Алгебра матриц и линейные пространства

Упражнение 1:

Номер 1

Корнями характеристического многочлена из поля этого многочлена являются

Ответ:

(1) любые числа

(2) собственные числа

(3) как собственные числа, так и любые другие

Номер 2

Что называют корнями характеристического многочлена из поля этого многочлена?

Ответ:

(1) любые числа

(2) собственные числа

(3) как собственные числа, так и любые другие

Номер 3

Верно ли то, что корнями характеристического многочлена из поля этого многочлена могут быть любые числа?

Ответ:

(1) да, это верно

(2) нет, утверждение неверно

(3) это зависит от типа многочлена

Упражнение 2:

Номер 1

Может ли матрица иметь собственное число?

Ответ:

(1) да, может

(2) нет, это невозможно

(3) это не определено правилами собственных чисел

Номер 2

Может ли матрица иметь собственный вектор?

Ответ:

(1) да, может

(2) нет, это невозможно

(3) это не определено правилами собственных векторов

Номер 3

Характерны ли для матриц понятия собственных чисел и векторов?

Ответ:

(1) да, это одни из основных понятий

(2) нет, эти понятия не связаны с матрицами

(3) все зависит от ранга матрицы

Упражнение 3:

Номер 1

Все собственные векторы матрицы относительно собственного числа - это

Ответ:

(1) несуществующие элементы

(2) нулевые элементы

(3) все ненулевые решения системы

Номер 2

Верно ли то, что все собственные векторы матрицы относительно собственного числа - это все ненулевые решения системы?

Ответ:

(1) нет, утверждение неверно

(2) да, это правильно

(3) верно только обратное

Номер 3

Ненулевые решения системы определяются собственными векторами матрицы относительно собственного числа. Так ли это?

Ответ:

(1) только в исключительно редких случаях

(2) нет, это неверно

(3) да, утверждение верно

Упражнение 4:

Номер 1

Множество всех собственных векторов матрицы относительно собственного числа

Ответ:

(1) не образует линейного подпространства в множестве столбцов

(2) образует линейное подпространство в множестве столбцов

(3) не определено вообще

Номер 2

Множество всех собственных векторов матрицы относительно собственного числа не образует линейного подпространства в множестве столбцов. Верно ли это?

Ответ:

(1) да, это верно

(2) нет, неверно, образуют

(3) это образование напрямую зависит от наличия нулей в побочной диагонали матрицы

Номер 3

Образует ли линейное подпространство множество всех собственных векторов матрицы относительно собственного числа?

Ответ:

(1) неизвестно

(2) да, образует

(3) нет, не образует

Упражнение 5:

Номер 1

Верно ли то, что все собственные векторы ненулевые?

Ответ:

(1) да, это так и есть

(2) нет, утверждение неверно

(3) все зависит от главной диагонали матрицы

Номер 2

Все собственные вектора матрицы ненулевые. Так ли это?

Ответ:

(1) да, это так

(2) нет, это неверно

(3) это зависит от наличия нулей на побочной диагонали

Номер 3

Найдется ли во множестве собственных векторов матрицы нулевой вектор?

Ответ:

(1) нет, не найдется

(2) да, найдется

(3) все собственные вектора нулевые

Упражнение 6:

Номер 1

Что получится, если добавить к множеству всех собственных векторов матрицы нулевой вектор?

Ответ:

(1) пустое множество

(2) нулевой вектор

(3) линейное подпространство всех решений системы

Номер 2

К множеству всех собственных векторов матрицы добавлен нулевой вектор. Можно ли утверждать, что образовалось линейное подпространство всех решений системы?

Ответ:

(1) да, это верно

(2) нет, это неверно

(3) не хватает еще пустого подмножества

Номер 3

Возможно ли образование линейного подпространства всех решений системы добавлением нулевого вектора к множеству всех собственных векторов матрицы?

Ответ:

(1) нет, так как это не соответствует принципу ассоциативности

(2) да, это возможно, это одно из базовых определений

(3) все зависит от того, есть ли на побочной диагонали нули

Упражнение 7:

Номер 1

Может ли быть такое, что для матрицы нет действительных собственных чисел?

