Введение в компьютерную алгебру

Упражнение 1:

Номер 1

Чему равна матрица обратного перехода от базиса  к базису , базисы заданы своими координатами в линейном пространстве :
 $$$f_{1}=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix},
f_{2}=\begin{pmatrix}
2\\
1\\
2
\end{pmatrix},
f_{3}=\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1
\end{pmatrix}
$$$ 
 $$$g_{1}=\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1
\end{pmatrix},
g_{2}=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix},
g_{3}=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
0
\end{pmatrix}
$$$ ?

Ответ:

(1)

$$\begin{pmatrix}
2 & 0,5 & 0\\
0 & 1,5 & 0\\
0 & 0,5 & 0
\end{pmatrix}
$$

(2)

$$\begin{pmatrix}
2 & 0,5 & 0\\
1 & 1,5 & 0\\
0 & 0,5 & 0
\end{pmatrix}
$$

(3)

$$\begin{pmatrix}
2 & 0,5 & 1\\
1 & 1,5 & 0\\
0 & 0,5 & 0
\end{pmatrix}
$$

(4)

$$\begin{pmatrix}
2 & 0,5 & 1\\
1 & 1,5 & 1\\
0 & 0,5 & 0
\end{pmatrix}
$$

(5)

$$\begin{pmatrix}
2 & 0,5 & 1\\
1 & 1,5 & 1\\
0 & 0,5 & 1
\end{pmatrix}
$$

(6)

$$\begin{pmatrix}
2 & 0,5 & 1\\
1 & 1,5 & 1\\
1 & 0,5 & 1
\end{pmatrix}
$$

(7)

$$\begin{pmatrix}
1 & 0,5 & 1\\
1 & 1,5 & 1\\
1 & 0,5 & 1
\end{pmatrix}
$$

(8)

$$\begin{pmatrix}
1 & 0,5 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 0,5 & 1
\end{pmatrix}
$$

(9)

$$\begin{pmatrix}
1 & 0,5 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$$

(10)

$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$$

Номер 2

Чему равны координаты элементов  и  в каждом из базисов, базисы заданы своими координатами в линейном пространстве :
 $$$f_{1}=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix},
f_{2}=\begin{pmatrix}
2\\
1\\
2
\end{pmatrix},
f_{3}=\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1
\end{pmatrix}
$$$ 
 $$$g_{1}=\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1
\end{pmatrix},
g_{2}=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix},
g_{3}=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
0
\end{pmatrix}
$$$ ?

Ответ:

(1)

$$F_{1f}=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix},
F_{1g}=\begin{pmatrix}
2\\
1\\
0
\end{pmatrix},
G_{3f}=\begin{pmatrix}
-3\\
2\\
5
\end{pmatrix},
G_{3g}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}
$$

(2)

$$F_{1f}=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
0
\end{pmatrix},
F_{1g}=\begin{pmatrix}
2\\
1\\
0
\end{pmatrix},
G_{3f}=\begin{pmatrix}
-3\\
2\\
5
\end{pmatrix},
G_{3g}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}
$$

(3)

$$F_{1f}=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix},
F_{1g}=\begin{pmatrix}
2\\
1\\
0
\end{pmatrix},
G_{3f}=\begin{pmatrix}
-3\\
2\\
5
\end{pmatrix},
G_{3g}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}
$$

(4)

$$F_{1f}=\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1
\end{pmatrix},
F_{1g}=\begin{pmatrix}
2\\
1\\
0
\end{pmatrix},
G_{3f}=\begin{pmatrix}
-3\\
2\\
5
\end{pmatrix},
G_{3g}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}
$$

(5)

$$F_{1f}=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix},
F_{1g}=\begin{pmatrix}
2\\
1\\
0
\end{pmatrix},
G_{3f}=\begin{pmatrix}
-3\\
2\\
5
\end{pmatrix},
G_{3g}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}
$$

(6)

$$F_{1f}=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix},
F_{1g}=\begin{pmatrix}
2\\
1\\
1
\end{pmatrix},
G_{3f}=\begin{pmatrix}
-3\\
2\\
5
\end{pmatrix},
G_{3g}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}
$$

(7)

$$F_{1f}=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix},
F_{1g}=\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1
\end{pmatrix},
G_{3f}=\begin{pmatrix}
-3\\
2\\
5
\end{pmatrix},
G_{3g}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}
$$

