Введение в математическое программирование - тест 9

Упражнение 1:

---

Номер 1

Согласно методу Ньютона, точка экстремума равна:

Ответ:

---

Номер 2

Уравнение нахождения точки экстремума  
характерно для:

Ответ:

---

Номер 3

При помощи какого из нижеприведенных соотношений осуществляется нахождение экстремума 
функции F(x) методом Ньютона:

Ответ:

---

Упражнение 2:

---

Номер 1

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), что соответствует монотонности 
ее первой производной. Если в точке экстремума x' функция F(x) имеет минимум, 
то производная F'(x) в окрестности x' меняет знак с отрицательного на 
положительный, т.е. F'(x) является возрастающей функцией, значит:

Ответ:

---

Номер 2

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. 
Известно, что производная F'(x) в окрестности x' меняет знак с отрицательного на 
положительный, т.е. F'(x) является возрастающей функцией, и F''(x) > 0. 
Следовательно, в точке x' функция F(x):

Ответ:

---

Номер 3

Пусть функция  вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. 
Если в точке x' функция F(x) имеет минимум, и F'(x) является 
возрастающей функцией, то F'(x) в окрестности x':

Ответ:

---

Упражнение 3:

---

Номер 1

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), следовательно, ее первая производная 
монотонна. Если в точке x' функция F(x) имеет максимум, то производная 
F'(x) в окрестности x' меняет знак с положительного на отрицательный, т.е. 
F'(x) является убывающей  функцией, значит:

Ответ:

---

Номер 2

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. 
Известно, что производная F'(x) в окрестности x' меняет знак с положительного 
на отрицательный, т.е. F'(x) является убывающей функцией, и F''(x) < 0. 
Следовательно, в точке x' функция F(x):

Ответ:

---

Номер 3

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. 
Если в точке x' функция F(x) имеет максимум, и F'(x) является убывающей 
функцией, то F'(x) в окрестности x':

Ответ:

---

Упражнение 4:

---

Номер 1

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), что соответствует монотонности ее первой 
производной. Известно, что если функция F(x) имеет локальный минимум (максимум) в точке 
x', то в этой точке градиент функции F(x):

Ответ:

---

Номер 2

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), что соответствует монотонности ее первой 
производной. Если в некоторой точке градиент функции F(x) равен нулю, то функция F(x) 
в этой точке:

Ответ:

---

Номер 3

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. 
Если функция F(x) имеет локальный минимум (максимум) в точке x', то в этой точке 
градиент функции F(x) равен нулю, т.е.:

Ответ:

---

Упражнение 5:

---

Номер 1

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. 
Для нахождения экстремума функции F(x) методом Ньютона начальные приближения x выбирают 
в такой точке интервала [a; b], где знаки функции f(x) и ее кривизны 
f''(x):

Ответ:

---

Номер 2

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. 
Согласно метода Ньютона, начальные приближения x выбирают в такой точке интервала [a; b], 
где знаки функции f(x) и ее кривизны f''(x) совпадают, т.е. 
выполняется условие:

Ответ:

---

Номер 3

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. 
Согласно метода Ньютона, начальные приближения x выбирают в такой точке интервала [a; b], 
где выполняется условие f(x)·f''(x) > 0, т.е. наблюдается совпадение знаков:

Ответ:

---

Упражнение 6:

---

Номер 1

Предположим, что имеется интервал неопределенности (x1; x3) 
и известно значение f(x2) внутри этого интервала. 
Положим x2–x1=L и x3–x2=R, 
причем L > R. Если x4 находится в интервале 
(x1; x2) и f(x4) < f(x2), 
то новым интервалом неопределенности будет:

Ответ:

---

Номер 2

Предположим, что имеется интервал неопределенности (x1; x3) 
и известно значение f(x2) внутри этого интервала. Положим 
x2–x1 = L и x3–x2 = R, L > R. 
Если x4 находится в интервале (x1; x2) и новым 
интервалом неопределенности будет (x1; x2) длиной 
x2–x1 = L, то:

Ответ:

---

Номер 3

Предположим, что имеется интервал неопределенности (x1; x3) 
и известно значение f(x2) внутри этого интервала. Положим 
x2–x1 = L и x3–x2 = R. 
Если x4 находится в интервале (x1; x2) и 
новым интервалом неопределенности будет (x1; x2) длиной 
x2–x1 = L, то в этом случае:

Ответ:

---

Упражнение 7:

---

Номер 1

Пусть имеется начальный интервал (a; b), который имеет длину 
L = b – a. Согласно метода Фибоначчи:

Ответ:

---

Номер 2

Пусть имеется начальный интервал (a; b). Согласно метода Фибоначчи интервал 
неопределенности имеет длину 
Ln = L1/Fn + ξ(Fn–2/Fn). 
Это справедливо, если:

Ответ:

---

Номер 3

Пусть имеется начальный интервал (a; b), который имеет длину L = b – a. 
Согласно метода Фибоначчи интервал неопределенности имеет длину 
Ln = L1/Fn + ξ(Fn–2/Fn). 
Это значит, что:

Ответ:

---

Упражнение 8:

---

Номер 1

Дана функция F(x). Пусть x' доставляет минимум функции 
F(x) на интервале [a; b] с заданной точностью ξ. 
Известно, что F1 и F2 - значения функции F(x) 
в окрестности ±ξ вычисленной точки x=(a+b)/2. 
Если F1 < F2, то:

Ответ:

---

Номер 2

Дана функция F(x). Пусть x' доставляет минимум функции 
F(x) на интервале [a; b] с заданной точностью ξ. 
Известно, что F1 и F2 – значения функции F(x) 
в окрестности ±ξ вычисленной точки x=(a+b)/2. 
При поиске минимума был отброшен отрезок [x; b], т.е. b = x. 
Это значит, что:

Ответ:

---

Номер 3

Дана функция F(x). Известно, что x' доставляет некоторый 
экстремум функции F(x) на интервале [a; b] с заданной точностью ξ. 
При этом F1 и F2 – значения функции F(x) в окрестности 
±ξ вычисленной точки x=(a+b)/2. 
Если F1 < F2, т.е. b = x, то:

Ответ:

---