Введение в линейную алгебру

Упражнение 1:

Номер 2

Если две строки в определителе поменять местами, то определитель

Ответ:

(1) изменится по величине

(2) изменит знак

(3) не изменится

Номер 3

Определитель второго порядка это

Ответ:

(1) число, равное a₁₁·a₂₂-a₁₂·a₂₁

(2) число, равное a₁₂·a₂₁-a₁₁·a₂₂

(3) число, равное a₁₁+a₁₂+a₂₁+a₂₂

Номер 4

Минором называется

Ответ:

(1) определитель, который получается из основного вычеркиванием одного из столбцов

(2) определитель, получающийся из основного вычеркиванием одной строки и одного столбца

(3) определитель, который получается из основного вычеркиванием любой строки

(4) определитель, который получается из основного вычеркиванием одного из столбцов и строки того же номера

Упражнение 2:

Номер 1

Элементы а_ij, из которых составлена матрица называются

Ответ:

(1) коэффициентами матрицы

(2) элементами данной матрицы

(3) элементами таблицы

Номер 3

Если строки определителя поменять со столбцами, то эта операция называется

Ответ:

(1) транспонированием

(2) обращением

(3) не имеет специального названия

Номер 4

Элементами матрицы могут быть

Ответ:

(1) только числа

(2) только функции

(3) только матрицы

(4) числа, функции, матрицы

Упражнение 3:

Номер 2

Порядком определителя назовем

Ответ:

(1) количество строк

(2) количество столбцов

(3) количество строк или столбцов

Номер 3

Если все элементы столбца в определителе умножить на какое-либо число, отличное от нуля, то

Ответ:

(1) определитель умножится на это число

(2) так делать нельзя

(3) определитель станет равным (mn)D, где m - число, n - количество элементов столбца, D - определитель

Номер 4

Если в матрице два столбца равны, то

Ответ:

(1) вычеркивается один из них

(2) вычеркивается оба столбца

(3) определитель равен нулю

Упражнение 4:

Номер 1

Алгебраическим дополнением А_ij называется

Ответ:

(1) минор этого элемента

(2) минор элемента, умноженный на (-1)^i+j

(3) вычеркнутые строки и столбцы исходного определителя

Номер 2

Выписать все алгебраические дополнения определителя

Ответ:

(1) 1; 2; 3; 4

(2) 1; 2; -3; 4

(3) -1; -2; -3; -4

(4) 2; 2; -3; 4

Номер 3

Если столбцы в определителе поменять местами, то определитель

Ответ:

(1) изменит знак

(2) изменит величину

(3) не изменится

Номер 4

Если в определителе два столбца пропорциональны, то

Ответ:

(1) этот определитель равен нулю

(2) один из столбцов вычеркиваем

(3) пропорциональные столбцы складываем

Упражнение 5:

Номер 1

Определитель равен

Ответ:

(1) произведению элементов любого столбца на свое алгебраическое дополнение

(2) сумме произведений элементов любого столбца или строки на их алгебраическое дополнение

(3) сумме произведений элементов столбца на алгебраические дополнения соответствующего столбца

Номер 2

Определитель третьего порядка имеет

Ответ:

(1) 6 миноров первого порядка

(2) 9 миноров второго порядка

(3) 3 минора первого порядка

(4) 8 миноров второго порядка

Номер 3

Если в определителе две строки пропорциональны, то

Ответ:

(1) определитель - четное число

(2) определитель равен нулю

(3) определитель больше нуля

Номер 4

Выписать все алгебраические дополнения определителя

Ответ:

(1) 1; 2; 1; 4

(2) 1; -2; -1; 4

(3) -1; -2; -1; -4

(4) 1; -1; 2; 4

Упражнение 6:

Номер 1

Если строки в определителе заменить столбцами, то

Ответ:

(1) определитель не изменится

(2) определитель изменится по величине

(3) изменится по знаку

Номер 2

Если к элементам одного столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки) то

Ответ:

(1) определитель увеличится

(2) определитель не изменится

(3) так делать нельзя

Номер 3

Дан определитель . Минор D₂₃ этого определителя будет равен

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 4

Если в определителе две строки пропорциональны, то

Ответ:

(1) определитель равен нулю

(2) пропорциональную строку вычеркиваем

(3) определитель раскладывается на два

Упражнение 7:

Номер 1

Для любого определителя при замене строк на столбцы

Ответ:

