Введение в теорию множеств и комбинаторику

Упражнение 1:

Номер 1

Пусть имеется множество  и задано отношение : a) записать отношение в явном виде; б)определить свойства отношения .

Ответ:

(1) a)

\rho = \left\{ { (2, 4),  (2, 6), (4, 2), (6, 2), (4, 6), 
(6, 4)} \right\}

.

б) свойства отношения math : симметричность; транзитивность

(2) a)

\rho = \left\{ {(2, 2), (2, 4),  (2, 6), (4, 2), (6, 2), (4, 6), 
(6, 4), (4, 4), (6, 6)} \right\}

.

б) свойства отношения math : рефлексивность; симметричность

(3) a)

\rho = \left\{ {(2, 2), (2, 4),  (2, 6), (4, 2), (6, 2), (4, 6), 
(6, 4), (4, 4), (6, 6)} \right\}

.

б) свойства отношения math : рефлексивность; симметричность; транзитивность

Номер 2

Пусть имеется множество  и задано отношение : a) записать отношение в явном виде; б)определить свойства отношения .

Ответ:

(1) a)

\rho = \left\{ { (2, 4),  (2, 6), (4, 2), (6, 2), (4, 6), 
(6, 4)} \right\}

.

б) свойства отношения math : симметричность; транзитивность

(2) a)

\rho = \left\{ {(2, 2), (2, 4),  (2, 6), (4, 2), (6, 2), (4, 6), 
(6, 4), (4, 4), (6, 6)} \right\}

.

б) свойства отношения math : рефлексивность; симметричность

(3) a)

\rho = \left\{ {(2, 2), (2, 4),  (2, 6), (4, 2), (6, 2), (4, 6), 
(6, 4), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} \right\}

.

б) свойства отношения math : рефлексивность; симметричность; транзитивность

Номер 3

Пусть имеется множество  и задано отношение : a) записать отношение в явном виде; б)определить свойства отношения .

Ответ:

(1) a)

\rho = \left\{ { (2, 4),  (2, 6), (4, 2), (6, 2), (4, 6), 
(6, 4)} \right\}

.

б) свойства отношения math : симметричность; транзитивность

(2) a)

\rho = \left\{ {(2, 2), (2, 4),  (2, 6), (4, 2), (6, 2), (4, 6), 
(6, 4), (4, 4), (6, 6)} \right\}

.

б) свойства отношения math : рефлексивность; симметричность

(3) a) math

.

б) свойства отношения math : рефлексивность; симметричность

Упражнение 2:

Номер 1

Пусть имеется множество  и задано отношение : a) записать отношение в явном виде; б) определить свойства отношения .

Ответ:

(1) а) math

;

б) отношение math обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности

(2) а) math

;

б) отношение math обладает свойствами рефлексивности и симметричности

(3) а) math

;

б) отношение math обладает свойствами рефлексивности и антисимметричности

Номер 2

Пусть имеется множество  и задано отношение : a) записать отношение в явном виде; б) определить свойства отношения .

Ответ:

(1) a) math

;

б) отношение math обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности

(2) a) math

;

б) отношение math обладает свойством рефлексивности и симметричности

(3) a) math

;

б) отношение math обладает свойством рефлексивности и антисимметричности

Номер 3

Пусть имеется множество  и задано отношение : a) записать отношение в явном виде; б) определить свойства отношения .

Ответ:

(1) a) math

;

б) отношение math обладает свойством симметричности

(2) a) math

;

б) отношение math обладает свойством рефлексивности и симметричности

(3) a) math

;

б) отношение math обладает свойством рефлексивности и антисимметричности

Упражнение 3:

Номер 1

Пусть имеется множество  и задано  отношение . Определить, какими свойствами обладает данное отношение.

Ответ:

(1) отношение math

симметрично, нерефлексивно и нетранзитивно

(2) отношение math

симметрично, рефлексивно и транзитивно

(3) отношение math

симметрично, рефлексивно

Номер 2

Пусть имеется множество  и задано  отношение . Определить, какими свойствами обладает данное отношение.

Ответ:

(1) отношение math

симметрично, нерефлексивно и нетранзитивно

(2) отношение math

симметрично, рефлексивно и транзитивно

(3) отношение math

симметрично, рефлексивно

Номер 3

Пусть имеется множество  и задано  отношение . Определить, какими свойствами обладает данное отношение.

Ответ:

(1) отношение math

симметрично, нерефлексивно и нетранзитивно

(2) отношение math

симметрично, рефлексивно и транзитивно

(3) отношение math

симметрично, нерефлексивно

Упражнение 4:

Номер 1

Пусть имеется множество  и задано отношение . Определить, какими свойствами обладает данное отношение.

Ответ:

(1) отношение math

симметрично, нерефлексивно и нетранзитивно

(2) отношение math

антисимметрично

(3) отношение math

антисимметрично, транзитивно

Номер 2

Пусть имеется множество  и задано отношение . Определить, какими свойствами обладает данное отношение.

Ответ:

(1) отношение math

симметрично, нерефлексивно и нетранзитивно

(2) отношение math

антисимметрично

(3) отношение math

антисимметрично, транзитивно

Номер 3

Пусть имеется множество  и задано отношение . Определить, какими свойствами обладает данное отношение.

Ответ:

(1) отношение math

симметрично, рефлексивно и транзитивно

(2) отношение math

антисимметрично

(3) отношение math

антисимметрично, транзитивно

Упражнение 5:

Номер 1

Пусть имеется отношение . Обладает ли данное отношение свойством эквивалентности?

Ответ:

(1) да

(2) нет

Номер 2

Пусть имеется множество  и задано отношение .Записать отношение в явном виде. Обладает ли данное отношение свойством эквивалентности?

Ответ:

(1) да. math

(2) нет. math

Номер 3

Пусть имеется множество  и задано отношение . Обладает ли данное отношение свойством эквивалентности?

Ответ:

(1) да

(2) нет

Упражнение 6:

Номер 1

 Дано отношение . Является ли оно функцией?

Ответ:

(1) да

(2) нет

Номер 2

Имеется множество  и  задано отношение .  Является ли оно функцией?

Ответ:

(1) да

(2) нет

Номер 3

Дано множество  и  задано  отношение      : a) является ли оно функцией?     б) является ли оно отображением?

Ответ:

(1) a)да; б) нет

(2) a)нет; б) нет

(3) a)да; б) да

Введение в теорию множеств и комбинаторику - тест 4