Введение в компьютерную алгебру

Упражнение 1:

Номер 1

Чему равна матрица линейного оператора  в правом ортонормированном базисе , если (а, b, с — заданные числа); у — фиксированный вектор линейного пространства ,  — оператор, действие которого на любой вектор  из  задается равенством  — векторное произведение вектора  на вектор ?

Ответ:

(1)

\begin{pmatrix}
0 & c & -b\\
-c & 0 & a\\
b & -a & 0\\
\end{pmatrix}

(2)

\begin{pmatrix}
1 & c & -b\\
-c & 0 & a\\
b & -a & 0\\
\end{pmatrix}

(3)

\begin{pmatrix}
0 & c & -b\\
-c & 1 & a\\
b & -a & 0\\
\end{pmatrix}

(4)

\begin{pmatrix}
0 & c & -b\\
-c & 0 & a\\
b & -a & 1\\
\end{pmatrix}

(5)

\begin{pmatrix}
1 & c & -b\\
-c & 1 & a\\
b & -a & 0\\
\end{pmatrix}

(6)

\begin{pmatrix}
1 & c & -b\\
-c & 0 & a\\
b & -a & 1\\
\end{pmatrix}

(7)

\begin{pmatrix}
0 & c & -b\\
-c & 1 & a\\
b & -a & 1\\
\end{pmatrix}

(8)

\begin{pmatrix}
1 & c & -b\\
-c & 1 & a\\
b & -a & 1\\
\end{pmatrix}

(9)

\begin{pmatrix}
-1 & c & -b\\
-c & -1 & a\\
b & -a & -1\\
\end{pmatrix}

Номер 2

Чему равна матрица линейного оператора  в базисе , если матрица данного линейного оператора  в базисе  имеет вид:  $A_{e} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 1\\
3 & 0 & -1 & 2\\
2 & 5 & 3 & 1\\
1 & 2 & 1 & 3\\
\end{pmatrix}$ ?

Ответ:

(1)

\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2 & 1\\
2 & 3 & 5 & 1\\
3 & 1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}

(2)

\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1\\
2 & 3 & 5 & 1\\
3 & 1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}

(3)

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & -1\\
2 & 3 & 5 & 1\\
3 & 1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}

(4)

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1\\
-2 & 3 & 5 & 1\\
3 & 1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}

(5)

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1\\
2 & -3 & 5 & 1\\
3 & 1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}

(6)

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1\\
2 & 3 & -5 & 1\\
3 & 1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}

(7)

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1\\
2 & 3 & 5 & -1\\
3 & 1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}

(8)

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1\\
2 & 3 & 5 & 1\\
-3 & 1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}

(9)

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1\\
2 & 3 & 5 & 1\\
3 & -1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}

(10)

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1\\
2 & 3 & 5 & 1\\
3 & 1 & 0 & -2\\
1 & 1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}

(11)

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1\\
2 & 3 & 5 & 1\\
3 & 1 & 0 & 2\\
-1 & 1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}

(12)

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1\\
2 & 3 & 5 & 1\\
3 & 1 & 0 & 2\\
1 & -1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}

(13)

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1\\
2 & 3 & 5 & 1\\
3 & 1 & 0 & 2\\
1 & 1 & -2 & 3\\
\end{pmatrix}

(14)

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1\\
2 & 3 & 5 & 1\\
3 & 1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 2 & -3\\
\end{pmatrix}

Номер 3

Чему равна матрица линейного оператора  в базисе , если матрица данного линейного оператора  в базисе  имеет вид:  $A_{e} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 1\\
3 & 0 & -1 & 2\\
2 & 5 & 3 & 1\\
1 & 2 & 1 & 3\\
\end{pmatrix}$ ?

