

h1(x1,...,xn) = 0;
h2(x1,...,xn) = 0;
...............
hm(x1,...,xn) = 0. 

Пусть в некоторой точке x* ранг матрицы 
I = [δhj(x)/δxj], i = 1,...,m; j = 1,...,n
равен m, и существуют m чисел λ1,...,λn, 
не все из которых равны нулю одновременно, и при которых 
Δf(x*) + ΣλiΔhi(x) = 0, i = 1,...,m. 
Тогда в точке x*:
        

Ответ:

---

Упражнение 5:

---

Номер 1

Рассмотрим задачу нелинейного программирования: 
минимизировать f(x) при 
. 
Для входящего вектора справедливы следующие условия: 
 или 
 для всех x є S. 
Тогда множество неотрицательных скаляров {λi} ≥ 0, 
для которых справедливо соотношение:
        

Ответ:

---

Номер 2

Рассмотрим задачу нелинейного программирования: 
минимизировать f(x) при 
. 
Для входящего вектора справедливы следующие условия: 
 или 
 для всех x є S.
Тогда скаляры {λi}, для которых справедливо 
соотношение 
Δf(x*)=Σλiηi(x) = -ΣλiΔgi(x*), i є I, 
являются:

Ответ:

---

Номер 3

Рассмотрим задачу нелинейного программирования: 
минимизировать f(x) при 
. 
Известно, что существует множество неотрицательных скаляров {λi} ≥ 0, 
для которых справедливо соотношение 
Δf(x*)=Σλiηi(x) = -ΣλiΔgi(x*), i є I. 
Тогда для входящего вектора справедливо условие:
        

Ответ:

---

Упражнение 6:

---

Номер 1

Пусть функции gi(x), i=1,...,m имеют непрерывные частные производные 
на некотором открытом множестве Rn, содержащем точку x*. 
Если x* является точкой минимума функции f(x) при ограничениях 
gi(x) ≤ 0, i=1,...,m, удовлетворяющих условию регулярности в виде линейной 
независимости векторов Δgi(x*), то существуют такие неотрицательные 
множители Лагранжа λ1,...,λm, что справедливы соотношения:
        

Ответ:

---

Номер 2

Пусть функции gi(x), i=1,...,m имеют непрерывные частные производные 
на некотором открытом множестве Rn, содержащем точку x*. 
Если для функции f(x) ограничения 
gi(x) ≤ 0, i=1,...,m удовлетворяют условию регулярности в виде линейной 
независимости векторов Δgi(x*), и существуют такие 
неотрицательные множители Лагранжа λ1,...,λm, что 
Δf(x*) + ΣλiΔgi(x*) = 0;
Σλigi(x*) = 0, λi ≥ 0, i = 1,...,m 
является:
        

Ответ:

---

Номер 3

Пусть некоторое открытое множество Rn содержит точку x*. 
Известно, что x* является точкой минимума функции f(x) при ограничениях 
gi(x) ≤ 0, i=1,...,m, удовлетворяющих условию регулярности в виде линейной 
независимости векторов Δgi(x*), и существуют такие неотрицательные 
множители Лагранжа λ1,...,λm, что 
Δf(x*) + ΣλiΔgi(x*) = 0;
Σλigi(x*) = 0, λi ≥ 0, i = 1,...,m. 
Тогда функции gi(x), i = 1,...,m:
        

Ответ:

---

Упражнение 7:

---

Номер 1

Пара векторов x*, Δ* называется 
седловой точкой функции Лагранжа L(x,Δ), если при всех Δ ≥ 0, x є Rn 
выполняется условие:

Ответ:

---

Номер 2

Пара векторов x*, Δ* для которых 
выполняется условие: для всех 
Δ ≥ 0, x є Rn L(x*, Δ) ≤ L(x*, 
Δ*) ≤ L(x, Δ*), называется:
        

Ответ:

---

Номер 3

Если для пары векторов x*, Δ*, 
которая носит название седловой точки функции Лагранжа L(x,Δ), выполняется 
условие L(x*,Δ) ≤ L(x*,Δ*) ≤ L(x,Δ*), 
то оно справедливо:

Ответ:

---

Упражнение 8:

---

Номер 1

Пусть f(x) и все gi(x) выпуклы и все функции 
gi(x) удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Вектор x* 
решением задачи нелинейного программирования: минимизировать f(x) при условиях 
gi(x) ≤ 0, i = 1,...,m тогда и только тогда, когда существует такой вектор 
Δ* ≥ 0, для которого выполняются условия:
        

Ответ:

---

Номер 2

Пусть f(x) и все gi(x) выпуклы и все функции gi(x) 
удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Задача нелинейного программирования задана следующим образом: 
минимизировать f(x) при условиях gi(x) ≤ 0, i = 1,...,m. 
Пусть существует некоторый вектор Δ* ≥ 0, такой, что 
L(x*,Δ) ≤ L(x*,Δ*) ≤ L(x,Δ*) 
и . Тогда вектор Δ*:
        

Ответ:

---

Номер 3

Пусть задача нелинейного программирования задана следующим образом: 
минимизировать f(x) при условиях gi(x) ≤ 0, i = 1,...,m. 
Известно, что существует некоторый вектор Δ* ≥ 0, такой, что 
L(x*,Δ) ≤ L(x*,Δ*) ≤ L(x,Δ*) 
и . Функции gi(x) 
удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Тогда:

Ответ:

---