(1) величина определителя изменится на обратную

(2) величина определителя не изменится

(3) определитель изменит знак

Номер 2

Дан определитель . Две строки в определителе пропорциональны, поэтому

Ответ:

(1) общий множитель 3 можно вынести за определитель

(2) определитель вычислить нельзя

(3) определитель равен нулю

Номер 4

Если все элементы строки в определителе умножить на какое-либо число, то

Ответ:

(1) определитель умножится на это число

(2) так делать нельзя

(3) определитель станет равным (mn)D, где m - число, n - количество элементов строки, D – определитель

Упражнение 8:

Номер 1

Как изменяется определитель 3-го порядка, если первый столбец матрицы переставить на место последнего столбца, а остальные - передвинуть влево, сохраняя их расположение.

Ответ:

(1) изменит знак

(2) не изменится

(3) так делать нельзя

(4) станет равным нулю

Номер 2

Как изменяется определитель 4-го порядка, если первый столбец его переставить на место последнего, а остальные - передвинуть влево, сохраняя их расположение. Показать на примере определителей.

Ответ:

(1) изменит знак

(2) не изменится ничего

(3) так делать нельзя

(4) нет правильного ответа

Номер 3

Как изменится определитель, если его строки написать в обратном порядке? Отметьте верные утверждения.

Ответ:

(1) изменит знак, если количество перестановок нечетное

(2) не изменится ничего, если количество перестановок четное

(3) не изменится ничего, если количество перестановок нечетное

(4) изменит знак, если количество перестановок четное

(5) так делать нельзя

(6) нет правильного ответа

Номер 4

Как изменится определитель, если каждый его элемент заменить элементом, симметричным с данным относительно "центра" определителя?

Ответ:

(1) изменит знак

(2) не изменится ничего

(3) изменит знак, если количество перестановок нечетное

(4) не изменится ничего, если количество перестановок четное

(5) нет правильного ответа

Номер 5

Как изменится определитель, если каждый его элемент заменить симметричным с данным относительно побочной диагонали?

Ответ:

(1) изменит знак

(2) не изменится ничего

(3) изменит знак, если количество перестановок нечетное

(4) не изменится ничего, если количество перестановок четное

(5) нет правильного ответа

Упражнение 9:

Номер 1

Как изменится определитель, если у всех его элементов изменить знак на противоположный? Отметьте верные утверждения.

Ответ:

(1) изменит знак, т.к. это обозначает умножение определителя на -1

(2) не изменится ничего

(3) изменит знак, если количество строк нечетное

(4) не изменится ничего, если количество строк четное

(5) нет правильного ответа

Номер 4

Как изменится определитель, если все его элементы заменить на обратные, т.е. на ?

Ответ:

(1) тогда определители будут тоже обратными друг к другу, т.е. math

(2) это будет новый определитель, никак не связанрый с исходным, если количество строк в определителе больше 2

(3) это будет новый определитель, никак не будет связанный с исходным

(4) тогда детерминанты этих определителей будут тоже обратными друг к другу, т.е. math

, если определитель второго порядка

(5) если это определитель второго порядка, то второй определитель можно вычислить по специальной формуле

(6) нет правильного ответа

Упражнение 10:

Номер 2

Как изменится определитель второго порядка, если из первой строки вычесть первую строку, а из второй строки вычесть прежнюю первую строку?

Ответ:

(1) станет равным нулю

(2) изменит знак

(3) не изменится

Номер 4

Как изменится определитель матрицы размера 3x3, если его "развернуть" на 90° по часовой стрелке вокруг "центра"?

Ответ:

(1) не изменится

(2) изменит знак

(3) определители будут взаимно обратными, т.е. math

(4) определители будут взаимно обратными, но с противоположным знаком т.е. math

Упражнение 11:

Номер 1

Указать правильное значение определителя:
        	   $\begin{vmatrix}
        	  a & b & c & 1 \\
        	  b & c & a & 1 \\
        	  c & a & b & 1 \\
        	  \frac{b+c}{2} & \frac{c+a}{2} & \frac{a+b}{2} & 1
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 3abc+(a³+b³+c³)

(2) 3abc-(a³+b³+c³)

(3)

(4) 0

Номер 2

Указать правильное значение определителя:
        	   $\begin{vmatrix}
        	  x & a & b & 0 & c \\
        	  0 & y & 0 & 0 & d \\
        	  0 & e & z & 0 & f \\
        	  g & h & k & u & l \\
        	  0 & 0 & 0 & 0 & v
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) cdflv

