Алгебра матриц и линейные пространства

Упражнение 1:

Номер 1

В каком случае непустое множество считается линейным подпространством линейного пространства?

Ответ:

(1) когда сумма элементов множества принадлежит этому множеству

(2) в том случае, если множество не содержит нулевых и пустых элементов

(3) тогда, когда произведение элемента множества на элемент поля под линейным пространством принадлежит этому множеству

Номер 2

Существует ли по крайней мере одно линейное подпространство в линейном пространстве?

Ответ:

(1) да, существует

(2) нет, это невозможно по определению

(3) в зависимости от типа поля линейного пространства

Номер 3

Может ли линейное подпространство линейного пространства быть пустым подмножеством?

Ответ:

(1) да, это пустое множество согласно определению

(2) нет, это невозможно

(3) это невозможно только в некоторых специфических случаях, а в остальном верно

Упражнение 2:

Номер 1

Являются ли элементы линейного подпространства линейно независимыми?

Ответ:

(1) да, являются

(2) нет, это невозможно

(3) могут быть как независимыми, так и зависимыми

Номер 2

Если элементы линейного подмножества линейно независимы, то в линейном множестве они будут линейно зависимы. Верно ли это?

Ответ:

(1) да, утверждение верно

(2) нет, это не так

(3) все зависит от размера пространства и типа поля

Номер 3

Элементы линейного подмножества линейно независимы. Как они определяются в линейном множестве?

Ответ:

(1) они будут линейно зависимы

(2) они линейно независимы

(3) это невозможно определить, не зная типа описываемого поля и размера подпространства

Упражнение 3:

Номер 1

Возможна ли операция пересечения линейных подпространств?

Ответ:

(1) нет, так как она не ассоциативна

(2) невозможна, потому эта операция не является коммутативной

(3) да, возможна, это не противоречит определению

Номер 2

 В линейном пространстве имеются два подпространства. Возможно ли их взаимное пересечение?

Ответ:

(1) зависит от того, как определяются элементы этих пространств

(2) важно знать, какое подпространство пересекается справа; в нем не должно быть пустых элементов

(3) такое пересечение вполне возможно

Номер 3

Является ли результат пересечения линейных подпространств также линейным подпространством?

Ответ:

(1) нет, результатом будет нелинейное множество

(2) да, в результате получится линейное подпространство

(3) все зависит от типа поля и содержания пустых элементов в этих подмножествах

Упражнение 4:

Номер 1

Линейное подпространство, полученное пересечением двух линейных подпространств, является самым маленьким среди подпространств, содержащих одновременно оба указанные подпространства. Верно ли это?

Ответ:

(1) нет, пересечение двух линейных подпространств является наибольшим среди подпространств

(2) да, это верно и не противоречит определению

(3) это не верно только в случае пустых множеств, а в остальном верно

Номер 2

Линейное подпространство, полученное суммой двух линейных подпространств, является самым маленьким среди подпространств, содержащих одновременно оба указанные подпространства. Верно ли это?

Ответ:

(1) верно обратное утверждение

(2) да, утверждение верно и не противоречит определению подпространств

(3) все зависит от содержания нулевых элементов в подпространствах

Номер 3

В линейном пространстве существуют два подпространства. Размерность какого подпространства будет больше,- пересечения или суммы?

Ответ:

(1) сумма

(2) результат пересечения

(3) одинаково

Упражнение 5:

Номер 1

Что является результатом пересечения одинаковых подпространств в линейном пространстве?

Ответ:

(1) такое же подпространство

(2) линейное пространство

(3) пустое множество

Номер 2

Верно ли то, что результатом пересечения двух одинаковых подпространств в линейном пространстве является пустое множество?

Ответ:

(1) да, это верно

(2) нет, это неверно

(3) это зависит от содержания нулевых элементов в этих подпространствах

Номер 3

Два одинаковых подпространства пересекаются в линейном пространстве. В результате получается

Ответ:

(1) нелинейное множество

(2) такое же подпространство

(3) пустое множество

Упражнение 6:

Номер 1

Что является результатом суммы одинаковых подпространств в линейном пространстве?

Ответ:

(1) такое же подпространство

(2) линейное пространство

(3) пустое множество

Номер 2

Верно ли то, что результатом суммы двух одинаковых подпространств в линейном пространстве является пустое множество?