(8)

$$F_{1f}=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix},
F_{1g}=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix},
G_{3f}=\begin{pmatrix}
-3\\
2\\
5
\end{pmatrix},
G_{3g}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}
$$

(9)

$$F_{1f}=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix},
F_{1g}=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix},
G_{3f}=\begin{pmatrix}
-3\\
2\\
5
\end{pmatrix},
G_{3g}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}
$$

Номер 3

Чему равны координаты элемента  в базисе , базисы заданы своими координатами в линейном пространстве :
 $$$f_{1}=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix},
f_{2}=\begin{pmatrix}
2\\
1\\
2
\end{pmatrix},
f_{3}=\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1
\end{pmatrix}
$$$ 
 $$$g_{1}=\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1
\end{pmatrix},
g_{2}=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix},
g_{3}=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
0
\end{pmatrix}
$$$ ?

Ответ:

(1)

Y_{g}=\begin{pmatrix}
4\\
6\\
1
\end{pmatrix}

(2)

Y_{g}=\begin{pmatrix}
4,5\\
6\\
1
\end{pmatrix}

(3)

Y_{g}=\begin{pmatrix}
4\\
6,5\\
1
\end{pmatrix}

(4)

Y_{g}=\begin{pmatrix}
4\\
6\\
1,5
\end{pmatrix}

(5)

Y_{g}=\begin{pmatrix}
4,5\\
6,5\\
1
\end{pmatrix}

(6)

Y_{g}=\begin{pmatrix}
4,5\\
6\\
1,5
\end{pmatrix}

(7)

Y_{g}=\begin{pmatrix}
4\\
6,5\\
1,5
\end{pmatrix}

(8)

Y_{g}=\begin{pmatrix}
4,5\\
6,5\\
1,5
\end{pmatrix}

(9)

Y_{g}=\begin{pmatrix}
6,5\\
4,5\\
1,5
\end{pmatrix}

(10)

Y_{g}=\begin{pmatrix}
1,5\\
6,5\\
4,5
\end{pmatrix}

(11)

Y_{g}=\begin{pmatrix}
6,5\\
1,5\\
4,5
\end{pmatrix}

(12)

Y_{g}=\begin{pmatrix}
4,5\\
1,5\\
6,5
\end{pmatrix}

(13)

Y_{g}=\begin{pmatrix}
1,5\\
4,5\\
6,5
\end{pmatrix}

Упражнение 2:

Номер 1

Чему равно разложение элемента  пространства  по базису ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Номер 2

Чему равны координаты вектора х в базисе , где , ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Номер 3

Чему равны координаты вектора х в базисе , где , ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Упражнение 3:

Номер 1

Чему равна матрица переходов от базиса  к базису , где , ?

Ответ:

(1)

\begin{pmatrix}
0 & 3,5 & 2,5\\
4,5 & 4,5 & 4,5\\
0 & -3 & -2
\end{pmatrix}

(2)

\begin{pmatrix}
1 & 3,5 & 2,5\\
0 & 4,5 & 4,5\\
0 & -3 & -2
\end{pmatrix}

(3)

\begin{pmatrix}
0 & 3,5 & 2,5\\
1 & 4,5 & 4,5\\
0 & -3 & -2
\end{pmatrix}

(4)

\begin{pmatrix}
0 & 3,5 & 2,5\\
0 & 4,5 & 4,5\\
1 & -3 & -2
\end{pmatrix}

(5)

\begin{pmatrix}
1 & 3,5 & 2,5\\
1 & 4,5 & 4,5\\
0 & -3 & -2
\end{pmatrix}

(6)

\begin{pmatrix}
1 & 3,5 & 2,5\\
0 & 4,5 & 4,5\\
1 & -3 & -2
\end{pmatrix}

(7)

\begin{pmatrix}
0 & 3,5 & 2,5\\
1 & 4,5 & 4,5\\
1 & -3 & -2
\end{pmatrix}

(8)

\begin{pmatrix}
1 & 3,5 & 2,5\\
1 & 4,5 & 4,5\\
1 & -3 & -2
\end{pmatrix}

(9)

\begin{pmatrix}
1 & 3,5 & 2,5\\
1 & 4,5 & 4,5\\
1 & 3 & -2
\end{pmatrix}

Номер 2

Чему равна матрица обратного перехода от базиса  к базису , где , ?