(2) xyuzv

(3) ayzuv

(4) ghkua

(5) нет ответа

Номер 3

Указать правильное значение определителя:
        	   $\begin{vmatrix}
        	  5 & a & 2 & -1 \\
        	  4 & b & 4 & -3 \\
        	  2 & c & 3 & -2 \\
        	  4 & d & 5 & -4
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 2a-8b+c+5d

(2) -2a+8b-c+5d

(3) 2a+8b+c+5d

(4) нет ответа

Номер 4

Указать правильное значение определителя:
        	   $\begin{vmatrix}
        	  a & 3 & 0 & 5 \\
        	  b & b & 0 & 2 \\
        	  1 & 2 & c & 3 \\
        	  0 & 0 & 0 & d
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) abcd

(2) bcd(a-3)

(3) cd-3ab

(4) нет ответа

Номер 5

Указать правильное значение определителя:
        	   $\begin{vmatrix}
        	  1 & 0 & 2 & a \\
        	  2 & 0 & b & 0 \\
        	  3 & c & 4 & 5 \\
        	  d & 0 & 0 & 0
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) bcd²

(2) -bcd²

(3) abcd

(4) нет ответа

Упражнение 12:

Номер 1

Указать правильное значение определителя:
        	   $\begin{vmatrix}
        	  0 & 1 & 1 & a \\
        	  1 & 0 & 1 & b \\
        	  1 & 1 & 0 & c \\
        	  a & b & c & d
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) (a+b+c)²+b+d

(2) (a-b-c)²+b+d

(3) (a-b+c)²+b+d

(4) c²+2*(d-ca-bc-ab)+b²+a²

Номер 2

Указать правильное значение определителя:
        	   $\begin{vmatrix}
        	  (a+b)^2 & c^2 & c^2 \\
        	  a^2 & (b+c)^2 & a^2 \\
        	  b^2 & b^2 & (c+a)^2
        	  \end{vmatrix}
        	  = \ldots$

Ответ:

(1) =2abc(a+b+c)²

(2) =2abc(a+b+c)³

(3) =2(a+b)(b+c)(a+b+c)²

(4) =2((a+b)(b+c)(a+c))²

Номер 3

Указать правильное значение определителя:
 $\begin{vmatrix}
        	  a^2+(1-a^2)\cos\varphi & ab(1-\cos\varphi) & ac(1-\cos\varphi) \\
        	  ba(1-\cos\varphi) & b^2+(1-b^2)\cos\varphi & bc(1-\cos\varphi) \\
        	  ca(1-\cos\varphi) & cb(1-\cos\varphi) & c^2+(1-c^2)\cos\varphi
        	  \end{vmatrix}$ 
при a²+b²+c²=1

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 4

Указать правильное значение определителя:
        	   $\begin{vmatrix}
        	  \cos\frac{\alpha-\beta}{2} & \sin\frac{\alpha+\beta}{2} & \cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\
        	  \cos\frac{\beta-\gamma}{2} & \sin\frac{\beta+\gamma}{2} & \cos\frac{\beta+\gamma}{2} \\
        	  \cos\frac{\gamma-\alpha}{2} & \sin\frac{\gamma+\alpha}{2} & \cos\frac{\gamma+\alpha}{2}
        	  \end{vmatrix}
        	  = \ldots$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 5

Указать правильное значение определителя:
        	   $\begin{vmatrix}
        	  a & b & c & d \\
        	  -b & a & d & -c \\
        	  -c & -d & a & b \\
        	  -d & c & -b & a
        	  \end{vmatrix}
        	  =\ldots$

Ответ:

(1) =(a+b+c+d)⁴

(2) =(a²+b²+c²+d²)²

(3) другой ответ

Упражнение 13:

Номер 1

Указать определитель, который равен следующему:
        	   $\begin{vmatrix}
        	  0 & x & y & z \\
        	  x & 0 & z & y \\
        	  y & z & 0 & x \\
        	  z & y & x & 0
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1)

\ldots=
        \begin{vmatrix}
        0 & 1 & 1 & 1 \\
        1 & 0 & z^2 & y^2 \\
        1 & z^2 & 0 & x^2 \\
        1 & y^2 & x^2 & 0
        \end{vmatrix}

