Введение в компьютерную алгебру

Упражнение 1:

Номер 1

Чему равна матрица X, удовлетворяющая уравнению 
 $$$\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}X = \begin{pmatrix}
-1 & 0\\
3 & 5
\end{pmatrix}$$$  в компьютерной алгебре?

Ответ:

(1)

$$\begin{pmatrix}
5 & 5\\
4 & 5
\end{pmatrix}$$

(2)

$$\begin{pmatrix}
-5 & 5\\
4 & 5
\end{pmatrix}$$

(3)

$$\begin{pmatrix}
5 & -5\\
4 & 5
\end{pmatrix}$$

(4)

$$\begin{pmatrix}
5 & 5\\
4 & -5
\end{pmatrix}$$

(5)

$$\begin{pmatrix}
5 & 5\\
-4 & 5
\end{pmatrix}$$

(6)

$$\begin{pmatrix}
-5 & -5\\
4 & 5
\end{pmatrix}$$

(7)

$$\begin{pmatrix}
5 & -5\\
4 & -5
\end{pmatrix}$$

(8)

$$\begin{pmatrix}
5 & 5\\
-4 & -5
\end{pmatrix}$$

(9)

$$\begin{pmatrix}
-5 & 5\\
-4 & 5
\end{pmatrix}$$

Номер 2

Чему равна обратная матрица для матрицы  $$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$$$  в компьютерной алгебре?

Ответ:

(1)

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3,5\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0,5
\end{pmatrix}$$

(2)

$$\begin{pmatrix}
-1 & -2 & 3,5\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0,5
\end{pmatrix}$$

(3)

$$\begin{pmatrix}
1 & -2 & -3,5\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0,5
\end{pmatrix}$$

(4)

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3,5\\
0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0,5
\end{pmatrix}$$

(5)

$$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3,5\\
0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0,5
\end{pmatrix}$$

(6)

$$\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 3,5\\
0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0,5
\end{pmatrix}$$

(7)

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3,5\\
0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0,5
\end{pmatrix}$$

Номер 3

Чему равен определитель матрицы  $$$\begin{pmatrix}
1 & a & bc\\
1 & b & ca\\
1 & c & ab
\end{pmatrix}$$$  в компьютерной алгебре?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Упражнение 2:

Номер 1

Чему равен определитель матрицы  $$$\begin{pmatrix}
1 & a & a^2\\
1 & b & b^2\\
1 & c & c^2
\end{pmatrix}$$$  в компьютерной алгебре?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Номер 2

Чему равен определитель $$\begin{vmatrix}
sin^2 \alpha & cos^2 \alpha & cos2\alpha\\
sin^2 \beta & cos^2 \beta & cos2\beta\\
sin^2 \gamma & cos^2 \gamma & cos2\gamma
\end{vmatrix}$$ в компьютерной алгебре?

Ответ:

(1) 0

(2) 0.5

(3) 1

(4) 1.5

(5) 2.0

(6) 2.5

(7) 3

Номер 3

Чему равен x для следующего равенства $$\begin{vmatrix}
3 & x & -4\\
2 & -1 & 3\\
x + 10 & 1 & 1
\end{vmatrix}=0$$ в компьютерной алгебре?

Ответ:

(1) x = -20

(2) x = -15

(3) x = -10

(4) x = -5

(5) x = 0

(6) x = 5

(7) x = 10

(8) x = 15

(9) x = 20

Упражнение 3:

Номер 1

Чему равен x для следующего равенства $$\begin{vmatrix}
1 & 0 & x\\
0 & x & -1\\
x & 8 & 0
\end{vmatrix}=0$$ в компьютерной алгебре?

Ответ:

(1) x = -20

(2) x = -15

(3) x = -10

(4) x = -5

(5) x = 0

(6) x = 5

(7) x = 10

(8) x = 15

(9) x = 20

Номер 2

Чему равна обратная матрица для блочной матрицы  $$$\begin{pmatrix}
E_{k} & B \\
\Theta & E_{l} 
\end{pmatrix}$$$  в компьютерной алгебре при условии, что Е^k и E^l — единичные матрицы k-го и l-го порядков, В — произвольная k х l матрица?

