Элементы линейной алгебры для школьников

Упражнение 1:

Номер 1

Если размерность квадратной матрицы больше 3, то для вычисления ее определителя можно

Ответ:

(1) привести матрицу к треугольному виду и найти произведение диагональных элементов

(2) выполнить разложение по элементам некоторой строки или столбца

(3) использовать обратный ход метода Гаусса

Номер 2

Алгебраические дополнения используются при

Ответ:

(1) решении системы методом Гаусса

(2) вычислении определителя матрицы

(3) нахождении обратной матрицы

Номер 3

При нахождении обратной матрицы нужно

Ответ:

(1) найти определитель исходной матрицы

(2) найти алгебраические дополнения к элементам исходной матрицы

(3) привести исходную матрицу к единичной

(4) найти определитель обратной матрицы

Упражнение 2:

Номер 1

Произведение матрицы на обратную к ней дает

Ответ:

(1) единичную матрицу

(2) нулевую матрицу

(3) матрицу, все элементы которой равны единице

Номер 2

Обратная матрица имеет столько столбцов, сколько

Ответ:

(1) столбцов у исходной матрицы

(2) строк у исходной матрицы

(3) всего строк и стролбцов у исходной матрицы

Номер 3

Обратная матрица имеет столько строк, сколько

Ответ:

(1) столбцов у исходной матрицы

(2) строк у исходной матрицы

(3) всего строк и стролбцов у исходной матрицы

Упражнение 3:

Номер 1

Алгебраические дополнение к элементу a₁₁ матрицы

 $\mathbf{A}=
\left( \begin{array}{cc}
5 & 4 \\
3 & 6 
\end{array} \right)$ 

равно

Ответ:

(1) -3

(2) 6

(3) -4

Номер 2

Алгебраические дополнение к элементу a₁₂ матрицы

 $\mathbf{A}=
\left( \begin{array}{cc}
5 & 4 \\
3 & 6 
\end{array} \right)$ 

равно

Ответ:

(1) -3

(2) 6

(3) 3

Упражнение 4:

Номер 1

Для квадратной матрицы, все элементы которой равны 1, обратная матрицы

Ответ:

(1) не существует

(2) равна единичной матрице

(3) равна нулевой матрице

Номер 2

Матрица, обратная для единичной матрицы

Ответ:

(1) не существует

(2) равна единичной матрице

(3) равна нулевой матрице

Номер 3

Определитель единичной матрицы равен

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) -1

Упражнение 5:

Номер 1

Для матрицы

 $\mathbf{A}=
\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 2 
\end{array} \right)$ 

обратная матрица равна

Ответ:

(1)

\left( \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
1 & -2 
\end{array} \right)

(2)

\left( \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
-1 & 1 
\end{array} \right)

(3)

\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 1 
\end{array} \right)

Номер 2

Для матрицы

 $\mathbf{A}=
\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
3 & 4 
\end{array} \right)$ 

обратная матрица равна

Ответ:

(1)

\left( \begin{array}{cc}
1 & -3 \\
-1 & 4 
\end{array} \right)

(2)

\left( \begin{array}{cc}
4 & 1 \\
3 & 1 
\end{array} \right)

(3)

\left( \begin{array}{cc}
4 & -1 \\
-3 & 1 
\end{array} \right)

Номер 3

Для матрицы

 $\mathbf{A}=
\left( \begin{array}{cc}
1 & 3 \\
5 & 15 
\end{array} \right)$ 

обратная матрица равна

Ответ:

(1)

\left( \begin{array}{cc}
1 & 3 \\
15 & 5 
\end{array} \right)

(2)

\left( \begin{array}{cc}
1 & 3 \\
0 & 15 
\end{array} \right)

(3) для этой матрицы обратной не существует

Упражнение 6:

Номер 1

Если на одном из этапов решения СЛАУ ищется определитель матрицы системы, в которой один из столбцов заменен на вектор свободных членов, то это означает, что СЛАУ решается методом

Ответ:

(1) Гаусса

(2) Крамера

(3) последовательного деления

Номер 2

Для решения СЛАУ в матричном виде нужно

Ответ:

(1) найти обратную матрицу системы

(2) найти длину вектора свободных членов

(3) привести матрицу системы к диагональному виду

Номер 3

СЛАУ можно решить методом

Ответ:

(1) Гаусса

(2) Крамера

(3) Фибоначчи

(4) Коши-Буняковского

Упражнение 7:

Номер 1

Пусть задана СЛАУ AX=B, где

 $\mathbf{A}=
\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
3 & 4 
\end{array} \right)$ 

