Введение в теорию вероятностей - тест 3

Пусть . Какие из следующих множеств образуют алгебры подмножеств ?

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть . Какие из следующих множеств образуют алгебры подмножеств ?

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть . Какие из следующих множеств образуют алгебры подмножеств ?

 (1) множество всех одноточечных подмножеств множества  

 (2) множество всех интервалов  

 (4) множество всех подмножеств множества  

Пусть  — множество натуральных чисел. Какие из следующих множеств образуют алгебры подмножеств ?

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Пусть  — множество целых чисел. Какие из следующих множеств образуют алгебры подмножеств ?

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть  — произвольное непустое множество. Укажите верные высказывания.

 (2) является сигма-алгеброй 

Пусть  — произвольное непустое множество. Укажите верные высказывания.

 (1) существуют алгебры, не являющиеся -алгебрами 

 (2) является алгеброй 

 (3) существуют - алгебры, не являющиеся алгебрами 

 (4) -алгебра всегда содержит бесконечное число множеств 

Пусть , а множество  содержит все конечные множества вещественных чисел (в том числе пустое) и их дополнения до . Укажите верное высказывание.

 (1) множество натуральных чисел принадлежит  

 (2) является σ-алгеброй 

 (3) является алгеброй 

 (4)  

Пусть , а множество  содержит все конечные или счетные множества вещественных чисел (в том числе пустое) и их дополнения до . Укажите верные высказывания.

 (1)  

 (2) является σ-алгеброй 

 (3) является алгеброй 

 (4)  

Пусть  — произвольное непустое конечное множество,  — некоторое множество подмножеств Ω. Укажите верные высказывания.

 (1) если — алгебра, то — σ-алгебра 

 (2) если — σ-алгебра, то — тривиальная σ-алгебра 

 (3) множество конечно 

 (4) множество не может являться σ-алгеброй 

Пусть  — произвольное непустое множество,  — некоторое непустое множество его подмножеств, содержащее вместе с любым своим элементом . Выберите условия, при выполнении которых множество  будет σ-алгеброй.

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Пусть  — произвольное непустое множество,  — некоторое непустое множество его подмножеств, содержащее вместе с любым своим элементом . Выберите условия, при выполнении которых множество  будет алгеброй.

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть  — произвольное непустое множество,  — алгебра его подмножеств,  — некоторые события. Укажите множества, принадлежащие .

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть  содержащая множества  и . Укажите множества, принадлежащие .

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть  содержащая множества  и . Укажите множества, принадлежащие .

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть . Выберите функции, которые являются мерами.

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть . Выберите функции, которые являются мерами.

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть . Выберите функцию, которая является вероятностной мерой.

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть . Выберите функции, которые являются вероятностными мерами.

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть  Выберите функции, которые являются мерами.

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Укажите множества, принадлежащие борелевской сигма-алгебре .

Пусть , и сигма-алгебра  содержит множество всех открытых интервалов на числовой прямой. Укажите множества, принадлежащие .

Укажите множества, принадлежащие борелевской сигма-алгебре .

Пусть  обозначает меру Лебега борелевского множества . Укажите верные утверждения.

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть  обозначает меру Лебега борелевского множества . Укажите верные утверждения.

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть  и  — произвольные события, причем  влечет . Выберите верное высказывание:

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Выберите свойства, верные для любых несовместных событий  и .

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Чему равна вероятность  для произвольных событий  и ?

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Выберите свойства, верные для произвольных событий  и .

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Выберите свойства, верные для любых несовместных событий  и .

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Вероятность получить "отлично" по математике равна 1/4, по физике — тоже 1/4, а сразу по двум предметам — 1/8. Какова вероятность получить "отлично" хотя бы по одному предмету?

Бросают две правильные игральные кости. Какова вероятность получить нечетное число очков хотя бы на одной кости?

Фирма A в течение года разоряется с вероятностью 0,3, фирма Б — с вероятностью 0,4, а обе фирмы — с вероятностью 0,25. Какова вероятность того, что в течение года разорится хотя бы одна фирма?

Из колоды в 36 карт наугад берут одну. Какова вероятность получить любого короля или любую карту пиковой масти?

Из колоды в 36 карт наугад берут одну. Какова вероятность получить любого короля или любую карту пиковой масти?

Укажите равенство, верное для любой последовательности событий 

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть  обозначает меру Лебега борелевского множества . Укажите значение .

Пусть  обозначает меру Лебега борелевского множества . Укажите значение .

Укажите свойства, которыми обладает любая вероятностная мера.

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Укажите свойства, которыми обладает любая вероятностная мера.

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Подбрасывают три игральных кости. Выберите набор событий, для которого вероятность объединения равняется сумме вероятностей событий из набора.

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Подбрасывают две игральных кости. Укажите такие события  и , для которых .

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Даны события  такие, что . Укажите значение .

Даны события  такие, что 
. 
Укажите значение .

Даны события  такие, что 
,
,
. 
Укажите значение .