Алгебра матриц и линейные пространства

Упражнение 1:

Номер 1

Можно ли получить из ненулевой матрицы ступенчатую матрицу?

Ответ:

(1) да, это возможно

(2) нет, это невозможно из-за несоответствия классов матриц

(3) нет, невозможно из-за ограниченности понятийной базы

Номер 2

Верно ли, что из ненулевой матрицы в любом случае невозможно получить ступенчатую матрицу?

Ответ:

(1) да, это верно и полностью соответствует определению

(2) нет, это утверждение неверно

(3) утверждение верно, так как существует несоответствие типов матриц

Номер 3

Возможно ли получение из ненулевой матрицы больше, чем одной ступенчатой матрицы?

Ответ:

(1) нет, это противоречит определению

(2) да, это возможно

(3) это невозможно из-за ограниченности линейного пространства

Упражнение 2:

Номер 1

Чтобы получить ступенчатую матрицу из ненулевой матрицы необходимо

Ответ:

(1) произвести конечное число элементарных преобразований строк

(2) заменить строки столбцами

(3) заменить элементы главной диагонали элементами побочной

Номер 2

Можно ли с помощью определенного количества элементарных преобразований строк получить из ненулевой матрицы ступенчатую матрицу?

Ответ:

(1) нет, это невозможно, так как существует несоответствие в классе

(2) да, это возможно

(3) нет, это невозможно, так как противоречит определению

Номер 3

Над ненулевой матрицей произведено конечное число элементарных преобразований строк. Может ли результатом оказаться ступенчатая матрица?

Ответ:

(1) нет, это невозможно по определению

(2) да, это вполне возможно

(3) получение ступенчатой матицы таким образом невозможно из-за ограниченности класса матриц

Упражнение 3:

Номер 1

Системы строк ступенчатых матриц, полученных из одной ненулевой матрицы, в линейном пространстве строк

Ответ:

(1) совпадают

(2) являются эквивалентными

(3) линейно выражаются друг через друга

Номер 2

Ступенчатые матрицы образованы из одной ненулевой матрицы. Возможно ли линейное выражение строк этих матриц друг через друга?

Ответ:

(1) нет, это невозможно, так как матрицы однородны

(2) да, это возможно и широко применяется

(3) нет, это невозможно, так как матрицы не лежат в одном линейном пространстве

Номер 3

Линейное выражение друг через друга строк ступенчатых матриц, образованных из одной ненулевой матрицы

Ответ:

(1) невозможно

(2) возможно

(3) не имеет практического применения

Упражнение 4:

Номер 1

Возможно ли совпадение линейных оболочек строк ступенчатых матриц, образованных из одной ненулевой матрицы?

Ответ:

(1) нет, так как они не равны изначально

(2) нет, так как линейные оболочки строк универсальны и не могут совпадать

(3) да, такое совпадение возможно

Номер 2

Ступенчатые матрицы образованы из ненулевой матрицы путем эквивалентных преобразований. Возможно ли совпадение линейных оболочек строк этих матриц?

Ответ:

(1) да, такое совпадение вполне возможно

(2) нет, это исключено по причине несоответствия классов матриц

(3) это невозможно, потому что такие матрицы будут иметь разные размеры

Номер 3

Совпадение линейных оболочек строк ступенчатых матриц, образованных из одной ненулевой матрицы, невозможно. Так ли это?

Ответ:

(1) да, это действительно так

(2) нет, утверждение неверно

(3) все зависит от размерности матриц

Упражнение 5:

Номер 1

Ступенчатые матрицы образованы из ненулевой матрицы. Где расположены лидеры строк этих матриц?

Ответ:

(1) на главных диагоналях

(2) на побочных диагоналях

(3) в одних и тех же столбцах

Номер 2

Лидеры строк ступенчатых матриц, образованных из ненулевой матрицы, располагаются на побочных диагоналях. Верно ли это?

Ответ:

(1) нет, утверждение неверно, они располагаются на главных диагоналях

(2) нет, это неверно, они располагаются в одних и тех же столбцах

(3) да, это утверждение верно

Номер 3

Ступенчатые матрицы образованы из ненулевой матрицы элементарными преобразованиями. Существуют ли лидеры в их строках?

Ответ:

(1) нет, их не может быть, все символы равноправны

(2) да, существуют и занимают главные диагонали матриц

(3) существуют и расположены в одних и тех же столбцах

Упражнение 6:

Номер 1

Если ступенчатые матрицы являются главными ступенчатыми видами ненулевой матрицы, из которой они образованы, то

Ответ:

(1) эти матрицы эквивалентны в линейном выводе

(2) эти матрицы равны

(3) у этих матриц нет лидеров в строках

Номер 2

Если ступенчатые матрицы являются главными ступенчатыми видами ненулевой матрицы, из которой они образованы, то эти матрицы отличаются друг от друга типом конечного представления. Верно ли это?