Ответ:

(1) да, это верно

(2) нет, это неверно

(3) это зависит от содержания нулевых элементов в этих подпространствах

Номер 3

Два одинаковых подпространства складываются в линейном пространстве. В результате получается

Ответ:

(1) нелинейное множество

(2) такое же подпространство

(3) пустое множество

Упражнение 7:

Номер 1

Применим ли ассоциативный закон при операциях с подпространствами?

Ответ:

(1) да, применим

(2) нет, это невозможно

(3) зависит от типа подпространства

Номер 2

В линейном пространстве есть два подпространства. Имеет ли значение при сложении этих подпространств, какое из них будет справа?

Ответ:

(1) нет, это неважно, результат от перестановки не изменится

(2) перестановка подпространств приведет к другому результату

(3) перестанавливать слагаемые таким образом невозможно вообще

Номер 3

В линейном пространстве есть два подпространства. Имеет ли значение при пересечении этих подпространств, какое из них будет слева?

Ответ:

(1) да, это очень важно, так как при перестановке получится другой результат

(2) нет, это не имеет значения

(3) перестановку нельзя производить вообще

Упражнение 8:

Номер 1

В линейном пространстве существуют два подпространства A и B. Подпространство A складывается с пересечением подпространств A и B. Что получится в результате?

Ответ:

(1) подпространство A

(2) подпространство B

(3) сумма подпространств A и B

Номер 2

В линейном пространстве существуют два подпространства A и B. Подпространство A пересекается с суммой подпространств A и B. Что получится в результате?

Ответ:

(1) подпространство A

(2) подпространство B

(3) пересечение подпространств A и B

Номер 3

Допустимы ли над пространствами одновременные операции сложения и пересечения?

Ответ:

(1) нет, это невозможно вообще

(2) да, это вполне осуществимо

(3) это невозможно сделать одним действием

Упражнение 9:

Номер 1

Любая максимальная линейно независимая подсистема в линейной оболочке не может быть базисом линейного подпространства. Верно ли это?

Ответ:

(1) это верно только в случае, когда подсистема не содержит нулевых элементов

(2) это верно во всех случаях

(3) это неверно во всех случаях

Номер 2

Может ли максимальная линейно независимая подсистема в линейной оболочке являться базисом линейного подпространства?

Ответ:

(1) это противоречит определению

(2) да, может

(3) может только в случае с нулевым базисом

Номер 3

Существует ли хотя бы одна линейно независимая подсистема в линейной оболочке некоторого подмножества линейного пространства?

Ответ:

(1) нет, это невозможно по определению

(2) да, существует и не одна

(3) все подсистемы являются зависимыми, но существование независимых подсистем возможно теоретически

Упражнение 10:

Номер 1

Дополнение подпространства элементами возможно. А возможно ли такое дополнение с базисами?

Ответ:

(1) нет, не возможно

(2) да, возможно

(3) все зависит от наличия нулевых элементов

Номер 2

Возможно ли дополнение базиса другими элементами?

Ответ:

(1) нет, это исключено

(2) да, возможно

(3) не имеет практического смысла

Номер 3

Базис можно дополнять элементами. А с каждым ли базисом можно это сделать?

Ответ:

(1) утверждение неверно, дополнение базиса невозможно

(2) да, это можно сделать с любым базисом

(3) нет, не с каждым, только с определяемыми базисами

Упражнение 11:

Номер 1

Можно ли определить прямое дополнение подпространства?

Ответ:

(1) нет, это невозможно даже теоретически

(2) да, это возможно

(3) только если прямое дополнение не содержит модуляционных символов

Номер 2

Существует ли прямое дополнение хотя бы к одному линейному подпространству?

Ответ:

(1) да, существует

(2) нет, это невозможно

(3) все зависит от типа описываемого поля

Номер 3

Прямое дополнение подпространства является

Ответ:

(1) пустым множеством

(2) линейным подпространством

(3) нелинейным подпространством

Упражнение 12:

Номер 1

Все прямые дополнения линейного пространства

Ответ:

(1) гомоморфны

(2) изоморфны

(3) полиморфны

Номер 2

Все прямые дополнения линейного пространства полиморфны. Верно ли это?

Ответ:

(1) нет, не верно, они ассоциативны

(2) нет, они изоморфны

(3) нет, они гомоморфны

Номер 3

Все прямые дополнения линейного пространства имеют фиксированную размерность. Так ли это?

Ответ:

(1) да, это так

(2) нет, это не так

(3) это противоречит определению, хотя теоретически это может быть правильно

Алгебра матриц и линейные пространства - тест 8