Ответ:

(1)

\begin{pmatrix}
-2 & 0 & -1 & 0\\
1 & 4 & 8 & 7\\
1 & 4 & 6 & 4\\
1 & 3 & 4 & 7\\
\end{pmatrix}

(2)

\begin{pmatrix}
-2 & 0 & 1 & 0\\
1 & -4 & -8 & -7\\
1 & 4 & 6 & 4\\
1 & 3 & 4 & 7\\
\end{pmatrix}

(3)

\begin{pmatrix}
-2 & 0 & 1 & 0\\
1 & 4 & 8 & 7\\
1 & -4 & -6 & -4\\
1 & 3 & 4 & 7\\
\end{pmatrix}

(4)

\begin{pmatrix}
-2 & 0 & 1 & 0\\
1 & 4 & 8 & 7\\
1 & 4 & 6 & 4\\
1 & -3 & -4 & -7\\
\end{pmatrix}

(5)

\begin{pmatrix}
2 & 0 & -1 & 0\\
-1 & 4 & 8 & 7\\
1 & 4 & 6 & 4\\
1 & 3 & 4 & 7\\
\end{pmatrix}

(6)

\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 & 0\\
-1 & -4 & -8 & -7\\
1 & 4 & 6 & 4\\
1 & 3 & 4 & 7\\
\end{pmatrix}

(7)

\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 & 0\\
-1 & 4 & 8 & 7\\
1 & -4 & -6 & -4\\
1 & 3 & 4 & 7\\
\end{pmatrix}

(8)

\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 & 0\\
-1 & 4 & 8 & 7\\
1 & 4 & 6 & 4\\
1 & -3 & -4 & -7\\
\end{pmatrix}

(9)

\begin{pmatrix}
2 & 0 & -1 & 0\\
1 & 4 & 8 & 7\\
-1 & 4 & 6 & 4\\
1 & 3 & 4 & 7\\
\end{pmatrix}

(10)

\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 & 0\\
1 & -4 & -8 & -7\\
-1 & 4 & 6 & 4\\
1 & 3 & 4 & 7\\
\end{pmatrix}

(11)

\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 & 0\\
1 & 4 & 8 & 7\\
-1 & -4 & -6 & -4\\
1 & 3 & 4 & 7\\
\end{pmatrix}

(12)

\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 & 0\\
1 & 4 & 8 & 7\\
-1 & 4 & 6 & 4\\
1 & -3 & -4 & -7\\
\end{pmatrix}

(13)

\begin{pmatrix}
2 & 0 & -1 & 0\\
1 & 4 & 8 & 7\\
1 & 4 & 6 & 4\\
-1 & 3 & 4 & 7\\
\end{pmatrix}

(14)

\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 & 0\\
1 & -4 & -8 & -7\\
1 & 4 & 6 & 4\\
-1 & 3 & 4 & 7\\
\end{pmatrix}

(15)

\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 & 0\\
1 & 4 & 8 & 7\\
1 & -4 & -6 & -4\\
-1 & 3 & 4 & 7\\
\end{pmatrix}

(16)

\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 & 0\\
1 & 4 & 8 & 7\\
1 & 4 & 6 & 4\\
-1 & -3 & -4 & -7\\
\end{pmatrix}

Упражнение 2:

Номер 1

На какое число необходимо умножить определитель -го порядка, если его строки записать в обратном порядке?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Номер 2

На какое число необходимо умножить определитель -го порядка, если первый столбец переставить на последнее место, а остальные столбцы передвинуть влево, сохраняя их расположение

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Номер 3

На какое число необходимо умножить определитель -го порядка, если каждый его элемент заменить элементом, симметричным с данным относительно "центра" определителя?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) n

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Упражнение 3:

Номер 1

Чему равен кососимметрический определитель нечетного -го порядка?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) n

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Номер 2

На какое число необходимо умножить определитель, если каждый его элемент заменить элементом, симметричным с данным относительно побочной диагонали?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) n

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Номер 3

На какое число необходимо умножить определитель, если у всех его элементов изменить знак на противоположный?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) n

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Упражнение 4:

Номер 1

На какое число необходимо умножить определитель, если каждый его элемент умножить на , где ?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) n

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Номер 2

На какое число необходимо умножить определитель порядка n, если его матрицу повернуть на 90 градусов вокруг "центра"?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Номер 3

На какое число необходимо умножить определитель порядка , у которого сумма строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) n

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Упражнение 5:

Номер 1

На какое число необходимо умножить определитель порядка , если из каждой строки, кроме последней, вычесть последующую строку, из последней строки вычесть прежнюю первую строку?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) n

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Номер 2

Чему равно число определителей порядка , в каждом из которых в каждой строке и каждом столбце один элемент равен единице, а остальные равны нулю?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Номер 3

Чему равна сумма всех определителей порядка , в каждом из которых в каждой строке и каждом столбце один элемент равен единице, а остальные равны нулю?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) n

(4) n/2

(5) n^2

(6) 2/n

(7) 2^n

(8) n!

