Введение в теорию вероятностей

Упражнение 1:

Номер 1

Правильную монету подбросили 14 раз, и выпали только гербы. С какой вероятностью при 15-м броске выпадет герб?

Ответ:

(1) 1/2

(2) 1/2¹⁵

(3) 15/2¹⁵

(4) 15!/2¹⁵

Номер 2

Симметричную игральную кость бросали 29 раз, и ни разу не выпало шесть очков. С какой вероятностью при 30-м броске снова не выпадет шесть очков?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 3

Из урны, содержащей 10 одинаковых на ощупь шаров, среди которых один черный, наугад вынимали по одному шару 12 раз, всякий раз возвращая вынутый шар обратно и перемешивая шары в урне. Все 12 раз был вынут черный шар. С какой вероятностью следующий наудачу вынутый шар снова окажется черным?

Ответ:

(1) 0, 1

(2) (0, 1)¹²

(3) (0, 1)¹³

(4) 13 · (0, 1)¹³

Номер 4

Правильную монету подбросили 14 раз, и выпали только гербы. С какой вероятностью при 15-м броске выпадет решка?

Ответ:

(1) 1/2

(2) 1/2¹⁵

(3) 15/2¹⁵

(4) 15!/2¹⁵

Номер 5

Симметричную игральную кость бросали 29 раз, и ни разу не выпало шесть очков. С какой вероятностью при 30-м броске выпадет шесть очков?

Ответ:

(1) (5/6)²⁹ · (1/6)

(2) 1/6

(3) 5 · (5/6)³⁰

(4) 1

Упражнение 2:

Номер 1

Пять раз подбрасывают правильную монету. Выберите верные высказывания.

Ответ:

(1) пять раз выпадет герб с вероятностью 1/32

(2) при первых трех бросках выпадут гербы с вероятностью 1/8

(3) один герб и четыре решки выпадут с вероятностью 1/32

(4) два герба и три решки выпадут с вероятностью 5/16

Номер 2

Стрелок, попадающий в цель при одном выстреле с вероятностью 0,3, делает два выстрела. Результаты выстрелов независимы. Выберите верное высказывание.

Ответ:

(1) вероятность попасть ровно один раз равна 0,3

(2) вероятность попасть дважды равна 0,6

(3) вероятность попасть при втором выстреле, если при первом был промах, равна 0,21

(4) вероятность попасть ровно один раз равна 0,42

Номер 3

Трижды бросают правильную монету. Выберите верные высказывания.

Ответ:

(1) три решки выпадут с вероятностью 3/8

(2) один герб и две решки выпадут с вероятностью 3/8

(3) три герба выпадут с вероятностью 1/8

(4) одна решка и два герба выпадут с вероятностью 1/8

Номер 4

Дважды бросают симметричную игральную кость. Выберите верные высказывания.

Ответ:

(1) три очка в сумме выпадут с вероятностью 1/36

(2) выпадут две единицы с вероятностью 1/36

(3) выпадет ровно одна тройка с вероятностью 5/36

(4) выпадет ровно одна единица с вероятностью 5/18

Номер 5

Пять раз подбрасывают правильную монету. Выберите верные высказывания.

Ответ:

(1) пять раз выпадет герб с вероятностью 1/5

(2) при третьем броске выпадет герб с вероятностью 1/8

(3) если при четырех бросках выпал орел, то при пятом броске вероятнее выпасть решке

(4) пять решек выпадут с вероятностью 1/32

Упражнение 3:

Номер 1

Какая формула вычисляет вероятность получить ровно три попадания при пяти выстрелах, если вероятность попадания в каждом равна 0,9 и результаты выстрелов независимы?

Ответ:

(1) 3 · 0,9³ · 0,1²

(2) 0,9³ · 0,1²

(3) 10 · 0,9³ · 0,1²

(4) 3/5

Номер 2

Какая формула вычисляет вероятность получить ровно семь попаданий при восьми выстрелах, если вероятность попадания в каждом равна 0,9 и результаты выстрелов независимы?

Ответ:

(1) 0,9⁷ · 0,1

(2) 8 · 0,9⁷ · 0,1

(3) 7 · 0,9⁷ · 0,1

(4) 1 - 0,9⁸

Номер 3

Какая формула вычисляет вероятность не получить ни одного попадания при пяти выстрелах, если вероятность попадания в каждом равна 0,9 и результаты выстрелов независимы?

Ответ:

(1) 0,1⁵

(2) 0,9⁵

(3) 1 - 0,9⁵

(4) 1 - 0,1⁵

Номер 4

Какая из формул вычисляет вероятность при семи подбрасываниях симметричной игральной кости ни разу не выбросить шесть очков?

Ответ:

(1) 7 · (5/6)⁷

(2) 1 - (1/6)⁷

(3) (5/6)⁷

(4) 1/7

Номер 5

Какая из формул вычисляет вероятность при шести подбрасываниях симметричной игральной кости ровно один раз выбросить шесть очков?