(2)

\ldots=
        \begin{vmatrix}
        0 & x & y & z \\
        1 & 0 & z^2 & y^2 \\
        1 & z^2 & 0 & x^2 \\
        1 & y^2 & x^2 & 0
        \end{vmatrix}

(3)

\ldots=
        \begin{vmatrix}
        0 & x & 1 & 1 \\
        x & 0 & z^2 & y^2 \\
        1 & z^2 & 0 & x^2 \\
        1 & y^2 & x^2 & 0
        \end{vmatrix}

Номер 2

Указать правильное значение определителя:
        	   $\begin{vmatrix}
        	  \cos\varphi\cos\varphi-\sin\varphi\sin\varphi\cos\Theta & -\sin\varphi\cos\varphi-\cos\varphi\sin\varphi\cos\Theta & \sin\varphi\sin\Theta \\
        	  \cos\varphi\sin\varphi+\sin\varphi\cos\varphi\cos\Theta & -\sin\varphi\sin\varphi+\cos\varphi\cos\varphi\cos\Theta & -\cos\varphi\sin\Theta \\
        	  \sin\varphi\sin\Theta & \cos\varphi\sin\Theta & \cos\Theta
        	  \end{vmatrix}
        	  = \ldots$

Ответ:

(1) ...=1

(2) ...=0

(3)

Номер 3

Указать правильное значение определителя:
        	   $\begin{vmatrix}
        	  \sin\alpha & \cos\alpha & \sin\alpha \\
        	  \cos\alpha & \sin\alpha & \cos\alpha \\
        	  \sin\alpha & \cos\alpha & 1
        	  \end{vmatrix}
        	  =\ldots$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 4

Указать правильное значение определителя:
        	   $\begin{vmatrix}
        	  \sin\alpha & \sin\alpha & \sin\alpha \\
        	  \cos\alpha & \cos\alpha & \cos\alpha \\
        	  \tg\alpha & \tg\alpha & \tg\alpha
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) ...=1

(2) ...=0

(3)

Упражнение 14:

Номер 1

Вычислить определители
        	   $\begin{vmatrix}
        	  1 & 1 & 1 & 1 \\
        	  1 & -1 & 1 & 1 \\
        	  1 & 1 & -1 & 1 \\
        	  1 & 1 & 1 & -1
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 4

(2) 1

(3) -8

(4) нет верного ответа

Номер 2

Вычислить определители
        	   $\begin{vmatrix}
        	  0 & 1 & 1 & 1 \\
        	  1 & 0 & 1 & 1 \\
        	  1 & 1 & 0 & 1 \\
        	  1 & 1 & 1 & 0
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 0

(2) -3

(3) 1

(4) нет верного ответа

Номер 4

Вычислить определители
        	   $\begin{vmatrix}
        	  -3 & 9 & 3 & 6 \\
        	  -5 & 8 & 2 & 7 \\
        	  4 & -5 & -3 & -2 \\
        	  7 & -8 & -4 & -5
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 66

(2) 18

(3) 28

(4) нет верного ответа

Номер 5

Вычислить определители
        	   $\begin{vmatrix}
        	  3 & -3 & -5 & 8 \\
        	  -3 & 2 & 4 & -6 \\
        	  2 & -5 & -7 & 5 \\
        	  -4 & 3 & 5 & -6
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 260

(2) 18

(3) 248

(4) нет верного ответа

Упражнение 15:

Номер 2

Вычислить определители
        	   $\begin{vmatrix}
        	  3 & -3 & 2 & -5 \\
        	  2 & 5 & 4 & 6 \\
        	  5 & 5 & 8 & 7 \\
        	  4 & 4 & 5 & 6
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 66

(2) -144

(3) 210

(4) нет правильного ответа

Номер 3

Вычислить определители
        	   $\begin{vmatrix}
        	  3 & -5 & -2 & 2 \\
        	  -4 & 7 & 4 & 4 \\
        	  4 & -9 & -3 & 7 \\
        	  2 & -6 & -3 & 2
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 27

(2) 408

(3) -192

(4) нет правильного ответа

Номер 4

Вычислить определители
        	   $\begin{vmatrix}
        	  3 & -5 & 2 & 4 \\
        	  -3 & 4 & -5 & 3 \\
        	  -5 & 7 & -7 & 5 \\
        	  8 & -8 & 5 & -6
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) -135