Ответ:

(1)

$$\begin{pmatrix}
-E_{k} & B \\
\Theta & E_{l} 
\end{pmatrix}$$

(2)

$$\begin{pmatrix}
E_{k} & -B \\
\Theta & E_{l} 
\end{pmatrix}$$

(3)

$$\begin{pmatrix}
E_{k} & B \\
\Theta & -E_{l} 
\end{pmatrix}$$

(4)

$$\begin{pmatrix}
E_{k} & B \\
-\Theta & E_{l} 
\end{pmatrix}$$

(5)

$$\begin{pmatrix}
-E_{k} & -B \\
\Theta & E_{l} 
\end{pmatrix}$$

(6)

$$\begin{pmatrix}
E_{k} & -B \\
\Theta & -E_{l} 
\end{pmatrix}$$

(7)

$$\begin{pmatrix}
E_{k} & B \\
-\Theta & -E_{l} 
\end{pmatrix}$$

(8)

$$\begin{pmatrix}
-E_{k} & B \\
-\Theta & E_{l} 
\end{pmatrix}$$

(9)

$$\begin{pmatrix}
-E_{k} & -B \\
\Theta & -E_{l} 
\end{pmatrix}$$

(10)

$$\begin{pmatrix}
-E_{k} & -B \\
-\Theta & -E_{l} 
\end{pmatrix}$$

Номер 3

При каком из перечисленных условий однородная система линейных уравнений  имеет ненулевое решение?

Ответ:

(1) тогда и только тогда, когда столбцы матрицы А линейно независимы

(2) тогда и только тогда, когда столбцы матрицы X линейно независимы

(3) тогда и только тогда, когда столбцы матрицы math

линейно независимы

(4) тогда и только тогда, когда столбцы матрицы А линейно зависимы

(5) тогда и только тогда, когда столбцы матрицы X линейно зависимы

(6) тогда и только тогда, когда столбцы матрицы math

линейно зависимы

Упражнение 4:

Номер 1

Какие значения принимает определитель ортогональной матрицы?

Ответ:

(1) -4

(2) -3

(3) -2

(4) -1

(5) 0

(6) 1

(7) 2

(8) 3

(9) 4

Номер 2

Какие значения принимает определитель унитарной матрицы?

Ответ:

(1) -4

(2) -3

(3) -2

(4) -1

(5) 0

(6) 1

(7) 2

(8) 3

(9) 4

Номер 3

Чему равен определитель целочисленной матрицы A, если определитель матрицы  также целочисленный?

Ответ:

(1) -4

(2) -3

(3) -2

(4) -1

(5) 0

(6) 1

(7) 2

(8) 3

(9) 4

Упражнение 5:

Номер 1

Какой след имеет нильпонентная матрица порядка два?

Ответ:

(1) ассиметричный

(2) перестановочный

(3) нулевой

(4) единичный

(5) коммутативный

(6) аддитивный

(7) обратный

Номер 2

Какой след имеют все степени нильпонентной матрицы?

Ответ:

(1) ассиметричный

(2) перестановочный

(3) нулевой

(4) единичный

(5) коммутативный

(6) аддитивный

(7) обратный

Номер 3

Сколько элементов содержит полугруппа, состоящая из всех степеней матрицы  $$$\begin{Vmatrix} 
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
 \end{Vmatrix}$$$ ?

Ответ:

(1) один

(2) два

(3) три

(4) четыре

(5) пять

(6) шесть

(7) семь

(8) восемь

(9) девять

Упражнение 6:

Номер 1

Чему равен порядок элемента , если порядок элемента x равен n в компьютерной алгебре?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Номер 2

Чему равен ранг матрицы  $$$\begin{Vmatrix}
7 - \lambda & -12 & 6\\
10 & -19 - \lambda  & 10\\
12 & -24 & 13 - \lambda
\end{Vmatrix}$$$  при различных значениях  в компьютерной алгебре?