Ответ:

(1)

\begin{pmatrix}
-9 & 1 & -9\\
-4 & 0 & -5\\
6 & 0 & 7
\end{pmatrix}

(2)

\begin{pmatrix}
-9 & 0 & -9\\
-4 & 1 & -5\\
6 & 0 & 7
\end{pmatrix}

(3)

\begin{pmatrix}
-9 & 0 & -9\\
-4 & 0 & -5\\
6 & 1 & 7
\end{pmatrix}

(4)

\begin{pmatrix}
-9 & 1 & -9\\
-4 & 1 & -5\\
6 & 0 & 7
\end{pmatrix}

(5)

\begin{pmatrix}
-9 & 1 & -9\\
-4 & 0 & -5\\
6 & 1 & 7
\end{pmatrix}

(6)

\begin{pmatrix}
-9 & 0 & -9\\
-4 & 1 & -5\\
6 & 1 & 7
\end{pmatrix}

(7)

\begin{pmatrix}
-9 & 1 & -9\\
-4 & 1 & -5\\
6 & 1 & 7
\end{pmatrix}

(8)

\begin{pmatrix}
-9 & 1 & -9\\
4 & 1 & 5\\
6 & 1 & 7
\end{pmatrix}

(9)

\begin{pmatrix}
9 & 1 & 9\\
4 & 0 & 5\\
6 & 0 & 7
\end{pmatrix}

Номер 3

Чему равно  для пространства , которое изоморфно пространству ?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

(5) 5

(6) 6

(7) 7

(8) 8

(9) 9

Упражнение 4:

Номер 1

Чему равно  для пространства , которое изоморфно пространству ?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

(5) 5

(6) 6

(7) 7

(8) 8

(9) 9

Номер 2

Чему равно  для пространства симметричных  - матриц с нулевыми диагональными элементами, которое изоморфно пространству ?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

(5) 5

(6) 6

(7) 7

(8) 8

(9) 9

Номер 3

Чему равно  для пространства для пространства , которое изоморфно пространству ?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

(5) 5

(6) 6

(7) 7

(8) 8

(9) 9

Упражнение 5:

Номер 1

Чему равно для подпространства многочленов  из , удовлетворяющих условию , которое изоморфно пространству ?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

(5) 5

(6) 6

(7) 7

(8) 8

(9) 9

Номер 2

Чему равно  для подпространства столбцов из , сумма элементов которых равна нулю, которое изоморфно пространству ?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

(5) 5

(6) 6

(7) 7

(8) 8

(9) 9

Номер 3

При каких значениях  совместна система уравнений  $$$\left\{  
\begin{array}{rcl}  
x_{1} - 2\cdot x_{2} + x_{3} + x_{4}& = & c \\  
x_{1} - 2\cdot x_{2} + x_{3} - x_{4}& = & -1 \\
x_{1} - 2\cdot x_{2} + x_{3} + 5\cdot x_{4}& = & 5 \\  
\end{array}   
\right
$$$ ?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

(5) 5

(6) 6

(7) 7

(8) 8

(9) 9

Упражнение 6:

Номер 1

При каких значениях  совместна система уравнений  $$$\left\{  
\begin{array}{rcl}  
2\cdot x_{1} - x_{2} + x_{3} + x_{4}& = & 1 \\  
x_{1} + 2\cdot x_{2} - x_{3} + x_{4}& = & 2 \\
x_{1} + 7\cdot x_{2} - 4\cdot x_{3} + 2\cdot x_{4}& = & c \\  
\end{array}   
\right
$$$ ?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

(5) 5

(6) 6

(7) 7

(8) 8

(9) 9

Номер 2

При каких значениях  совместна система уравнений  $$$\left\{  
\begin{array}{rcl}  
3\cdot x_{1} + 4\cdot x_{2} + x_{3} + 2\cdot x_{4}& = & 3 \\  
6\cdot x_{1} + 8\cdot x_{2} + 2\cdot x_{3} + 5\cdot x_{4}& = & 7 \\
9\cdot x_{1} + 12\cdot x_{2} + 3\cdot x_{3} + c\cdot x_{4}& = & 13 \\  
\end{array}   
\right
$$$ ?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

(5) 5

(6) 6

(7) 7

(8) 8

(9) 9

(10) 10

Номер 3

При каких значениях  совместна система уравнений  $$$\left\{  
\begin{array}{rcl}  
3\cdot x_{1} - 5\cdot x_{2} + 2\cdot x_{3} + 4\cdot x_{4}& = & 2 \\  
7\cdot x_{1} - 4\cdot x_{2} + x_{3} + 3\cdot x_{4}& = & c \\
5\cdot x_{1} + c\cdot x_{2} - 4\cdot x_{3} - 6\cdot x_{4}& = & 3 \\  
\end{array}   
\right
$$$ ?