 $\mathbf{B}=
\left( \begin{array}{c}
5 \\
6 
\end{array} \right)$ 

Тогда для нахождения x₁ методом Крамера нужно найти определитель матрицы

Ответ:

(1)

\left( \begin{array}{cc}
5 & 6 \\
3 & 4 
\end{array} \right)

(2)

\left( \begin{array}{cc}
1 & 5 \\
3 & 6 
\end{array} \right)

(3)

\left( \begin{array}{cc}
5 & 1 \\
6 & 4 
\end{array} \right)

Номер 2

Пусть задана СЛАУ AX=B, где

 $\mathbf{A}=
\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
3 & 4 
\end{array} \right)$ 

 $\mathbf{B}=
\left( \begin{array}{c}
5 \\
6 
\end{array} \right)$ 

Тогда для нахождения x₂ методом Крамера нужно найти определитель матрицы

Ответ:

(1)

\left( \begin{array}{cc}
5 & 6 \\
3 & 4 
\end{array} \right)

(2)

\left( \begin{array}{cc}
1 & 5 \\
3 & 6 
\end{array} \right)

(3)

\left( \begin{array}{cc}
5 & 1 \\
6 & 4 
\end{array} \right)

Номер 3

Пусть задана СЛАУ AX=B, где

 $\mathbf{A}=
\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
3 & 4 
\end{array} \right)$ 

 $\mathbf{B}=
\left( \begin{array}{c}
5 \\
6 
\end{array} \right)$ 

Тогда x₁ равен

Ответ:

(1) -9

(2) 14

(3) 1

Упражнение 8:

Номер 1

В двумерном пространстве матрица поворота вектора на угол A имеет вид

Ответ:

(1)

\left( \begin{array}{cc}
cos A & sin A \\
sin A & cos A 
\end{array} \right)

(2)

\left( \begin{array}{cc}
cos A & -sin A \\
sin A & cos A 
\end{array} \right)

(3)

\left( \begin{array}{cc}
cos A & cos A \\
sin A & -sin A 
\end{array} \right)

Номер 2

В двумерном пространстве матрица поворота вектора на 90 градусов против часовой стрелки имеет вид

Ответ:

(1)

\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
-1 & 0 
\end{array} \right)

(2)

\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & -1 
\end{array} \right)

(3)

\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0 
\end{array} \right)

Номер 3

В двумерном пространстве матрица поворота вектора на 180 градусов против часовой стрелки имеет вид

Ответ:

(1)

\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
-1 & 0 
\end{array} \right)

(2)

\left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & -1 
\end{array} \right)

(3)

\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 
\end{array} \right)

Упражнение 9:

Номер 1

При умножении вектора на действительное число С его длина

Ответ:

(1) не изменяется

(2) изменяется на С

(3) изменяется в С раз

Номер 2

Длина суммы двух векторов

Ответ:

(1) больше суммы длин векторов

(2) равна произведению длин векторов

(3) меньше или равна сумме длин векторов

Упражнение 10:

Номер 1

Скалярное произведение ортогональных векторов равно

Ответ:

(1) 1

(2) -1

(3) 0

Номер 2

Длина вектора равна нулю тогда и только тогда, когда этот вектор

Ответ:

(1) нулевой

(2) единичный

(3) длина вектора не может быть равна нулю

Номер 3

Длина нулевого вектора равна

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

Упражнение 11:

Номер 1

Из попарной ортоногональности нескольких векторов следует

Ответ:

(1) их линейная независимость

(2) их линейная зависимость

(3) равенство нулю их длин

Номер 2

Из линейной независимости нескольких векторов

Ответ:

(1) следует их попарная ортогональность

(2) не следует их попарная ортогональность

(3) следует их ортонормированность

Номер 3

Вектора x, y, z образуют ортонормированный базис, если

Ответ:

(1) линейно зависимы

(2) они попарно ортогональны

(3) их длины равны единице

(4) сумма их длин равна единице

Упражнение 12:

Номер 1

Равенство нулю скалярного произведения двух векторов означает их

Ответ:

(1) ортонормированность

(2) ортогональность

(3) линейную независимость

Номер 2

Если линейное многообразие содержит нулевой элемент, то оно является

Ответ:

(1) евклидовым многообразием

(2) линейным подпространством

(3) нелинейным подпространство

Номер 3

Сдвиг линейного подпространства L на ненулевой вектор x дает

Ответ:

(1) линейное многообразие

(2) линейную комбинацию

(3) нелинейное многообразие

Элементы линейной алгебры для школьников - тест 3