Введение в теорию вероятностей

Упражнение 1:

Номер 1

Выберите верные определения.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Выберите верные определения.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 3

Выберите верные утверждения.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 4

Выберите верные утверждения.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 5

Выберите верные утверждения.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 2:

Номер 1

Дана последовательность случайных величин  со следующими распределениями: для любого 
  
  Найдите предел последовательности  в смысле сходимости по вероятности.

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) +∞

(4) 1/2

Номер 2

Дана последовательность случайных величин  со следующими распределениями: для любого 
  
  Найдите предел последовательности  в смысле сходимости по вероятности.

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

(4) -2

Номер 3

Дана последовательность случайных величин  со следующими распределениями: для любого 
  
  Найдите предел последовательности  в смысле сходимости по вероятности.

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) -1

(4) 1/n

Номер 4

Дана последовательность случайных величин  со следующими распределениями: для любого 
  
  Найдите предел последовательности  в смысле сходимости по вероятности.

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) +∞

(4) 2

(5)

Номер 5

Дана последовательность случайных величин  со следующими распределениями: для любого 
  
  Найдите предел последовательности  в смысле сходимости по вероятности.

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) +∞

(4) 2

(5)

Упражнение 3:

Номер 1

Дана последовательность случайных величин . Выберите достаточные условия для сходимости .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Дана последовательность случайных величин . Выберите достаточные условия для сходимости .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 3

Дана последовательность случайных величин . Выберите достаточные условия для сходимости .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 4

Дана последовательность случайных величин . Выберите достаточные условия для сходимости .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 5

Дана последовательность случайных величин . Выберите достаточные условия для сходимости .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4) не требуется никаких дополнительных условий

Упражнение 4:

Номер 1

Пусть . Оценивается сверху вероятность . Укажите значение оценки по неравенству Маркова.

Ответ:

(1) 0, 1

(2) 0, 05

(3) 0, 06

(4) 1

Номер 2

Пусть . Оценивается сверху вероятность . Укажите значение оценки по неравенству Чебышева.

Ответ:

(1) 0, 1

(2) 0, 05

(3) 0, 06

(4) 1

Номер 3

Пусть . Оценивается сверху вероятность . Укажите значение оценки по обобщенному неравенству Чебышева с функцией .

Ответ:

(1) 0, 1

(2) 0, 05

(3) 0, 06

(4) 1

Номер 4

Пусть случайная величина  имеет распределение Пуассона с параметром . Вероятность  можно оценить сверху по обобщенному неравенству Чебышева с помощью функции . Укажите значение этой оценки.

Ответ:

(1) 1/2¹⁰

(2) e²/2¹⁰

(3) 1/e²

(4) 1

Номер 5

Пусть случайная величина  имеет распределение Пуассона с параметром . Вероятность  можно оценить сверху по обобщенному неравенству Чебышева с помощью функции . Укажите значение этой оценки.

Ответ:

(1) 1/3¹⁰

(2) e³/3¹⁰

(3) 1/e³

(4) e⁶/3¹⁰

Упражнение 5:

Номер 1

Пусть . Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность .

Ответ:

(1) 1/3

(2) 1/9

(3) 1

(4) 1/27

Номер 2

Пусть . Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность .

Ответ:

(1) 0, 1

(2) 1

(3) 0, 01

(4) 0, 001

Номер 3

Пусть . Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность .

Ответ:

(1) 0, 01

(2) 0, 02

(3) 0, 04

(4) 0, 005

Номер 4

Пусть . Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность .

Ответ:

(1) 1/3

(2) 1/9

(3) 1/27

(4) 1

Номер 5

Пусть . Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность .

Ответ:

(1) 0, 2

(2) 0, 05

(3) 0, 04

(4) 0, 01

Упражнение 6:

Номер 1

Пусть  — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же распределением Бернулли с параметром . Укажите, чему равен предел при  последовательности
  
  в смысле сходимости по вероятности.

Ответ:

(1) 0

(2) 1/4

(3) 1/2

(4) 3/4

(5) предела не существует или указанных условий недостаточно

Номер 2

Пусть  — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же показательным распределением с параметром . Укажите, чему равен предел при  последовательности
  
  в смысле сходимости по вероятности.

Ответ:

(1) 0

(2) 1/4

(3) 1/2

(4) 2

(5) предела не существует или указанных условий недостаточно

Номер 3

Пусть  — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же биномиальным распределением с параметрами . Укажите, чему равен предел при  последовательности
  
  в смысле сходимости по вероятности.

Ответ:

(1) 0

(2) 1/4

(3) 1/2

(4) 3/4

(5) предела не существует или указанных условий недостаточно

Номер 4

Пусть  — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же стандартным распределением Коши. Укажите, чему равен предел при  последовательности
  
  в смысле сходимости по вероятности.

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) -1

(4) предела не существует или указанных условий недостаточно

Номер 5

Пусть  — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же нормальным распределением с параметрами . Укажите, чему равен предел при  последовательности
  
  в смысле сходимости по вероятности.

