Введение в алгебру

Упражнение 1:

Номер 1

К характеристикам многочлена следует отнести

Ответ:

(1) старший коэффициент

(2) старший член

(3) свободный член

Номер 2

Что представляет собой нулевой многочлен?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) -1

Номер 3

Верно ли то, что нулевой многочлен представляет собой единицу в  степени проективной размерности?

Ответ:

(1) да, это верно

(2) нет, это неверно

(3) это может быть верно только когда проективная размерность поля многочлена равна 1

Упражнение 2:

Номер 1

Множество многочленов с операциями сложения и умножения представляет собой

Ответ:

(1) коммутативное ассоциативное кольцо с единицей

(2) множество без нулевых элементов и единицы

(3) подмножество контекстных многочленов, выраженных в неявном виде

Номер 2

Верно ли то, что множество многочленов с операциями сложения и умножения не может являться кольцом?

Ответ:

(1) согласно определению, это верно

(2) нет, это неверно

(3) это может быть верно только тогда, когда невозможно определить проективную размерность множества

Номер 3

Является ли множество многочленов с операциями сложения и умножения коммутативным ассоциативным кольцом с единицей?

Ответ:

(1) нет, это противоречит определению

(2) да, это верно

(3) это может быть верно только в исключительно редких случаях

Упражнение 3:

Номер 1

Множество многочленов с операцией сложения является

Ответ:

(1) коммутативной группой

(2) неполной инъективной группой

(3) неопределенной подгруппой с нулевым элементом

Номер 2

Множество многочленов с операцией умножения является

Ответ:

(1) сюръективной подгруппой

(2) контекстным подмножеством

(3) коммутативной группой

Номер 3

Коммутативной группой является

Ответ:

(1) множество многочленов с операцией сложения

(2) множество многочленов с операцией умножения

(3) множество многочленов с положительными коэффициентами с операцией сложения

Упражнение 4:

Номер 1

Нейтральным элементом для операции умножения многочленов является

Ответ:

(1) 0

(2) -1

(3) 1

Номер 2

Верно ли то, что нуль - это нейтральный элемент для операции умножения многочленов?

Ответ:

(1) это верно только при проективной размерности поля, равной 1

(2) да, это верно

(3) нет, это неверно

Номер 3

Для операции умножения многочленов нуль является нейтральным элементом, а единица - нет. Верно ли это?

Ответ:

(1) да, это верно

(2) нет, оба элемента являются нейтральными

(3) верно обратное утверждение

Упражнение 5:

Номер 1

Вложение поля в кольцо многочленов

Ответ:

(1) невозможно по определению

(2) возможно

(3) не производится из-за трудоемкости

Номер 2

Может ли отображение являться инъективным гомоморфизмом колец?

Ответ:

(1) нет, это исключено

(2) да, это возможно

(3) это зависит от типа и проективной размерности такого отображения

Номер 3

Произведено вложение поля в кольцо многочленов. Не противоречит ли такое действие определению?

Ответ:

(1) да, противоречит, такое вложение некорректно

(2) нет, не противоречит, это широко используется

(3) это можно произвести только контекстным образом

Упражнение 6:

Номер 1

Старший коэффициент многочлена f(x)g(x) является

Ответ:

(1) суммой старших коэффициентов многочленов f(x) и g(x)

(2) произведением старших коэффициентов многочленов f(x) и g(x)

(3) квадратом суммы старших коэффициентов многочленов f(x) и g(x)

Номер 2

В кольце многочленов есть, по меньшей мере, пара делителей нуля. Корректно ли такое определение?

Ответ:

(1) нет, это неверно

(2) да, это верно

(3) это верно только в том случае, если кольцо многочленов ассоциативно

Номер 3

В кольце многочленов

Ответ:

(1) есть делители нуля

(2) нет делителей нуля

(3) все элементы являются делителями нуля

Упражнение 7:

Номер 1

В кольце многочленов можно

Ответ:

(1) проводить ассоциативные замены нулевых элементов

(2) сокращать на ненулевой многочлен

(3) создавать новые классы многочленов с целью прямой замены некорректных выражений

Номер 2

Верно ли то, что в кольце многочленов можно сокращать на ненулевой многочлен?