Ответ:

(1) с — любое число, не равное 1

(2) с — любое число, не равное 2

(3) с — любое число, не равное 3

(4) с — любое число, не равное 4

(5) с — любое число, не равное 5

(6) с — любое число, не равное 6

(7) с — любое число, не равное 7

(8) с — любое число, не равное 8

(9) с — любое число, не равное 9

(10) с — любое число, не равное 10

Упражнение 7:

Номер 1

Чему равен X для системы линейных уравнений , где  $$$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 5
\end{pmatrix},
B = \begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}
$$$ ?

Ответ:

(1)

$$X = \begin{pmatrix}
5 \\
2
\end{pmatrix}
$$

(2)

$$X = \begin{pmatrix}
-5 \\
2
\end{pmatrix}
$$

(3)

$$X = \begin{pmatrix}
5 \\
-2
\end{pmatrix}
$$

(4)

$$X = \begin{pmatrix}
-5 \\
-2
\end{pmatrix}
$$

(5)

$$X = \begin{pmatrix}
2 \\
5
\end{pmatrix}
$$

(6)

$$X = \begin{pmatrix}
-2 \\
5
\end{pmatrix}
$$

(7)

$$X = \begin{pmatrix}
2 \\
-5
\end{pmatrix}
$$

(8)

$$X = \begin{pmatrix}
-2 \\
-5
\end{pmatrix}
$$

Номер 2

Чему равен X для системы линейных уравнений , где  $$$A = \begin{pmatrix}
-1 & 4 \\
8 & 0
\end{pmatrix},
B = \begin{pmatrix}
3\\
8
\end{pmatrix}
$$$ ?

Ответ:

(1)

X = \begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}

(2)

X = \begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}

(3)

X = \begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}

(4)

X = \begin{pmatrix}
-1\\
0
\end{pmatrix}

(5)

X = \begin{pmatrix}
0\\
-1
\end{pmatrix}

(6)

X = \begin{pmatrix}
-1\\
-1
\end{pmatrix}

(7)

X = \begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}

(8)

X = \begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}

(9)

X = \begin{pmatrix}
-1\\
2
\end{pmatrix}

(10)

X = \begin{pmatrix}
1\\
-2
\end{pmatrix}

(11)

X = \begin{pmatrix}
-2\\
1
\end{pmatrix}

(12)

X = \begin{pmatrix}
2\\
-1
\end{pmatrix}

Номер 3

Чему равен X для системы линейных уравнений , где  $$$A = \begin{pmatrix}
1 & 3 & -5\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
B = \begin{pmatrix}
1\\
-1\\
1
\end{pmatrix}
$$$ ?

Ответ:

(1)

$$B = \begin{pmatrix}
15\\
3\\
1
\end{pmatrix}
$$

(2)

$$B = \begin{pmatrix}
-15\\
3\\
1
\end{pmatrix}
$$

(3)

$$B = \begin{pmatrix}
15\\
-3\\
1
\end{pmatrix}
$$

(4)

$$B = \begin{pmatrix}
15\\
3\\
-1
\end{pmatrix}
$$

(5)

$$B = \begin{pmatrix}
-15\\
-3\\
1
\end{pmatrix}
$$

(6)

$$B = \begin{pmatrix}
-15\\
3\\
-1
\end{pmatrix}
$$

(7)

$$B = \begin{pmatrix}
15\\
-3\\
-1
\end{pmatrix}
$$

(8)

$$B = \begin{pmatrix}
-15\\
-3\\
-1
\end{pmatrix}
$$

Упражнение 8:

Номер 1

Чему равен X для системы линейных уравнений , где  $$$A = \begin{pmatrix}
2 & 2 & 3\\
1 & -1 & 0\\
-1 & 2 & 1
\end{pmatrix},
B = \begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix}
$$$ ?

