Введение в алгебру

Упражнение 1:

Номер 1

Однородная система уравнений

Ответ:

(1) может быть несовместной

(2) всегда несовместна

(3) всегда совместна

Номер 2

Является ли однородная система уравнений совместной?

Ответ:

(1) да, является

(2) только в некоторых случаях

(3) нет, не является

Номер 3

Решением однородной системы уравнений является

Ответ:

(1) все множество чисел

(2) нулевая строчка

(3) пара чисел (1,1)

Упражнение 2:

Номер 1

Уравнение с нулевыми коэффициентами при переменных и ненулевым свободным членом

Ответ:

(1) не существует, так как это противоречит определению

(2) существует и называется "экзотическим"

(3) существует и называется "аналитическим"

Номер 2

Какое уравнение называют "экзотическим"?

Ответ:

(1) в котором все коэффициенты при переменных - нулевые, а свободный член не равен нулю

(2) в котором коэффициенты при переменных - ненулевые, зато свободный член - нулевой

(3) в котором и коэффициенты при переменных, и свободный член - нулевые

Номер 3

Если система линейных уравнений содержит "экзотическое" уравнение, то она

Ответ:

(1) сюръективна

(2) однородна

(3) несовместна

Упражнение 3:

Номер 1

Если матрица коэффициентов системы линейных уравнений нулевая, то ее совместность

Ответ:

(1) неопределена

(2) не имеет смысла

(3) определена при нулевых свободных членах

Номер 2

В ступенчатой матрице главными считаются те элементы, которые

Ответ:

(1) проходят через уголки ступенек

(2) принадлежат главной диагонали

(3) являются положительными

Номер 3

В ступенчатой матрице элементы, проходящие через уголки ступенек, называют

Ответ:

(1) главными

(2) свободными

(3) побочными

Упражнение 4:

Номер 1

В ступенчатой матрице свободными считаются те элементы, которые

Ответ:

(1) не проходят через уголки ступенек

(2) принадлежат главной диагонали

(3) являются положительными

Номер 2

В ступенчатой матрице элементы, не проходящие через уголки ступенек, называют

Ответ:

(1) главными

(2) свободными

(3) побочными

Номер 3

Правильно ли утверждение, что в ступенчатой матрице свободных элементов может не быть вообще?

Ответ:

(1) нет, это неверно, они есть всегда

(2) да, это утверждение верно, так как не противоречит определению

(3) это неверно только для прямоугольных матриц

Упражнение 5:

Номер 1

Если в ступенчатой системе линейных уравнений нет "экзотических" уравнений, то

Ответ:

(1) она не имеет решений

(2) она имеет решение

(3) она однородна

Номер 2

В ступенчатой матрице нет ни одного "экзотического" уравнения. Это говорит о том, что

Ответ:

(1) эту матрицу нельзя транспонировать

(2) эта матрица несовместна

(3) матрица имеет решение

Номер 3

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда

Ответ:

(1) на ее главной диагонали отсутствуют нули

(2) вся побочная диагональ занята нулями

(3) ее ступенчатом виде нет "экзотических" уравнений

Упражнение 6:

Номер 1

Исходная и ее ступенчатая системы

Ответ:

(1) эквипотенциальны

(2) несовместимы

(3) эквивалентны

Номер 2

Для совместной системы уравнений

Ответ:

(1) не существует свободных неизвестных

(2) свободные неизвестные существуют и им можно придавать произвольные значения

(3) свободные неизвестные имеют фиксированные значения

Номер 3

При первом появлении "экзотического" уравнения в методе Гаусса

Ответ:

(1) процесс нахождения решения останавливается из-за несовместности системы

(2) решение считается найденным

(3) на главной диагонали все элементы заменяют нулями, а на побочной - единицами

Упражнение 7:

Номер 1

Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда

Ответ:

(1) свободные члены этой системы равны между собой

(2) свободные члены этой системы нулевые

(3) в ее ступенчатом виде найдется "экзотическое" уравнение

Номер 2

В ступенчатом виде системы нет "экзотических" уравнений, а также все неизвестные - главные. Это говорит о том, что

Ответ:

(1) эта система несовместна

(2) эта система является определенной

(3) матрица такой системы не имеет обратную матрицу

Номер 3

Если имеется хотя бы одно свободное неизвестное, то система

Ответ:

(1) имеет бесконечное множество решений

(2) является неопределенной

(3) имеет нетранспонируемую матрицу коэффициентов

Упражнение 8:

Номер 1

С помощью элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типа привести к главному ступенчатому виду можно

Ответ:

(1) только треугольную матрицу

(2) только несовместную матрицу

(3) любую ненулевую матрицу

Номер 2

С помощью элементарных преобразований 3-го типа можно

Ответ:

(1) производить сложение уравнений

(2) сделать всех лидеров ненулевых строк равными единице

(3) сделать матрицу несовместной

Номер 3

Главный ступенчатый вид матрицы определяется

Ответ:

(1) многозначно

(2) однозначно

(3) независимо от поля матрицы, но множественным образом

Упражнение 9:

Номер 1

Главный ступенчатый вид однородной системы равносилен с заменой знака

Ответ:

(1) выражению главных неизвестных через свободные

(2) интерпретации главных переменных

(3) отображению системы относительно побочной диагонали

Номер 2

Над конечным полем из двух элементов система x+y=0 имеет

Ответ:

(1) одно решение

(2) два решения

(3) ни одного решения

Номер 3

Квадратная система уравнений имеет

Ответ:

(1) одно решение

(2) два решение

(3) множество решений

Упражнение 10:

Номер 1

Однородная система, соответствующая квадратной системе, имеет

Ответ:

(1) множество решений

(2) пару решений

(3) одно решение

Номер 2

Альтернатива Фредгольма утверждает, что квадратная система линейных уравнений может быть

Ответ:

(1) определенной

(2) сюръективной

(3) самодополняемой

Номер 3

Либо система линейных уравнений определенная, либо соответствующая ей однородная система имеет ненулевое решение. Это утверждение является

Ответ:

(1) альтернативой Фредгольма

(2) зависимостью Лапласа

(3) аксиомой Галуа

Упражнение 11:

Номер 1

Определите неверное утверждение:

Ответ:

(1) любую ненулевую матрицу с помощью элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типа можно привести к главному ступенчатому виду

(2) либо система линейных уравнений определенная, либо соответствующая ей однородная система имеет ненулевое решение

(3) квадратная система уравнений имеет множество решений

Номер 2

Какое из утверждений является неверным:

Ответ:

(1) если в ступенчатой системе линейных уравнений нет "экзотических" уравнений, то она не имеет решений

(2) однородная система линейных уравнений всегда совместна

(3) решением однородной системы является нулевая строчка

Номер 3

Одно из утверждений неверно. Определите, какое?

Ответ:

(1) свободный член "экзотического" уравнения равен 0

(2) коэффициенты "экзотического" уравнения равны 0

(3) система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда в ее ступенчатом виде нет "экзотических" уравнений

Упражнение 12:

Номер 1

Система из уравнений x+y=0 и x+y=1 является

Ответ:

(1) определенной

(2) "экзотической"

(3) несовместной

Номер 2

Система из уравнений x+y=1 и x-y=0 является

Ответ:

(1) "экзотической"

(2) определенной

(3) несовместной

Номер 3

Система из одного уравнения x+y=1 является

Ответ:

(1) неопределенной

(2) "экзотической"

(3) несовместной

Введение в алгебру - тест 8