Ответ:

(1) одному при math

(2) одному при math

(3) одному при math

(4) одному при math

(5) двум при math

(6) двум при math

(7) двум при math

(8) двум при math

(9) трём при math

(10) трём при math

(11) трём при math

(12) трём при math

Номер 3

C каким знаком входит в развёрнутое выражение определителя порядка n произведение элементов побочной диагонали?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Упражнение 7:

Номер 1

Чему равен определитель кососимметрической матрицы нечётного порядка?

Ответ:

(1) нулю

(2) одному

(3) двум

(4) трём

(5) четырём

(6) пяти

(7) шести

(8) семи

(9) восьми

(10) девяти

Номер 2

Чему равно наибольшее значение определителя третьего порядка составленного из нулей и единиц?

Ответ:

(1) нулю

(2) одному

(3) двум

(4) трём

(5) четырём

(6) пяти

(7) шести

(8) семи

(9) восьми

(10) девяти

Номер 3

Чему равно наибольшее значение определителя третьего порядка составленного из единиц и "минус единиц"?

Ответ:

(1) нулю

(2) одному

(3) двум

(4) трём

(5) четырём

(6) пяти

(7) шести

(8) семи

(9) восьми

(10) девяти

Упражнение 8:

Номер 1

Каким будет результат от возведения в степень n матрицы  $$$\begin{Vmatrix}
\lambda & 1\\
0 & \lambda
\end{Vmatrix}$$$  в компьютерной алгебре?

Ответ:

(1)

$$\begin{Vmatrix}
\lambda^n & \lambda^{n}\\
0 & \lambda^n
\end{Vmatrix}$$

(2)

$$\begin{Vmatrix}
\lambda^n & \lambda^{n-1}\\
0 & \lambda^n
\end{Vmatrix}$$

(3)

$$\begin{Vmatrix}
\lambda^n & n\lambda^{n}\\
0 & \lambda^n
\end{Vmatrix}$$

(4)

$$\begin{Vmatrix}
\lambda^n & n\lambda^{n-1}\\
0 & \lambda^n
\end{Vmatrix}$$

(5)

$$\begin{Vmatrix}
\lambda^n & n\lambda^{n-1}\\
0 & \lambda^{n-1}
\end{Vmatrix}$$

(6)

$$\begin{Vmatrix}
\lambda^n & n\lambda^{n-1}\\
0 & n\lambda^{n-1}
\end{Vmatrix}$$

(7)

$$\begin{Vmatrix}
\lambda^{n-1} & n\lambda^{n-1}\\
0 & n\lambda^{n-1}
\end{Vmatrix}$$

(8)

$$\begin{Vmatrix}
n\lambda^{n-1} & n\lambda^{n-1}\\
0 & \lambda^n
\end{Vmatrix}$$

(9)

$$\begin{Vmatrix}
n\lambda & n\lambda^{n-1}\\
0 & \lambda^n
\end{Vmatrix}$$

Номер 2

Каким будет результат от возведения в степень n матрицы $$$\begin{Vmatrix}
cos \alpha & sin \alpha\\
- sin \alpha & cos \alpha
\end{Vmatrix}$$$  в компьютерной алгебре?