Ответ:

(1)

$$X = \begin{pmatrix}
2\\
2\\
3
\end{pmatrix}
$$

(2)

$$X = \begin{pmatrix}
-2\\
2\\
3
\end{pmatrix}
$$

(3)

$$X = \begin{pmatrix}
2\\
-2\\
3
\end{pmatrix}
$$

(4)

$$X = \begin{pmatrix}
2\\
2\\
-3
\end{pmatrix}
$$

(5)

$$X = \begin{pmatrix}
-2\\
-2\\
3
\end{pmatrix}
$$

(6)

$$X = \begin{pmatrix}
-2\\
2\\
-3
\end{pmatrix}
$$

(7)

$$X = \begin{pmatrix}
2\\
-2\\
-3
\end{pmatrix}
$$

(8)

$$X = \begin{pmatrix}
-2\\
-2\\
-3
\end{pmatrix}
$$

Номер 2

Чему равна размерность подпространства элементов из евклидова 
пространства  ортогональных к данному ненулевому элементу ?

Ответ:

(1) 2/n

(2) n/2

(3) (n - 1)/2

(4) (n + 1)/2

(5) n

(6) 1/(n - 1)

(7) 1/(n + 1)

(8) n - 1

(9) n + 1

(10) 1/n

(11) 2/(n - 1)

(12) 2/(n - 1)

Номер 3

Чему равна размерность подпространства элементов из  каждый из которых ортогонален к данным элементам  ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Упражнение 9:

Номер 1

Чему равен базис ортогонального дополнения к пространству решений однородной системы линейных уравнений:  $$$\left\{  
\begin{array}{rcl}  
x_{1} - x_{2} + x_{3} + x_{4}& = & 0 \\  
2\cdot x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}& = & 0 \\  
\end{array}   
\right
$$$ ?

Ответ:

(1)

\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
1\\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}

(2)

\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
1\\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}

(3)

\begin{pmatrix}
1\\
-3\\
1\\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}

(4)

\begin{pmatrix}
1\\
-4\\
1\\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}

(5)

\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
1\\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
3\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}

(6)

\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
1\\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
4\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}

(7)

\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
1\\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
5\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}

(8)

\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
1\\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
6\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}

(9)

\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
1\\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
7\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}

Номер 2

Чему равен базис ортогонального дополнения к пространству решений однородной системы линейных уравнений:  $$$\left\{  
\begin{array}{rcl}  
5\cdot x_{1} +2\cdot x_{2} - x_{3} & = & 0 \\  
-32\cdot x_{1} - 17\cdot x_{2} + 10\cdot x_{3} & = & 0 \\  
x_{1} - x_{2} + x_{3} & = & 0 \\ 
\end{array}   
\right
$$$ ?

Ответ:

(1)

\begin{pmatrix}
5\\
2\\
-1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-32\\
-17\\
10
\end{pmatrix}

(2)

\begin{pmatrix}
5\\
2\\
-2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-32\\
-17\\
10
\end{pmatrix}

(3)

\begin{pmatrix}
5\\
2\\
-3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-32\\
-17\\
10
\end{pmatrix}

(4)

\begin{pmatrix}
5\\
2\\
-4
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-32\\
-17\\
10
\end{pmatrix}

(5)

\begin{pmatrix}
5\\
2\\
-5
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-32\\
-17\\
10
\end{pmatrix}

(6)

\begin{pmatrix}
5\\
2\\
-6
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-32\\
-17\\
10
\end{pmatrix}

(7)

\begin{pmatrix}
5\\
2\\
-7
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-32\\
-17\\
10
\end{pmatrix}

(8)

\begin{pmatrix}
5\\
2\\
-8
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-32\\
-17\\
10
\end{pmatrix}

(9)

\begin{pmatrix}
5\\
2\\
-9
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-32\\
-17\\
10
\end{pmatrix}

Номер 3

Чему равна матрица Q перехода от ортонормированного базиса  в пространстве  геометрических векторов к базису , где векторы  получаются соответственно из векторов  и  поворотом их на угол  в плоскости этих векторов?

Ответ:

(1)

$$
\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 1\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}
$$

(2)

$$
\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & 1\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}
$$

(3)

$$
\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
$$

(4)

$$
\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}
$$

(5)

$$
\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}
$$

(6)

$$
\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & -1\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}
$$

(7)

$$
\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & -1\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}
$$

(8)

$$
\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & -1\\
\end{pmatrix}
$$

(9)

$$
\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & -1 & 0\\
\end{pmatrix}
$$

(10)

$$
\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
-1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}
$$

Упражнение 10:

Номер 1

Чему равна матрица обратного перехода от ортонормированного базиса  в пространстве  геометрических векторов к базису , где векторы  получаются соответственно из векторов  и  поворотом их на угол  в плоскости этих векторов?

