Математический анализ. Ряды

Упражнение 1:

Номер 1

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) любая функциональная последовательность сходится

(2) если последовательность сходится в точке, то она сходится и на множестве, её содержащем

(3) предельная функция определена для сходящейся последовательности

(4) функциональный ряд расходится, если предел конечных сумм ряда не является конечным

(5) из абсолютной сходимости функционального ряда следует его сходимость

Номер 2

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) существует расходящаяся функциональная последовательность

(2) если последовательность сходится на множестве, то она сходится в любой точке этого множества

(3) предельная функция определена для любой последовательности

(4) функциональный ряд сходится, если предел конечных сумм ряда не существует

(5) любой сходящийся ряд сходится абсолютно

Упражнение 2:

Номер 1

Пусть задан ряд . Тогда

Ответ:

(1) ряд сходится на множестве math

(2) сумма ряда определена на всей числовой прямой

(3) предельная функция равна math

, если

Номер 2

Пусть задан ряд . Тогда

Ответ:

(1) ряд сходится на множестве math

(2) сумма ряда определена на всей числовой прямой

(3) предельная функция равна math

, если

Номер 3

Пусть задан ряд . Тогда

Ответ:

(1) ряд расходится на множестве math

(2) сумма ряда определена при math

(3) предельная функция равна math

, если

Упражнение 3:

Номер 1

Функциональная последовательность  сходится равномерно к своей предельной функции, если

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Функциональная последовательность  не сходится равномерно к своей предельной функции, если

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Функциональный ряд  сходится равномерно к сумме ряда  -функциональная последовательность частичных сумм ряда, если

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 4:

Номер 1

 Какие условия входят в список достаточных для равномерной сходимости функциональной последовательности :

Ответ:

(1) функциональная последовательность сходится к math

на множестве math

(2)

для любого номера math

(3)

Номер 2

Какие условия входят в список достаточных для равномерной сходимости функциональной последовательности :

Ответ:

(1) функциональная последовательность не сходится к math

на множестве math

(2)

начиная с некоторого math

(3)

Номер 3

Какие условия являются критерием Коши равномерной сходимости ряда:

Ответ:

(1)

(2)

Номер 4

Какие условия являются критерием того, что функциональный ряд не является  равномерно сходящимся:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 5:

Номер 1

Пусть задан ряд . Тогда он

Ответ:

(1) расходится в некоторой точке math

(2) сходится абсолютно на множестве math

(3) сходится равномерно на множестве math

Номер 2

Пусть задан ряд . Тогда он

Ответ:

(1) сходится в любой точке множества math

(2) расходится в некоторой точке math

(3) сходится равномерно на множестве math

Номер 3

Пусть задан ряд . Тогда он сходится равномерно на множестве

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 6:

Номер 1

Найдите сумму ряда  и вычислите её значение в точке .

Ответ:

-0,8

Номер 2

Найдите сумму ряда  и вычислите её значение в точке .

Ответ:

1

Номер 3

Найдите сумму ряда , вычислите её значение в точке  и ответ умножьте на .

Ответ:

2

Номер 4

Найдите сумму ряда  и вычислите её значение в точке .

Ответ:

2,5

Математический анализ. Ряды - тест 5