Ответ:

(1)

$$\begin{Vmatrix}
cos (n\alpha) & sin (\alpha)\\
- sin (\alpha) & cos (\alpha)
\end{Vmatrix}$$

(2)

$$\begin{Vmatrix}
cos (\alpha) & sin (n\alpha)\\
- sin (\alpha) & cos (\alpha)
\end{Vmatrix}$$

(3)

$$\begin{Vmatrix}
cos (\alpha) & sin (\alpha)\\
- sin (\alpha) & cos (n\alpha)
\end{Vmatrix}$$

(4)

$$\begin{Vmatrix}
cos (\alpha) & sin (\alpha)\\
- sin (n\alpha) & cos (\alpha)
\end{Vmatrix}$$

(5)

$$\begin{Vmatrix}
cos (n\alpha) & sin (\alpha)\\
- sin (n\alpha) & cos (\alpha)
\end{Vmatrix}$$

(6)

$$\begin{Vmatrix}
cos (n\alpha) & sin (n\alpha)\\
- sin (\alpha) & cos (\alpha)
\end{Vmatrix}$$

(7)

$$\begin{Vmatrix}
cos (\alpha) & sin (n\alpha)\\
- sin (\alpha) & cos (n\alpha)
\end{Vmatrix}$$

(8)

$$\begin{Vmatrix}
cos (\alpha) & sin (\alpha)\\
- sin (n\alpha) & cos (n\alpha)
\end{Vmatrix}$$

(9)

$$\begin{Vmatrix}
cos (n\alpha) & sin (\alpha)\\
- sin (n\alpha) & cos (n\alpha)
\end{Vmatrix}$$

(10)

$$\begin{Vmatrix}
cos (n\alpha) & sin (n\alpha)\\
- sin (\alpha) & cos (n\alpha)
\end{Vmatrix}$$

(11)

$$\begin{Vmatrix}
cos (\alpha) & sin (n\alpha)\\
- sin (n\alpha) & cos (n\alpha)
\end{Vmatrix}$$

(12)

$$\begin{Vmatrix}
cos (n\alpha) & sin (n\alpha)\\
- sin (n\alpha) & cos (\alpha)
\end{Vmatrix}$$

(13)

$$\begin{Vmatrix}
cos (n\alpha) & sin (n\alpha)\\
- sin (n\alpha) & cos (n\alpha)
\end{Vmatrix}$$

Номер 3

Каким будет результат выражение , где ? $$$A=\begin{Vmatrix}
2 & 1\\
- 4 & -2
\end{Vmatrix}$$$  в компьютерной алгебре?

Ответ:

(1)

$$\begin{Vmatrix}
3 & 1\\
4 & 1
\end{Vmatrix}$$

(2)

$$\begin{Vmatrix}
-3 & 1\\
4 & 1
\end{Vmatrix}$$

(3)

$$\begin{Vmatrix}
3 & -1\\
4 & 1
\end{Vmatrix}$$

(4)

$$\begin{Vmatrix}
3 & 1\\
4 & -1
\end{Vmatrix}$$

(5)

$$\begin{Vmatrix}
3 & 1\\
- 4 & 1
\end{Vmatrix}$$

(6)

$$\begin{Vmatrix}
-3 & -1\\
4 & 1
\end{Vmatrix}$$

(7)

$$\begin{Vmatrix}
3 & -1\\
4 & -1
\end{Vmatrix}$$

(8)

$$\begin{Vmatrix}
3 & 1\\
- 4 & -1
\end{Vmatrix}$$

(9)

$$\begin{Vmatrix}
-3 & 1\\
- 4 & 1
\end{Vmatrix}$$

(10)

$$\begin{Vmatrix}
-3 & -1\\
- 4 & 1
\end{Vmatrix}$$

(11)

$$\begin{Vmatrix}
-3 & -1\\
 4 & -1
\end{Vmatrix}$$

(12)

$$\begin{Vmatrix}
3 & -1\\
 -4 & -1
\end{Vmatrix}$$

(13)

$$\begin{Vmatrix}
-3 & 1\\
 -4 & -1
\end{Vmatrix}$$

(14)

$$\begin{Vmatrix}
-3 & -1\\
 -4 & -1
\end{Vmatrix}$$

Упражнение 9:

Номер 1

Каким будет результат выражение , где ? $$$A=\begin{Vmatrix}
3 & 1\\
- 4 & -1
\end{Vmatrix}$$$  в компьютерной алгебре?