Ответ:

(1) 0

(2) 1/4

(3) 1/2

(4) 1

(5) предела не существует или указанных условий недостаточно

Упражнение 7:

Номер 1

Подбрасывают правильную игральную кость. После  подбрасываний обозначим через  количество подбрасываний, при которых выпало 3 очка. Укажите, чему равен предел при  последовательности  в смысле сходимости по вероятности.

Ответ:

(1) 1/2

(2) 0

(3) 1/6

(4) 1/4

(5) предела не существует

Номер 2

Подбрасывают две правильные монеты. После  подбрасываний пары монет обозначим через  количество подбрасываний, при которых выпало два герба. Укажите, чему равен предел при  последовательности  в смысле сходимости по вероятности.

Ответ:

(1) 1/2

(2) 0

(3) 1/6

(4) 1/4

(5) предела не существует

Номер 3

Подбрасывают две правильные монеты. После  подбрасываний двух монет обозначим через  количество подбрасываний, при которых выпал один герб и одна решка. Укажите, чему равен предел при  последовательности  в смысле сходимости по вероятности.

Ответ:

(1) 1/2

(2) 0

(3) 1/6

(4) 1/4

(5) предела не существует

Номер 4

Подбрасывают правильную игральную кость. Величина  равна сумме выпавших очков. Укажите, чему равен предел при  последовательности  в смысле сходимости по вероятности.

Ответ:

(1) 1, 5

(2) 0

(3) 3, 5

(4) 3

(5) предела не существует

Номер 5

Подбрасывают три правильные монеты. После  подбрасываний этих трех монет обозначим через  количество подбрасываний, при которых выпало не более одного герба. Укажите, чему равен предел при  последовательности  в смысле сходимости по вероятности.

Ответ:

(1) 1/2

(2) 0

(3) 1/6

(4) 1/4

(5) предела не существует

Упражнение 8:

Номер 1

Пусть  — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же распределением Бернулли с параметром . Укажите, чему равен предел при  последовательности
  
  в смысле сходимости почти наверное.

Ответ:

(1) 0

(2) 1/4

(3) 1/2

(4) 3/16

(5) 1/16

Номер 2

Пусть  — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же показательным распределением с параметром . Укажите, чему равен предел при  последовательности
  
  в смысле сходимости почти наверное.

Ответ:

(1) 0

(2) 1/4

(3) 1/2

(4) 2

(5) 4

Номер 3

Пусть  — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же биномиальным распределением с параметрами . Укажите, чему равен предел при  последовательности
  
  в смысле сходимости почти наверное.

Ответ:

(1) 0

(2) 9/16

(3) 1/4

(4) 3/4

(5) 3/16

Номер 4

Пусть  — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же распределением Пуассона с параметром 2. Укажите, чему равен предел при  последовательности
  
  в смысле сходимости почти наверное.

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

(4) 4

(5) 6

Номер 5

Пусть  — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же нормальным распределением с параметрами . Укажите, чему равен предел при  последовательности
  
  в смысле сходимости почти наверное.

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 3

(4) 4

(5) 5

Упражнение 9:

Номер 1

Выберите последовательности случайных величин, удовлетворяющие закону больших чисел.

Ответ:

(1) случайные величины независимы и имеют показательное распределение с одним и тем же параметром

(2) случайные величины независимы и имеют показательные распределения с разными параметрами, math

(3) случайные величины совпадают, т. е. math

, и имеют показательное распределение

(4) случайные величины независимы, math

Номер 2

Выберите последовательности случайных величин, удовлетворяющие закону больших чисел.

Ответ:

(1) случайные величины независимы и имеют стандартное нормальное распределение

(2) случайные величины независимы и имеют разные нормальные распределения, math

(3) случайные величины совпадают, т. е. math

, и имеют распределение Бернулли с параметром math

(4) случайные величины независимы, math

Номер 3

Выберите последовательности случайных величин, удовлетворяющие закону больших чисел.

Ответ:

(1) случайные величины попарно некоррелированы и имеют одно и то же распределение Пуассона

(2) случайные величины независимы и имеют разные нормальные распределения, math

(3) случайные величины независимы (в совокупности), одинаково распределены и имеют конечный первый момент

(4) случайные величины независимы, math

Номер 4

Выберите последовательности случайных величин, удовлетворяющие закону больших чисел.

Ответ:

(1) случайные величины попарно некоррелированы и имеют одно и то же распределение с конечным вторым моментом

(2) случайные величины независимы и равномерно распределены на отрезке [0, 1]

(3) случайные величины независимы, math

Номер 5

Выберите последовательности случайных величин, удовлетворяющие закону больших чисел.

Ответ:

(1) случайные величины совпадают, т. е. math

, и имеют вырожденное распределение

(2) случайные величины независимы и их дисперсии ограничены одной и той же постоянной

(3) случайные величины независимы, одинаково распределены и имеют конечный четвертый момент

(4) ковариации любых двух случайных величин math

отрицательны, а все дисперсии ограничены одной и той же постоянной

Введение в теорию вероятностей - тест 12