Ответ:

(1) это можно сделать только в том случае, если в множестве многочленов есть делители нуля

(2) это верно во всех случаях

(3) это неверно вообще

Номер 3

f(x), g(x) и h(x) многочлены. Что следует из тождества f(x)g(x)=f(x)h(x)?

Ответ:

(1) f(x)=g(x)=h(x)=0

(2) h(x)=0

(3) либо f(x)=0, либо g(x)=h(x)

Упражнение 8:

Номер 1

Деление с остатком в кольце многочленов

Ответ:

(1) исключено

(2) возможно

(3) не определено

Номер 2

Возможно ли деление с остатком в кольце многочленов?

Ответ:

(1) нет, это исключено

(2) хотя это и не противоречит определению, но все же не производится

(3) да, возможно

Номер 3

f1(x), f2(x) и f3(x) - многочлены. f1(x)=f2(x)f3(x). О чем это свидетельствует?

Ответ:

(1) f1(x) делится на f2(x)

(2) эти многочлены нулевые

(3) f1(x) - нулевой многочлен

Упражнение 9:

Номер 1

Совокупность всех многочленов, делящихся на многочлен f(x), называют

Ответ:

(1) главным идеалом

(2) побочным идеалом

(3) несовместным идеалом

Номер 2

Кольцо многочленов является

Ответ:

(1) коммутативным кольцом главных идеалов

(2) неопределенным кольцом главных идеалов

(3) инъективным кольцом главных идеалов

Номер 3

Кольцо многочленов является сюръективным кольцом главных идеалов. Верно ли это?

Ответ:

(1) это не может быть верно

(2) да, это верно

(3) это верно только в случае, когда невозможно сосчитать количество степеней многочлена

Упражнение 10:

Номер 1

f(x), g(x) и h(x) - многочлены. Если f(x) делится на g(x), g(x) делится на h(x), то

Ответ:

(1) g(x)=1

(2) f(x) делится на h(x)

(3) f(x)=h(x)=0

Номер 2

f(x), g(x) и h(x) - многочлены. Если f(x) и g(x) делятся на h(x), то

Ответ:

(1) f(x)-g(x) делится на h(x)

(2) f(x)+g(x) делится на h(x)

(3) f(x)=g(x)=1

Номер 3

f(x) и g(x) - многочлены, c - элемент поля многочлена. Многочлен f(x) делится на g(x) и g(x) делится на f(x) тогда и только тогда, когда

Ответ:

(1) g(x)= cf(x)=1

(2) g(x)=cf(x)

(3) g(x)=c= f(x)

Упражнение 11:

Номер 1

Существует ли наибольший общий делитель для любых многочленов?

Ответ:

(1) нет, его не существует

(2) да, он существует

(3) это зависит только от степени многочлена

Номер 2

Наибольший делитель многочленов определен

Ответ:

(1) множественным образом

(2) однозначно

(3) в зависимости от типа поля многочлена и его проективной размерности

Номер 3

Наибольший делитель определен с точностью

Ответ:

(1) до десятых

(2) до ненулевой константы

(3) до сотых

Упражнение 12:

Номер 1

Многочлены из кольца многочленов называются взаимно простыми, если

Ответ:

(1) их наибольший делитель равен 1

(2) у них нет общего делителя

(3) их общие делители - это лишь ненулевые многочлены нулевой степени

Номер 2

f(x) - многочлен, c - элемент поля многочлена. Если f(c)=0, то c принято называть

Ответ:

(1) индикатором обратной связи

(2) корнем многочлена

(3) анализатором

Номер 3

Всегда ли существует по крайней мере один действительный корень многочлена?

Ответ:

(1) нет, может не существовать

(2) да, всегда существует как минимум один действительный корень

(3) всегда существует количество действительных корней равное степени многочлена

Введение в алгебру - тест 4