Ответ:

(1)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 1\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(2)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & 1\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(3)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

(4)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}

(5)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(6)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & -1\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(7)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & -1\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(8)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & -1\\
\end{pmatrix}

(9)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & -1 & 0\\
\end{pmatrix}

(10)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
-1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

Номер 2

Чему равна матрица Q перехода от ортонормированного базиса  в пространстве  геометрических векторов к базису , где векторы  получаются соответственно из векторов  и  поворотом их на угол  в плоскости этих векторов?

Ответ:

(1)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 1\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(2)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & 1\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(3)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

(4)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}

(5)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(6)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & -1\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(7)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & -1\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(8)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & -1\\
\end{pmatrix}

(9)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & -1 & 0\\
\end{pmatrix}

(10)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & -sin\varphi & 0\\
sin\varphi & cos\varphi & 0\\
-1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

Номер 3

Чему равна матрица обратного перехода от ортонормированного базиса  в пространстве  геометрических векторов к базису , где векторы  получаются соответственно из векторов  и  поворотом их на угол  в плоскости этих векторов?

Ответ:

(1)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 1\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(2)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & 1\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(3)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

(4)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}

(5)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(6)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & -1\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(7)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & -1\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(8)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & 0 & -1\\
\end{pmatrix}

(9)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
0 & -1 & 0\\
\end{pmatrix}

(10)

\begin{pmatrix}
cos\varphi & sin\varphi & 0\\
-sin\varphi & cos\varphi & 0\\
-1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

Упражнение 11:

Номер 1

Чему равна обратная матрица  для матрицы  $Q=\begin{pmatrix}
11/15 & 2/15 & -2/3\\
2/15 & 14/15 & 1/3\\
2/3 & -1/3 & 2/3\\
\end{pmatrix}$ ,

Ответ:

(1)

Q=\begin{pmatrix}
-11/15 & 2/15 & 2/3\\
2/15 & 14/15 & -1/3\\
2/3 & 1/3 & 2/3\\
\end{pmatrix}

(2)

Q=\begin{pmatrix}
11/15 & -2/15 & 2/3\\
2/15 & 14/15 & 1/3\\
2/3 & 1/3 & -2/3\\
\end{pmatrix}

(3)

Q=\begin{pmatrix}
11/15 & 2/15 & -2/3\\
2/15 & 14/15 & 1/3\\
2/3 & -1/3 & 2/3\\
\end{pmatrix}

(4)

Q=\begin{pmatrix}
11/15 & 2/15 & 2/3\\
-2/15 & 14/15 & -1/3\\
-2/3 & 1/3 & 2/3\\
\end{pmatrix}

(5)

Q=\begin{pmatrix}
11/15 & 2/15 & 2/3\\
-2/15 & 14/15 & 1/3\\
2/3 & 1/3 & -2/3\\
\end{pmatrix}

(6)

Q=\begin{pmatrix}
-11/15 & 2/15 & 2/3\\
2/15 & 14/15 & 1/3\\
2/3 & -1/3 & 2/3\\
\end{pmatrix}

(7)

Q=\begin{pmatrix}
11/15 & -2/15 & 2/3\\
2/15 & 14/15 & 1/3\\
-2/3 & 1/3 & 2/3\\
\end{pmatrix}

(8)

Q=\begin{pmatrix}
11/15 & 2/15 & -2/3\\
-2/15 & 14/15 & 1/3\\
2/3 & 1/3 & 2/3\\
\end{pmatrix}

Номер 2

Чему равна матрица оператора дифференцирования, действующего в , в базисе , где  - линейная оболочка функций ?

Ответ:

(1)

\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1\\
\end{pmatrix}

(2)

\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1\\
\end{pmatrix}

(3)

\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1\\
\end{pmatrix}

(4)

\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1\\
\end{pmatrix}

(5)

\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0\\
\end{pmatrix}

(6)

\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0\\
\end{pmatrix}

(7)

\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0\\
\end{pmatrix}

(8)

\begin{pmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0\\
\end{pmatrix}

Номер 3

Чему равна матрица оператора , где  - оператор поворота на угол  в пространстве  векторов на плоскости?