Ответ:

(1)

$$\begin{Vmatrix}
2 & 1\\
 4 & 2
\end{Vmatrix}$$

(2)

$$\begin{Vmatrix}
-2 & 1\\
4 & 2
\end{Vmatrix}$$

(3)

$$\begin{Vmatrix}
2 & -1\\
4 & 2
\end{Vmatrix}$$

(4)

$$\begin{Vmatrix}
2 & 1\\
4 & -2
\end{Vmatrix}$$

(5)

$$\begin{Vmatrix}
2 & 1\\
-4 & 2
\end{Vmatrix}$$

(6)

$$\begin{Vmatrix}
-2 & 1\\
-4 & 2
\end{Vmatrix}$$

(7)

$$\begin{Vmatrix}
-2 & -1\\
4 & 2
\end{Vmatrix}$$

(8)

$$\begin{Vmatrix}
2 & -1\\
4 & -2
\end{Vmatrix}$$

(9)

$$\begin{Vmatrix}
2 & 1\\
-4 & -2
\end{Vmatrix}$$

(10)

$$\begin{Vmatrix}
-2 & -1\\
-4 & 2
\end{Vmatrix}$$

(11)

$$\begin{Vmatrix}
-2 & -1\\
4 & -2
\end{Vmatrix}$$

(12)

$$\begin{Vmatrix}
-2 & 1\\
-4 & -2
\end{Vmatrix}$$

(13)

$$\begin{Vmatrix}
2 & -1\\
-4 & -2
\end{Vmatrix}$$

(14)

$$\begin{Vmatrix}
-2 & -1\\
-4 & -2
\end{Vmatrix}$$

Номер 2

Для любых матриц какого порядка выполняется равенство  в компьютерной алгебре?

Ответ:

(1) нулевого

(2) первого

(3) второго

(4) третьего

(5) четвёртого

(6) пятого

(7) шестого

(8) седьмого

(9) восьмого

Номер 3

Делителем какого из перечисленных элементов не является обратимая матрица в кольце матриц над полем?

Ответ:

(1) нуля

(2) единицы

(3) двух

(4) трёх

(5) четырёх

(6) пяти

(7) шести

(8) обратимого элемента

Упражнение 10:

Номер 1

Каким количеством способов любая матрица раскладывается в виде суммы симметрической и кососимметрической матриц?

Ответ:

(1) одним

(2) двумя

(3) тремя

(4) четырьмя

(5) пятью

(6) шестью

(7) семью

(8) не представима

Номер 2

Элемент какого порядка содержится во всякой группе чётного порядка?

Ответ:

(1) первого

(2) второго

(3) третьего

(4) четвёртого

(5) пятого

(6) шестого

(7) седьмого

(8) восьмого

(9) девятого

Номер 3

Какому из перечисленных колец изоморфно кольцо эндоморфизмов циклической группы порядка n?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Упражнение 11:

Номер 1

Группе обратимых элементов какого кольца изоморфна группа автоморфизмов циклической группы порядка n?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Номер 2

Чему равны все дифференцирования(D) кольца ?

Ответ:

(1) нулю

(2) двум

(3) трём

(4) четырём

(5) пяти

(6) шести

(7) семи

(8) восьми

(9) девяти

Номер 3

Чему равен порядок единицы поля в его аддитивной группе?

Ответ:

(1) нулю

(2) бесконечности

(3) простое число

(4) составное число

(5) кольцо целых чисел

(6) поле рациональных чисел

(7) дифференцирование кольца math

Упражнение 12:

Номер 1

Какое количество элементов должны иметь любые два поля чтобы быть изоморфными?

Ответ:

(1) ноль

(2) один

(3) два

(4) три

(5) четыре

(6) пять

(7) шесть

(8) семь

(9) восемь

(10) девять

Номер 2

Какому из приведённых чисел в тригонометрической форме равно число пять?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Номер 3

Какое количество одномерных подпространств содержится в векторном пространстве ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Введение в компьютерную алгебру - тест 1