Ответ:

(1) (5/6)⁶

(2) (5/6)⁵

(3) 1 - (1/6)⁷

(4) 1

Упражнение 4:

Номер 1

Стрелок попадает в цель при любом выстреле с вероятностью 0,3. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что первое попадание случится только при пятом выстреле?

Ответ:

(1) 0,7⁴

(2) 0,3

(3) 5 · 0,7⁴ · 0,3

(4) 0,7⁴ · 0,3

Номер 2

Стрелок попадает в цель при любом выстреле с вероятностью 0,3. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что первое попадание случится не ранее, чем при пятом выстреле?

Ответ:

(1) 0,7⁴

(2) 0,3

(3) 5 · 0,7⁴ · 0,3

(4) 0,7⁴ · 0,3

Номер 3

Симметричную игральную кость бросают до тех пор, пока на кости впервые не выпадет четное число очков. Какова вероятность того, что придется бросить кость пять раз?

Ответ:

(1) 5/32

(2) 1/32

(3) 5/6

(4) 1/16

Номер 4

Стрелок попадает в цель при любом выстреле с вероятностью 0,1. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что первое попадание случится при третьем выстреле?

Ответ:

(1) 0,81

(2) 0,1

(3) 0,243

(4) 0,081

Номер 5

Стрелок, попадающий в цель при любом выстреле с вероятностью 0,1, ведет стрельбу до первого попадания. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что потребуется не менее трех патронов?

Ответ:

(1) 0,81

(2) 0,1

(3) 0,243

(4) 0,081

Упражнение 5:

Номер 1

На отрезок [0, 1] наудачу и независимо друг от друга бросают пять точек. Какова вероятность того, что две из них попадут на левую половину отрезка, еще две — на отрезок [0,5, 0,7] и одна окажется правее точки 0,7?

Ответ:

(1) 0,09

(2) 0,003

(3) 0,36

(4) 0,9

Номер 2

Симметричную игральную кость подбрасывают 4 раза. Какова вероятность получить при этом одну тройку и две шестерки?

Ответ:

(1) 1/216

(2) 1/324

(3) 1/27

(4) 1/36

Номер 3

Монета умеет с равными вероятностями выпадать гербом, решкой и вставать на ребро. Какова вероятность того, что при семи подбрасываниях этой монеты она трижды встанет на ребро и два раза выпадет решкой?

Ответ:

(1) 1/3⁷

(2) 210/3⁷

(3) 7!/3⁷

(4) 7/3⁷

Номер 4

Симметричную игральную кость подбрасывают 5 раз. Какова вероятность при этом трижды получить четное число очков и по разу — тройку и пятерку?

Ответ:

(1) 5/72

(2) 1/6⁵

(3) 8/6⁵

(4) 3/6⁵

Номер 5

Симметричную игральную кость подбрасывают 6 раз. Какова вероятность при этом выбросить каждую грань по разу?

Ответ:

(1) 1/6⁶

(2) 1/6⁵

(3) 5⁶/6⁶

(4) 6!/6⁶

Упражнение 6:

Номер 1

Прибор состоит из 1000 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого из них при включении равна 0,001. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что откажут ровно 2 элемента.

Ответ:

(1) 0,002

(2) 0,184

(3) 0,271

(4) 0,368

Номер 2

Прибор состоит из 1000 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого из них при включении равна 0,001. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что откажет ровно 1 элемент.

Ответ:

(1) 0,002

(2) 0,184

(3) 0,271

(4) 0,368

Номер 3

Прибор состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого из них при включении равна 0,01. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что не откажет ни один элемент.

Ответ:

(1) 0,002

(2) 0,184

(3) 0,271

(4) 0,368

Номер 4

Каждая из 1000 деталей с вероятностью 0,001 может оказаться бракованной. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что ровно две детали будут бракованными.

Ответ:

(1) 0,002

(2) 0,184

(3) 0,271

(4) 0,368

Номер 5

Каждая из 1000 деталей с вероятностью 0,001 может оказаться бракованной. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что ровно одна деталь будет бракованной.

Ответ:

(1) 0,002

(2) 0,184

(3) 0,271

(4) 0,368

Упражнение 7:

Номер 1

Проводится  испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха . Укажите, при каких значениях  и  можно использовать теорему Пуассона для приближенного вычисления вероятностей, если погрешность приближения не должна превышать 0,005.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Проводится  испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха . Укажите, при каких значениях  и  можно использовать теорему Пуассона для приближенного вычисления вероятностей, если погрешность приближения не должна превышать 0,001.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 3

Проводится  испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха . Укажите, при каких значениях  и  можно использовать теорему Пуассона для приближенного вычисления вероятностей, если погрешность приближения не должна превышать 0,05.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 4

Проводится  испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха . Укажите, при каких значениях  и  можно использовать теорему Пуассона для приближенного вычисления вероятностей, если погрешность приближения не должна превышать 0,001.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 5

Проводится  испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха . Укажите, при каких значениях  и  можно использовать теорему Пуассона для приближенного вычисления вероятностей, если погрешность приближения не должна превышать 0,01.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Введение в теорию вероятностей - тест 5