Введение в теорию вероятностей

Упражнение 1:

Номер 1

Случайные величины  и  независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Укажите значение их коэффициента корреляции.

Ответ:

(1) -1

(2) 0

(3) 1

(4) 2

Номер 2

Случайные величины  и  независимы и имеют одно и то же распределение Пуассона с параметром . Укажите значение их коэффициента корреляции.

Ответ:

(1) 0

(2) -1

(3) 1

(4) 2

Номер 3

Случайные величины  и  имеют конечные и ненулевые дисперсии и связаны равенством . Укажите значение их коэффициента корреляции.

Ответ:

(1) 0

(2) -1

(3) 1

(4) 2

Номер 4

Случайные величины  и  имеют конечные и ненулевые дисперсии и связаны равенством . Укажите значение их коэффициента корреляции.

Ответ:

(1) 0

(2) -1

(3) 1

(4) 2

Номер 5

Случайные величины  и  имеют конечные и ненулевые дисперсии и связаны равенством . Укажите значение их коэффициента корреляции.

Ответ:

(1) 0

(2) -1

(3) 1

(4) 2

Упражнение 2:

Номер 1

Случайные величины  и  имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Ответ:

(1) если случайные величины math

и

независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю

(2) модуль коэффициента корреляции случайных величин math

и

равен единице

(3) модуль ковариации случайных величин math

и

не превосходит единицы

(4)

Номер 2

Случайные величины  и  имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Ответ:

(1) если коэффициент корреляции случайных величин math

и

равен нулю, то они независимы

(2) модуль коэффициента корреляции случайных величин math

и

не превосходит единицы

(3) если ковариация случайных величин math

и

равна единице, то они зависимы

(4)

Номер 3

Случайные величины  и  имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Ответ:

(1) если ковариация случайных величин math

и

равна нулю, то они независимы

(2) коэффициент корреляции случайных величин math

и

принимает значения от 0 до 1

(3) если коэффициент корреляции случайных величин math

и

равен 0,5, то они зависимы

(4)

Номер 4

Случайные величины  и  имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Ответ:

(1) если math

, то случайные величины math

независимы

(2)

(3) если math

п. н., то

(4) если math

, то случайные величины math

и

независимы

Номер 5

Случайные величины  и  имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Ответ:

(1) если math

, то случайные величины math

зависимы

(2)

(3) если math

п. н. при некоторых math

и

(4) если math

, то случайные величины math

и

независимы

Упражнение 3:

Номер 1

Случайные величины  и  независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найдите коэффициент корреляции случайных величин .

Ответ:

(1)

(2) 0

(3)

(4)

(5)

Номер 2

Случайные величины  и  независимы и имеют одно и то же распределение Пуассона с параметром 2. Найдите коэффициент корреляции случайных величин .

Ответ:

(1)

(2) 0

(3)

(4)

(5)

Номер 3

Случайные величины  и  независимы и имеют одно и то же показательное распределение с параметром 2. Найдите коэффициент корреляции случайных величин .

Ответ:

(1)

(2) 0

(3)

(4)

(5)

Номер 4

Случайные величины  и  независимы и имеют одно и то же распределение Бернулли с параметром 1/2. Найдите коэффициент корреляции случайных величин .

Ответ:

(1)

(2) 0

(3)

(4)

(5)

Номер 5

Случайные величины  и  независимы и имеют одно и то же равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Найдите коэффициент корреляции случайных величин .

Ответ:

(1)

(2) 0

(3)

(4)

(5)

Упражнение 4:

Номер 1

Случайные величины  и  имеют следующую таблицу совместного распределения:
  η^ξ -5 0 5
0 0, 1 0, 2 0, 3
5 0 0, 2 0, 2
  Найдите ковариацию случайных величин  и .

Ответ:

(1) 0

(2) -1

(3) 1

(4) 1/2

(5) 2

Номер 2

Случайные величины  и  имеют следующую таблицу совместного распределения:
  η^ξ -5 0 5
0 0, 1 0, 2 0, 3
10 0 0, 2 0, 2
  Найдите ковариацию случайных величин  и .

Ответ:

(1) 0

(2) -1

(3) 1

(4) 1/2

(5) 2

Номер 3

Случайные величины  и  имеют следующую таблицу совместного распределения:
  η^ξ -5 0 5
0 0 0, 2 0, 3
2 0, 1 0, 2 0, 2
  Найдите ковариацию случайных величин  и .

Ответ:

(1) 0

(2) -1

(3) 1

(4) 1/2

(5) 2

Номер 4

Случайные величины  и  имеют следующую таблицу совместного распределения:
  η^ξ -5 0 5
0 0 0, 2 0, 3
-1 0, 1 0, 2 0, 2
  Найдите ковариацию случайных величин  и .

Ответ:

(1) 0

(2) -1

(3) 1

(4) 1/2

(5) 2

Номер 5

Случайные величины  и  имеют следующую таблицу совместного распределения:
  η^ξ -10 0 10
0 0 0, 2 0, 3
-1 0, 1 0, 2 0, 2
  Найдите ковариацию случайных величин  и .

Ответ:

(1) 0

(2) -1

(3) 1

(4) 1/2

(5) 2

Упражнение 5:

Номер 1

Случайные величины  и  имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Ответ:

(1)

тогда и только тогда, когда случайные величины math

и

независимы

(2)

тогда и только тогда, когда случайные величины math

и

некоррелированы

(3) величины math

отрицательно коррелированы

(4)

Номер 2

Случайные величины  и  имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Ответ:

(1) если случайные величины math

и

независимы, то math

(2) если math

, то случайные величины math

и

некоррелированы

(3) величины math

отрицательно коррелированы

(4)

Номер 3

Случайные величины  и  имеют конечные дисперсии. Укажите верные утверждения.

Ответ:

(1) если math

, то случайные величины math

и

независимы

(2)

(3) величины math

положительно коррелированы

(4)

Номер 4

Случайные величины  имеют конечные дисперсии. Укажите верные утверждения.

Ответ:

(1) если величины math

(2) если величины math

(3)

(4)

Номер 5

Укажите верные утверждения.

Ответ:

(1) число гербов и число решек при 10 бросаниях правильной монеты некоррелированы

(2) число гербов и число решек при 10 бросаниях правильной монеты отрицательно коррелированы

(3) число гербов при первых 10 и число решек при следующих 10 бросаниях правильной монеты некоррелированы

(4) число гербов при первых 10 и число решек при следующих 10 бросаниях правильной монеты независимы

Упражнение 6:

Номер 1

Точка с координатами  и  наудачу выбрана в квадрате . Найдите коэффициент корреляции координат точки и выберите верные утверждения.

Ответ:

(1)

и

независимы

(2)

и

зависимы

(3)

(4)

Номер 2

Точка с координатами  и  наудачу выбрана в ромбе {(x, y) | |x|+|y| ≤ 1}. Найдите коэффициент корреляции координат точки и выберите верные утверждения.

Ответ:

(1)

и

независимы

(2)

и

зависимы

(3)

(4)

Номер 3

Точка с координатами  и  наудачу выбрана в круге . Найдите коэффициент корреляции координат точки и выберите верные утверждения.

Ответ:

(1)

и

независимы

(2)

и

зависимы

(3)

(4)

Номер 4

Случайная величина  принимает значения -1, 0 и 1 с равными вероятностями, . Найдите коэффициент корреляции случайных величин  и  и выберите верные утверждения.

Ответ:

(1)

и

независимы

(2)

и

зависимы

(3)

(4)

Введение в теорию вероятностей - тест 11