Математический анализ. Ряды

Упражнение 1:

Номер 1

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) числовая последовательность задаётся отображением math

(2) число значений последовательности всегда бесконечно

(3) множество членов последовательности может быть конечно

Номер 2

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) числовая последовательность задаётся отображением math

(2) число значений последовательности может быть конечно

(3) множество членов последовательности всегда бесконечно

Номер 3

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) числовая последовательность задаётся отображением math

(2) число значений последовательности всегда бесконечно

(3) множество членов последовательности всегда бесконечно

Упражнение 2:

Номер 1

Число  является пределом последовательности ,если

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Пусть . Тогда вне каждой окрестности  -

Ответ:

(1) бесконечное, начиная с некоторого номера, число точек math

(2) конечное число точек math

(3) все точки math

Номер 3

Пусть . Тогда внутри каждой окрестности  -

Ответ:

(1) бесконечное, начиная с некоторого номера, число точек math

(2) конечное число точек math

(3) все точки math

Номер 4

Число  не является пределом последовательности ,если

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 3:

Номер 1

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) если числовая последовательность имеет предел, то она ограничена

(2) существуют расходящиеся фундаментальные последовательности

(3) числовая последовательность может иметь только один предел

(4) каждая фундаментальная последовательность имеет предел

Номер 2

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) если числовая последовательность имеет предел, то она сходится

(2) каждая ограниченная последовательность имеет предел

(3) числовая последовательность может иметь два предела

(4) каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной

Номер 3

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) если числовая последовательность имеет предел, то она ограничена

(2) существуют расходящиеся последовательности

(3) числовая последовательность может иметь несколько пределов

(4) фундаментальная последовательность может не иметь предел

Номер 4

Пусть числовая  последовательность  сходится. Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1)

ограниченная сверху и неубывающая

(2)

ограниченная сверху и невозрастающая

(3)

ограниченная снизу и неубывающая

(4)

ограниченная снизу и невозрастающая

Упражнение 4:

Номер 1

Вычислить предел последовательности , если.

Ответ:

0,5

Номер 2

Вычислить предел последовательности  , если.

Ответ:

-1

Номер 3

Пусть . Определить номер, начиная с которого выполняется неравенство , если .

Ответ:

500

Номер 4

Пусть . Определить номер, начиная с которого выполняется неравенство , если .

Ответ:

500

Упражнение 5:

Номер 1

Пусть задан ряд . Тогда

Ответ:

(1) предел math

при

равен нулю

(2) ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией

(3) последовательность частичных сумм ряда не имеет предела

(4) сумма ряда равна 3

(5) ряд расходится

Номер 2

Пусть задан ряд . Тогда

Ответ:

(1) предел math

при

равен бесконечности

(2) ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией

(3) последовательность частичных сумм ряда расходится

(4) сумма ряда конечна

(5) ряд расходится

Номер 3

Пусть задан ряд . Тогда

Ответ:

(1) предел math

при

равен нулю

(2) последовательность частичных сумм ряда сходится

(3) сумма ряда не существует

(4) ряд расходится

(5) предел последовательности частичных сумм ряда равен бесконечности

Упражнение 6:

Номер 1

Пусть задан ряд . Тогда

Ответ:

(1) предел math

при

равен бесконечности

(2) последовательность частичных сумм ряда расходится

(3) сумма ряда конечна

(4) ряд сходится

(5) предел последовательности частичных сумм ряда не существует

Номер 2

Пусть задан ряд . Тогда

Ответ:

(1) предел math

при

равен нулю

(2) последовательность частичных сумм ряда сходится

(3) сумма ряда конечна

(4) ряд расходится

(5) предел последовательности частичных сумм ряда не существует

Номер 3

Пусть задан ряд . Тогда

Ответ:

(1) предел math

при

равен нулю

(2) последовательность частичных сумм ряда расходится

(3) сумма ряда конечна

(4) ряд расходится

Упражнение 7:

Номер 1

Вычислить сумму ряда .

Ответ:

1

Номер 2

Вычислить сумму ряда .

Ответ:

2

Номер 3

Вычислить сумму ряда .

Ответ:

1

Номер 4

Вычислить сумму ряда .

Ответ:

1

Номер 5

Вычислить сумму ряда .

Ответ:

1

Математический анализ. Ряды - тест 1