Ответ:

(1) да, такое может быть

(2) нет, это невозможно

(3) пока таких случаев не встречалось, хотя теоретически это возможно

Номер 2

Может ли быть такое, что для матрицы нет собственных векторов?

Ответ:

(1) да, такое может быть

(2) нет, это невозможно

(3) пока таких случаев не встречалось, хотя теоретически это возможно

Номер 3

Характеристический многочлен не имеет действительных корней. В таком случае можно говорить о том, что

Ответ:

(1) у матрицы нет действительных собственных чисел

(2) у матрицы нет собственных векторов

(3) матрица неопределена

Упражнение 8:

Номер 1

Могут ли собственные числа матрицы быть комплексными?

Ответ:

(1) нет, это исключено

(2) да, могут

(3) зависит от того, равен ли определитель нулю

Номер 2

В результате решения задачи собственные числа матрицы оказались мнимыми. Можно ли утверждать на этом основании, что решение ошибочно?

Ответ:

(1) да, можно

(2) нет, нельзя

(3) нельзя только в редких случаях, а в остальных можно

Номер 3

Матрица 2х2 состоит из нулей в главной диагонали, 1 и -1 в побочной. Правильно ли то, что собственные числа такой матрицы мнимые?

Ответ:

(1) нет, утверждение не верно, они действительные

(2) да, это так

(3) это зависит от поля, в котором рассматривается матрица

Упражнение 9:

Номер 1

Матрицы A и B связаны соотношением AB=BA. О чем это свидетельствует?

Ответ:

(1) для них существует общий собственный вектор

(2) они не могут быть транспонированы

(3) это нулевые матрицы

Номер 2

Верно ли то, что для матриц A и B, связанных соотношением AB=BA, не существует общего собственного вектора?

Ответ:

(1) да, это верно

(2) это верно только в некоторых случаях

(3) нет, это неверно

Номер 3

Могут ли две матрицы иметь общий собственный вектор?

Ответ:

(1) да, могут

(2) нет, это исключено

(3) это возможно только в очень редких случаях, когда матрицы имеют нули в главных диагоналях

Упражнение 10:

Номер 1

Столбцы матрицы линейно независимы. Тогда можно говорить о том, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям

Ответ:

(1) не определены

(2) линейно независимы

(3) являются нулевыми

Номер 2

Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы. Почему это так?

Ответ:

(1) это объясняется неопределенностью матрицы

(2) это объясняется линейной независимостью столбцов

(3) это следует из того, что матрица не имеет собственных чисел

Номер 3

Могут ли собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, быть линейно независимыми?

Ответ:

(1) нет, это исключено

(2) да, это возможно

(3) это возможно в очень редких частных случаях

Упражнение 11:

Номер 1

A, B, C - матрицы. Можно ли с помощью теоремы Сильвестера определить количество возможных решений X уравнения AX-XB=C?

Ответ:

(1) нет, можно определить с помощью этой теоремы только тип результата

(2) да, можно определить количество решений X

(3) это зависит от определенности матриц B и C

Номер 2

Существует ли в конечномерном линейном пространстве линейный оператор?

Ответ:

(1) это характерно только для бесконечномерного линейного пространства

(2) да, существует

(3) это очень редкий случай, а в целом это невозможно

Номер 3

Нормальная жорданова форма  матрицы определяется

Ответ:

(1) множественным образом

(2) однозначно

(3) комплексными числами

Упражнение 12:

Номер 1

Укажите неверное утверждение:

Ответ:

(1) корнями характеристического многочлена из поля этого многочлена являются собственные числа

(2) все собственные векторы матрицы относительно собственного числа - это нулевые элементы

(3) все собственные вектора матрицы ненулевые

Номер 2

Какое утверждение верно?

Ответ:

(1) собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы

(2) все собственные вектора матрицы нулевые

(3) собственные числа матрицы всегда являются комплексными

Номер 3

Найдите неверное утверждение:

Ответ:

(1) теорема Гамильтона Кэли является следствием теоремы о жордановой нормальной форме

(2) нормальная жорданова форма матрицы определена однозначно

(3) матрица не может одновременно иметь и собственные числа, и собственные вектора

Алгебра матриц и линейные пространства - тест 10