(2) 22

(3) 102

(4) нет правильного ответа

Номер 5

Вычислить определители
        	   $\begin{vmatrix}
        	  3 & 2 & 2 & 2 \\
        	  9 & -8 & 5 & 10 \\
        	  5 & -8 & 5 & 8 \\
        	  6 & -5 & 4 & 7
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 6

(2) -6

(3) 2

(4) нет правильного ответа

Номер 6

Вычислить определители
        	   $\begin{vmatrix}
        	  \frac{3}{4} & 2 & -\frac{1}{2} & -5 \\
        	  1 & -2 & \frac{3}{2} & 8 \\
        	  \frac{5}{6} & -\frac{4}{3} & \frac{4}{2} & \frac{14}{3} \\
        	  \frac{2}{3} & -\frac{4}{5} & \frac{1}{2} & \frac{12}{5}
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 4,2

(2) 4,1

(3) 4,8

(4) нет правильного ответа

Упражнение 16:

Номер 1

Вычислить детерминант
        	   $\begin{vmatrix}
        	  2 & 2 & -1 \\
        	  4 & 3 & -1 \\
        	  8 & 5 & -3 
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 2

(2) 4

(3) 6

(4) 8

(5) нет правильного ответа

Номер 2

Вычислить детерминант
        	   $\begin{vmatrix}
        	  1 & 2 & 3 \\
        	  2 & 1 & 2 \\
        	  3 & 2 & 1 
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 2

(2) 4

(3) 6

(4) 8

(5) нет правильного ответа

Номер 3

Вычислить детерминант
        	   $\begin{vmatrix}
        	  5 & 2 & -1 \\
        	  1 & 2 & -7 \\
        	  5 & 1 & -4 
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) -50

(2) -58

(3) 22

(4) 50

(5) нет правильного ответа

Номер 4

Вычислить детерминант
        	   $\begin{vmatrix}
        	  1 & 15 & 0 \\
        	  6 & -16 & 9 \\
        	  3 & -2 & 24 
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 2121

(2) -2121

(3) 1245

(4) нет правильного ответа

Номер 5

Вычислить детерминант
        	   $\begin{vmatrix}
        	  2 & -1 & 1 \\
        	  1 & -3 & -2 \\
        	  7 & 0 & -7 
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 70

(2) 80

(3) 90

(4) нет правильного ответа

Номер 6

Вычислить детерминант
        	   $\begin{vmatrix}
        	  7 & 6 & -1 \\
        	  1 & 8 & 7 \\
        	  6 & -1 & -6 
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 70

(2) 60

(3) 50

(4) нет правильного ответа

Упражнение 17:

Номер 1

Вычислить детерминант
        	   $\begin{vmatrix}
        	  11 & 5 & -11 \\
        	  7 & 11 & -3 \\
        	  1 & 10 & -8 
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 2121

(2) -1022

(3) 1020

(4) нет правильного ответа

Номер 2

Вычислить детерминант
        	   $\begin{vmatrix}
        	  1 & 2 & -2 \\
        	  3 & 3 & 5 \\
        	  13 & 2 & -15 
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 231

(2) 448

(3) 123

(4) нет правильного ответа

Номер 3

Вычислить детерминант
        	   $\begin{vmatrix}
        	  -1 & 1 & 2 \\
        	  -1 & 2 & 3 \\
        	  -1 & 4 & 6 
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 1

(2) -1

(3) 0

(4) 2

(5) нет правильного ответа

Номер 4

Вычислить детерминант
        	   $\begin{vmatrix}
        	  2 & -1 & 1 \\
        	  1 & -3 & -2 \\
        	  9 & -7 & 0 
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 100

(2) 50

(3) 10

(4) 1

(5) нет правильного ответа

Номер 5

Вычислить детерминант
        	   $\begin{vmatrix}
        	  3 & 1 & 1 \\
        	  3 & 2 & 2 \\
        	  6 & 2 & 3 
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) 3

(2) 2

(3) 1

(4) 0

(5) нет правильного ответа

Номер 6

Вычислить детерминант
        	   $\begin{vmatrix}
        	  1 & -1 & 3 \\
        	  -2 & 2 & -2 \\
        	  3 & 2 & 3 
        	  \end{vmatrix}$

Ответ:

(1) -40

(2) -20

(3) 0

(4) 20

(5) нет правильного ответа

Введение в линейную алгебру - тест 1