Введение в теорию вероятностей

Упражнение 1:

Номер 1

Что такое характеристическая функция случайной величины ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Случайная величина  принимает значения ±1 с вероятностями по 1/2. Найдите характеристическую функцию .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 3

Выберите функции, которые не могут быть характеристическими функциями никакой случайной величины.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 4

Выберите функции, которые не могут быть характеристическими функциями никакой случайной величины.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 5

Выберите функции, которые не могут быть характеристическими функциями никакой случайной величины.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 2:

Номер 1

Укажите значение характеристической функции в точке .

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3)

(4)

Номер 2

Укажите, чему равна характеристическая функция случайной величины .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 3

Укажите, чему равна характеристическая функция случайной величины .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 4

Укажите, чему равна характеристическая функция случайной величины .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 5

Укажите, чему равна характеристическая функция случайной величины .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 3:

Номер 1

Укажите распределение, которому отвечает характеристическая функция .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 2

Укажите распределение, которому отвечает характеристическая функция .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 3

Укажите распределение, которому отвечает характеристическая функция .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 4

Укажите распределение, которому отвечает характеристическая функция .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 5

Укажите распределение, которому отвечает характеристическая функция .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Упражнение 4:

Номер 1

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 2

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 3

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 4

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 5

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Упражнение 5:

Номер 1

Случайные величины  и  независимы. Чему равна характеристическая функция их суммы?

Ответ:

(1) сумме характеристических функций

(2) разности характеристических функций

(3) произведению характеристических функций

(4) частному характеристических функций

Номер 2

Если момент пятого порядка случайной величины  существует, что можно сказать про ее характеристическую функцию?

Ответ:

(1) она равна 0 в точке math

(2) она имеет непрерывную производную пятого порядка

(3)

(4) она равна 5 в точке math

Номер 3

Если математическое ожидание случайной величины  равно нулю, а дисперсия равна единице, как выглядит разложение ее характеристической функции в ряд Тейлора в окрестности нуля?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 4

Если математическое ожидание и дисперсия случайной величины  равны единице, как выглядит разложение ее характеристической функции в ряд Тейлора в окрестности нуля?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 5

Если последовательность характеристических функций  сходится при всех  к характеристической функции , что можно сказать про поведение случайных величин ?

Ответ:

(1) сходятся к math

почти наверное

(2) сходятся к math

по вероятности

(3) сходятся к math

по распределению

(4) совпадают с math

Упражнение 6:

Номер 1

Укажите верные высказывания.

Ответ:

(1) если характеристические функции двух случайных величин совпадают, то эти случайные величины совпадают

(2) если характеристические функции двух случайных величин совпадают, то распределения этих случайных величин совпадают

(3) двум разным распределениям могут отвечать одинаковые характеристические функции

(4) по характеристической функции однозначно определяется распределение

Номер 2

Укажите верные высказывания.

Ответ:

(1) если характеристические функции двух случайных величин совпадают, то функции распределения этих случайных величин совпадают

(2) если модуль характеристической функции интегрируем на всей прямой, то распределение абсолютно непрерывно

(3) характеристическая функция суммы двух случайных величин равна произведению их характеристических функций

(4) если характеристическая функция тождественно равна единице, то распределение вырождено в нуле

Номер 3

Укажите верные высказывания.

Ответ:

(1) если характеристические функции двух случайных величин совпадают, то все моменты (существующие) этих случайных величин совпадают

(2) если характеристическая функция равна math

, то распределение вырождено в единице

(3) характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций

(4) если характеристическая функция тождественно равна единице, то распределение вырождено в единице

Номер 4

Укажите характеристическую функцию среднего арифметического  независимых в совокупности и одинаково распределјнных случайных величин с характеристической функцией .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 5

На некотором вероятностном пространстве задана последовательность случайных величин . Известно, что последовательность их характеристических функций сходится при всех  к характеристической функции . Какой вывод можно сделать о поведении последовательности случайных величин ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Введение в теорию вероятностей - тест 14