Математический анализ. Ряды

Упражнение 1:

Номер 1

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) общий множитель нельзя выносить за знак суммы

(2) сходящиеся ряды можно почленно складывать

(3) существует сходящийся ряд, math

-остаток которого расходится

(4) в сходящемся ряде можно произвольно группировать без изменения порядка его члены

Номер 2

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) из сходимости ряда math

следует сходимость рядов math

и

(2) общий множитель можно выносить за знак суммы

(3) ряд сходится, если его math

-остаток сходится

(4) в расходящемся ряде можно произвольно группировать без изменения порядка его члены

Упражнение 2:

Номер 1

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) расходящиеся ряды можно почленно складывать

(2) общий множитель нельзя выносить за знак суммы

(3) если math

-остаток ряда сходится, то и сам ряд сходится

(4) ряд, полученный из сходящегося ряда группировкой членов без изменения порядка, сходится

Номер 2

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) сходящиеся ряды можно почленно складывать

(2) общий множитель нельзя выносить за знак суммы

(3) ряд расходится, если его math

-остаток расходится

(4) ряд, полученный из расходящегося ряда группировкой членов без изменения порядка, расходится

Номер 3

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) из сходимости ряда math

следует сходимость рядов math

и

(2) общий множитель можно выносить за знак суммы

(3) существует сходящийся ряд, math

-остаток которого расходится

(4) сумма ряда, полученного из сходящегося ряда группировкой членов без изменения порядка, равна сумме исходного ряда

Упражнение 3:

Номер 1

Пусть задан ряд с неотрицательными членами. Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху

(2) последовательность частичных сумм сходящегося ряда монотонна

(3) существуют расходящиеся ряды с положительными членами

Номер 2

Пусть задан ряд с неотрицательными членами. Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм монотонна

(2) последовательность частичных сумм сходящегося ряда ограничена сверху

(3) существуют расходящиеся ряды с положительными членами

Номер 3

Пусть задан ряд с неотрицательными членами. Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху

(2) последовательность частичных сумм расходящегося ряда ограничена сверху

(3) все ряды с положительными членами сходятся

Упражнение 4:

Номер 1

Пусть ряд  с положительными членами сходится. Какие условия должны выполняться:

Ответ:

(1) существует сходящийся ряд math

, для которого math

(2) существует число math

, что, начиная с некоторого номера, math

(3)

Номер 2

Пусть ряд  с положительными членами сходится. Какие условия должны выполняться:

Ответ:

(1) существует расходящийся ряд math

, для которого math

(2) начиная с некоторого номера, math

(3)

Номер 3

Пусть ряд  с положительными членами сходится. Какие условия должны выполняться:

Ответ:

(1) существует сходящийся ряд math

, для которого math

(2) существует число math

, что, начиная с некоторого номера, math

(3)

Упражнение 5:

Номер 1

Пусть ряд  с положительными членами расходится. Какие условия должны выполняться:

Ответ:

(1) существует расходящийся ряд math

, для которого math

(2) начиная с некоторого номера math

(3)

Номер 2

Пусть ряд  с положительными членами расходится. Какие условия должны выполняться:

Ответ:

(1) существует сходящийся ряд math

, для которого math

(2) начиная с некоторого номера, math

(3)

Номер 3

Пусть ряд  с положительными членами расходится. Какие условия должны выполняться:

Ответ:

(1) существует расходящийся ряд math

, для которого math

(2) существует число math

, что, начиная с некоторого номера, math

(3)

Упражнение 6:

Номер 1

Отметьте все сходящиеся ряды:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Отметьте все расходящиеся ряды:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Математический анализ. Ряды - тест 2