Введение в теорию вероятностей

Упражнение 1:

Номер 1

Выберите верные определения.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Отметьте верное утверждение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 3

Выберите верные утверждения.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 4

Выберите верные утверждения.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 5

Выберите верные утверждения.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 2:

Номер 1

Дана последовательность случайных величин  со следующими распределениями: . Если последовательность  слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4) последовательность не сходится по распределению

Номер 2

Дана последовательность случайных величин  со следующими распределениями: 
  
  Если последовательность  слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4) последовательность не сходится по распределению

Номер 3

Дана последовательность случайных величин  со следующими распределениями: . Если последовательность  слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4) последовательность не сходится по распределению

Номер 4

Дана последовательность случайных величин  со следующими распределениями: . Если последовательность  слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4) последовательность не сходится по распределению

Номер 5

Дана последовательность случайных величин  со следующими распределениями:
  
  Если последовательность  слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4) последовательность не сходится по распределению

Упражнение 3:

Номер 1

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с показательным распределением с параметром  - сумма первых  случайных величин в этой последовательности. Последовательность  слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 2

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с равномерным распределением на отрезке [-1, 1],  - сумма первых  случайных величин в этой последовательности. Последовательность  слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 3

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с биномиальным распределением с параметрами . Пусть  - сумма первых  случайных величин в этой последовательности. Последовательность  слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 4

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с нормальным распределением с параметрами . Пусть  - сумма первых  случайных величин в этой последовательности. Последовательность  слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 5

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с распределением Пуассона с параметром ,  - сумма первых  случайных величин в этой последовательности. Последовательность  слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Упражнение 4:

Номер 1

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с показательным распределением с параметром ,  - сумма первых  случайных величин в этой последовательности. Последовательность  слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 2

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с равномерным распределением на отрезке ,  - сумма первых  случайных величин в этой последовательности. Последовательность  слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 3

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с биномиальным распределением с параметрами . Пусть  - сумма первых  случайных величин в этой последовательности. Последовательность  слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 4

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с распределением Бернулли с параметром . Пусть  - сумма первых  случайных величин в этой последовательности. Последовательность  слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 5

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с распределением Пуассона с параметром ,  - сумма первых  случайных величин в этой последовательности. Последовательность  слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Упражнение 5:

Номер 1

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 40.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 2

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 100.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 3

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 60.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 4

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 120.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 5

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 80.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Упражнение 6:

Номер 1

Имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Укажите, при каких распределениях членов последовательности эта последовательность удовлетворяет центральной предельной теореме.

Ответ:

(1) распределение Пуассона с параметром 2

(2) показательное распределение с параметром 2

(3) распределение Коши с параметрами 0 и 1

(4) распределение с плотностью math

при

Номер 2

Имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Укажите, при каких распределениях членов последовательности эта последовательность удовлетворяет центральной предельной теореме.

Ответ:

(1) распределение Бернулли с параметром 1/2

(2) показательное распределение с параметром 1

(3) вырожденное распределение в точке 2

(4) распределение с плотностью math

при

Номер 3

Имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Укажите, при каких распределениях членов последовательности эта последовательность удовлетворяет центральной предельной теореме.

Ответ:

(1) биномиальное распределение с параметрами 4 и 1/3

(2) распределение Коши с параметрами 1 и 2

(3) распределение с плотностью math

при

(4) распределение с плотностью math

при

Номер 4

Имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Укажите, при каких распределениях членов последовательности эта последовательность удовлетворяет центральной предельной теореме.

Ответ:

(1) распределение с плотностью math

при

(2) равномерное распределение на отрезке [0, 1]

(3) распределение с плотностью math

при

Номер 5

Имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Укажите, при каких распределениях членов последовательности эта последовательность удовлетворяет центральной предельной теореме.

Ответ:

(1) распределение с плотностью math

при

(2) равномерное распределение на отрезке [-1, 1]

(3) распределение Бернулли с параметром 1/2

(4) распределение с плотностью math

при

Введение в теорию вероятностей - тест 13