(9) (n!)/2

(10) 2/(n!)

Упражнение 6:

Номер 1

Чему равен элемент определителя порядка , симметричный элементу  относительно побочной диагонали?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Номер 2

Чему равен элемент определителя порядка , симметричный элементу  относительно "центра" определителя?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Номер 3

Чему равен определитель порядка , элементы которого заданы условиями ?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) n

(4) n/2

(5) n^2

(6) 2/n

(7) 2^n

(8) n!

(9) (n!)/2

(10) 2/(n!)

Упражнение 7:

Номер 1

Чему равен определитель порядка , элементы которого заданы условиями ?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) n

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Номер 2

Чему равен определитель порядка , элементы которого заданы условиями ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Номер 3

Чему равно наибольшее значение, которое может принимать определитель третьего порядка, при условии, что все его элементы равны ?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

(4) 3

(5) 4

(6) 5

(7) 6

(8) 7

(9) 8

(10) 9

Упражнение 8:

Номер 1

Чему равно наибольшее значение определителя третьего порядка при условии, что его элементы равны +1 или 0?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

(4) 3

(5) 4

(6) 5

(7) 6

(8) 7

(9) 8

(10) 9

Номер 2

Чему равен x, y, z для данных уравнений $$$
4bcx + acy - 2abz = 0.\\ 
5bcx + 3acy — 4abz + abc = 0,\\ 
3bcx + 2acy — abz — 4abc = 0$$$ ,где  $abc \ne 0.$ ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Номер 3

Чему равен x, y, z для данных уравнений $$$
x + y - z = a,\\ 
x + \varepsilon y — \varepsilon^2 z = b,\\ 
x + \varepsilon^2 y + \varepsilon z = c
$$$ , где  $$$
\varepsilon
$$$  - отличное от 1 значение  $$$
\sqrt[3]{1}
$$$

Ответ:

(1)

$$
x=\cfrac {a + b + c}{2}; y=\cfrac {a + b\varepsilon^2 + c\varepsilon}{2}; z = \cfrac {a + b\varepsilon + c\varepsilon^2}{2} 
$$

(2)

$$
x=\cfrac {a + b + c}{3}; y=\cfrac {a + b\varepsilon^2 + c\varepsilon}{3}; z = \cfrac {a + b\varepsilon + c\varepsilon^2}{3} 
$$

(3)

$$
x=\cfrac {a + b + c}{4}; y=\cfrac {a + b\varepsilon^2 + c\varepsilon}{4}; z = \cfrac {a + b\varepsilon + c\varepsilon^2}{4} 
$$

(4)

$$
x=\cfrac {a + b + c}{5}; y=\cfrac {a + b\varepsilon^2 + c\varepsilon}{5}; z = \cfrac {a + b\varepsilon + c\varepsilon^2}{5} 
$$

(5)

$$
x=\cfrac {a + b + c}{6}; y=\cfrac {a + b\varepsilon^2 + c\varepsilon}{6}; z = \cfrac {a + b\varepsilon + c\varepsilon^2}{6} 
$$

(6)

$$
x=\cfrac {a + b + c}{7}; y=\cfrac {a + b\varepsilon^2 + c\varepsilon}{7}; z = \cfrac {a + b\varepsilon + c\varepsilon^2}{7} 
$$

(7)

$$
x=\cfrac {a + b + c}{8}; y=\cfrac {a + b\varepsilon^2 + c\varepsilon}{8}; z = \cfrac {a + b\varepsilon + c\varepsilon^2}{8} 
$$

(8)

$$
x=\cfrac {a + b + c}{9}; y=\cfrac {a + b\varepsilon^2 + c\varepsilon}{9}; z = \cfrac {a + b\varepsilon + c\varepsilon^2}{9} 
$$

