Математический анализ. Ряды

Упражнение 1:

Номер 1

Пусть функция  - аналитическая в точке . Тогда

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Пусть функция - аналитическая в точке . Тогда

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 2:

Номер 1

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) степенные ряды можно бесконечно дифференцировать

(2) радиус сходимости степенного ряда при дифференцировании меняется

(3) сумма степенного ряда является непрерывной функцией на интервале сходимости

(4) аналитическая функция является суммой своего ряд Тейлора

Номер 2

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) степенные ряды можно бесконечно интегрировать

(2) радиус сходимости степенного ряда при интегрировании не меняется

(3) сумма степенного ряда является непрерывной функцией вне интервала сходимости

(4) ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции всегда является аналитической функцией

Упражнение 3:

Номер 1

Какие условия являются достаточными для сходимости ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции  к этой функции:

Ответ:

(1)

, где

-остаточный член в форме Лагранжа

(2) предел math

не существует

(3)

для любого math

и для любого math

Номер 2

Какие условия являются необходимыми для сходимости ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции  к этой функции:

Ответ:

(1)

, где

-остаточный член в форме Лагранжа

(2) предел math

равен бесконечности

(3)

для любого math

и для любого math

Упражнение 4:

Номер 1

Пусть задана функция . Тогда

Ответ:

(1)

бесконечно дифференцируема

(2) радиус сходимости ряда Маклорена равен 0

(3)

аналитическая

(4)

является суммой ряда math

Номер 2

Пусть задана функция . Тогда

Ответ:

(1)

бесконечно дифференцируема

(2) радиус сходимости ряда Маклорена равен бесконечности

(3)

не аналитическая

(4)

является суммой ряда math

Номер 3

Пусть задана функция . Тогда

Ответ:

(1)

элементарная

(2) радиус сходимости ряда Маклорена равен бесконечности

(3)

аналитическая

(4)

является суммой ряда math

Упражнение 5:

Номер 1

Пусть задана функция . Тогда

Ответ:

(1)

бесконечно дифференцируема

(2) радиус сходимости ряда Маклорена равен 1

(3)

не аналитическая

(4)

является суммой ряда math

Номер 2

Пусть задана функция . Тогда

Ответ:

(1)

бесконечно дифференцируема при math

(2) радиус сходимости ряда Маклорена равен 1

(3)

не аналитическая

(4)

является суммой ряда math

Номер 3

Пусть задана функция . Тогда

Ответ:

(1)

бесконечно дифференцируема

(2) радиус сходимости ряда Маклорена равен бесконечности

(3)

элементарная

(4)

является суммой ряда math

Математический анализ. Ряды - тест 7