Ответ:

(1)

\begin{pmatrix}
cos (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & sin (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
sin (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & cos (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
\end{pmatrix}

(2)

\begin{pmatrix}
-cos (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & sin (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
sin (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & cos (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
\end{pmatrix}

(3)

\begin{pmatrix}
cos (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & -sin (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
sin (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & cos (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
\end{pmatrix}

(4)

\begin{pmatrix}
cos (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & sin (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
sin (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & -cos (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
\end{pmatrix}

(5)

\begin{pmatrix}
cos (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & sin (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
-sin (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & cos (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
\end{pmatrix}

(6)

\begin{pmatrix}
sin (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & cos (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
cos (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & sin (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
\end{pmatrix}

(7)

\begin{pmatrix}
-sin (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & cos (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
cos (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & sin (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
\end{pmatrix}

(8)

\begin{pmatrix}
sin (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & -cos (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
cos (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & sin (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
\end{pmatrix}

(9)

\begin{pmatrix}
sin (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & cos (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
cos (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & -sin (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
\end{pmatrix}

(10)

\begin{pmatrix}
sin (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & cos (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
-cos (\varphi_{1} + \varphi_{2}) & sin (\varphi_{1} + \varphi_{2})\\
\end{pmatrix}

Упражнение 12:

Номер 1

Чему равна матрица оператора , где  - оператор поворота на угол  в пространстве  векторов на плоскости?

Ответ:

(1)

\begin{pmatrix}
cos \varphi_{1} & sin \varphi_{1}\\
sin \varphi_{1} & cos \varphi_{1}\\
\end{pmatrix}

(2)

\begin{pmatrix}
-cos \varphi_{1} & sin \varphi_{1}\\
sin \varphi_{1} & cos \varphi_{1}\\
\end{pmatrix}

(3)

\begin{pmatrix}
cos \varphi_{1} & -sin \varphi_{1}\\
sin \varphi_{1} & cos \varphi_{1}\\
\end{pmatrix}

(4)

\begin{pmatrix}
cos \varphi_{1} & sin \varphi_{1}\\
sin \varphi_{1} & -cos \varphi_{1}\\
\end{pmatrix}

(5)

\begin{pmatrix}
cos \varphi_{1} & sin \varphi_{1}\\
-sin \varphi_{1} & cos \varphi_{1}\\
\end{pmatrix}

(6)

\begin{pmatrix}
sin \varphi_{1} & cos \varphi_{1}\\
cos \varphi_{1} & sin \varphi_{1}\\
\end{pmatrix}

(7)

\begin{pmatrix}
-sin \varphi_{1} & cos \varphi_{1}\\
cos \varphi_{1} & sin \varphi_{1}\\
\end{pmatrix}

(8)

\begin{pmatrix}
sin \varphi_{1} & -cos \varphi_{1}\\
cos \varphi_{1} & sin \varphi_{1}\\
\end{pmatrix}

(9)

\begin{pmatrix}
sin \varphi_{1} & cos \varphi_{1}\\
cos \varphi_{1} & -sin \varphi_{1}\\
\end{pmatrix}

(10)

\begin{pmatrix}
sin \varphi_{1} & cos \varphi_{1}\\
-cos \varphi_{1} & sin \varphi_{1}\\
\end{pmatrix}

Номер 2

Чему равна матрица оператора дифференцирования (оператора ) в пространстве  многочленов степени, не превосходящей 2, в базисе ?

Ответ:

(1)

D_{e} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(2)

D_{e} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(3)

D_{e} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix}

(4)

D_{e} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 2 & 0\\
\end{pmatrix}

(5)

D_{e} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
2 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

(6)

D_{e} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}

(7)

D_{e} = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(8)

D_{e} = \begin{pmatrix}
0 & 2 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

Номер 3

Чему равна матрица оператора дифференцирования (оператора ) в пространстве  многочленов степени, не превосходящей 2, в базисе ?

Ответ:

(1)

D_{e} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 2\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(2)

D_{e} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(3)

D_{e} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix}

(4)

D_{e} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 2 & -1\\
\end{pmatrix}

(5)

D_{e} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
2 & -1 & 1\\
\end{pmatrix}

(6)

D_{e} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
2 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}

(7)

D_{e} = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

(8)

D_{e} = \begin{pmatrix}
-1 & 2 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}

Введение в компьютерную алгебру - тест 3