Ответ:

(1) да, это соответствует определению

(2) нет, эти матрицы равны

(3) да, так как линейные оболочки строк этих матриц не равны между собой

Номер 3

Могут ли ступенчатые матрицы, образованные из ненулевой матрицы, являться главными ступенчатыми видами этой ненулевой матрицы?

Ответ:

(1) нет, не могут по определению

(2) это не определено

(3) да, могут

Упражнение 7:

Номер 1

Линейная выражаемость систем строк матрицы является

Ответ:

(1) коммутативной

(2) транзитивной

(3) инъективной

Номер 2

Является ли линейная выражаемость систем строк матрицы транзитивной?

Ответ:

(1) да, является

(2) не является, так как это противоречит правилу конъюнктивности

(3) нет, не является, так как определение выпадает из понятийной базы

Номер 3

Линейная выражаемость систем строк матрицы является транзитивной. Верно ли это утверждение?

Ответ:

(1) нет, неверно, так как она является ассоциативной

(2) нет, утверждение противоречит определению

(3) да, это верно

Упражнение 8:

Номер 1

Разбиения на главные и свободные неизвестные, определяемые ступенчатыми видами 
матриц, образованных из ненулевой матрицы

Ответ:

(1) не совпадают

(2) совпадают

(3) могут совпадать, а могут отличаться

Номер 2

Совпадают ли разбиения на главные и свободные неизвестные, определяемые ступенчатыми видами ступенчатых матриц, образованных из ненулевой матрицы?

Ответ:

(1) нет, не совпадают, так как лидеры строк этих матриц неравны между собой

(2) нет, не совпадают, так как это противоречит определению разбиения

(3) да, совпадают

Номер 3

Верно ли то, что разбиения на главные и свободные неизвестные, определяемые ступенчатыми видами ступенчатых матриц, образованных из ненулевой матрицы не совпадают?

Ответ:

(1) да, это верно

(2) нет, это неверно

(3) это зависит от порядка рассматриваемых матриц

Упражнение 9:

Номер 1

Каким образом главные неизвестные выражаются через свободные?

Ответ:

(1) многообразно

(2) независимо

(3) однозначно

Номер 2

Верно ли то, что главные неизвестные выражаются через свободные неоднозначным образом?

Ответ:

(1) да, это утверждение верно

(2) нет, это неверно

(3) это зависит от порядка и класса матрицы

Номер 3

Главный ступенчатый вид определяется выражением неизвестных переменных через свободные однозначно. Верно ли это?

Ответ:

(1) да, это верно

(2) нет, утверждению не хватает конкретизма

(3) правильность этого утверждения зависит от ранга матрицы

Упражнение 10:

Номер 1

Могут ли быть изоморфными конечномерные линейные пространства?

Ответ:

(1) да, могут

(2) нет, не могут

(3) это не определено, так как не имеет практического смысла

Номер 2

Линейные пространства являются конечномерными. Могут ли они быть изоморфными?

Ответ:

(1) нет, не могут, так как это противоречит определению изоморфности

(2) не могут, потому что они конечно определены

(3) да, могут

Номер 3

Каждое линейное пространство над каким-либо полем изоморфно линейному пространству строк. Верно ли это?

Ответ:

(1) да, утверждение верно

(2) нет, это неверно

(3) все зависит от класса и порядка матрицы

Упражнение 11:

Номер 1

Линейное пространство является бесконечномерным линейным пространством тогда, когда

Ответ:

(1) в нем нет базиса из конечного числа элементов

(2) в нем есть конечный базис

(3) в нем нет базиса вообще

Номер 2

Как называется линейное пространство, в котором нет базиса из конечного числа элементов?

Ответ:

(1) бесконечным

(2) неопределенным

(3) бесконечномерным

Номер 3

В каком случае линейное пространство может быть бесконечномерным?

Ответ:

(1) тогда, когда оно не имеет нулевых элементов

(2) когда оно является пространством прямоугольных матриц

(3) когда в нем нет базиса из конечного числа элементов

Упражнение 12:

Номер 1

Если определитель матрицы равен нулю, то

Ответ:

(1) строки транспонированной матрицы линейно зависимы

(2) определитель транспонированной матрицы равен 1

(3) определитель транспонированной матрицы равен 0

Номер 2

Строки транспонированной матрицы линейно зависимы, определитель транспонированной матрицы равен 0. О чем это говорит?

Ответ:

(1) определитель исходной матрицы равен 1

(2) определитель исходной матрицы равен 0

(3) определитель исходной матрицы равен -1

Номер 3

Возможна ли интерпретация матрицы путем перехода от второго базиса к первому?

Ответ:

(1) нет, это противоречит правилу интерпретации

(2) да, это вполне возможно

(3) правильным будет только обратное утверждение

Алгебра матриц и линейные пространства - тест 7