(9)

$$
x=\cfrac {a + b + c}{10}; y=\cfrac {a + b\varepsilon^2 + c\varepsilon}{10}; z = \cfrac {a + b\varepsilon + c\varepsilon^2}{10} 
$$

Упражнение 9:

Номер 1

Чему равно число инверсий в перестановке (за исходное расположение принимается расположение 1, 2, 3, ... в возрастающем порядке): 2, 3, 5, 4, 1?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

(5) 5

(6) 6

(7) 7

(8) 8

(9) 9

Номер 2

Чему равно число инверсий в перестановке (за исходное расположение принимается расположение 1, 2, 3, ... в возрастающем порядке): 6, 3, 1, 2, 5, 4?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

(5) 5

(6) 6

(7) 7

(8) 8

(9) 9

Номер 3

Чему равно число инверсий в перестановке (за исходное расположение принимается расположение 1, 2, 3, ... в возрастающем порядке): 1, 9, 6, 3, 2, 5, 4, 7, 8?

Ответ:

(1) 10

(2) 11

(3) 12

(4) 13

(5) 14

(6) 15

(7) 16

(8) 17

(9) 18

Упражнение 10:

Номер 1

Чему равно число инверсий в перестановке (за исходное расположение принимается расположение 1, 2, 3, ... в возрастающем порядке): 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2?

Ответ:

(1) 10

(2) 11

(3) 12

(4) 13

(5) 14

(6) 15

(7) 16

(8) 17

(9) 18

Номер 2

Чему равно число инверсий в перестановке (за исходное расположение принимается расположение 1, 2, 3, ... в возрастающем порядке): ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Номер 3

Чему равно число инверсий в перестановке (за исходное расположение принимается расположение 1, 2, 3, ... в возрастающем порядке): ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Упражнение 11:

Номер 1

Чему равно число инверсий в перестановке (за исходное расположение принимается расположение 1, 2, 3, ... в возрастающем порядке): ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Номер 2

При каких значениях  перестановка:  чётна?

Ответ:

(1)

, где

— любое целое неотрицательное число

(2)

, где

— любое целое неотрицательное число

(3)

, где

— любое целое неотрицательное число

(4)

, где

— любое целое неотрицательное число

(5)

, где

— любое целое неотрицательное число

(6)

, где

— любое целое неотрицательное число

(7)

, где

— любое целое неотрицательное число

(8)

, где

— любое целое неотрицательное число

(9)

, где

— любое целое неотрицательное число

Номер 3

При каких значениях  перестановка:  нечётна?

Ответ:

(1)

, где

— любое целое неотрицательное число

(2)

, где

— любое целое неотрицательное число

(3)

, где

— любое целое неотрицательное число

(4)

, где

— любое целое неотрицательное число

(5)

, где

— любое целое неотрицательное число

(6)

, где

— любое целое неотрицательное число

(7)

, где

— любое целое неотрицательное число

(8)

, где

— любое целое неотрицательное число

(9)

, где

— любое целое неотрицательное число

Упражнение 12:

Номер 1

Чему равно число инверсий в перестановке (за исходное расположение принимается расположение 1, 2, 3, ... в возрастающем порядке): ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Номер 2

При каких значениях  перестановка:  чётна?

Ответ:

(1)

, где

— любое целое неотрицательное число

(2)

, где

— любое целое неотрицательное число

(3)

, где

— любое целое неотрицательное число

(4)

, где

— любое целое неотрицательное число

(5)

, где

— любое целое неотрицательное число

(6)

, где

— любое целое неотрицательное число

(7)

, где

— любое целое неотрицательное число

(8)

, где

— любое целое неотрицательное число

(9)

, где

— любое целое неотрицательное число

Номер 3

При каких значениях  перестановка:  нечётна?

Ответ:

(1)

, где

— любое целое неотрицательное число

(2)

, где

— любое целое неотрицательное число

(3)

, где

— любое целое неотрицательное число

(4)

, где

— любое целое неотрицательное число

(5)

, где

— любое целое неотрицательное число

(6)

, где

— любое целое неотрицательное число

(7)

, где

— любое целое неотрицательное число

(8)

, где

— любое целое неотрицательное число

(9)

, где

— любое целое неотрицательное число

Введение в компьютерную алгебру - тест 4