Введение в математические модели механики сплошных сред

Упражнение 1:

Номер 1

Укажите количество угловых координат в декартовой прямоугольной системе координат:

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

Номер 2

Укажите количество угловых координат в цилиндрической системе координат:

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

Номер 3

Укажите количество угловых координат в сферической системе координат:

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 0

Упражнение 2:

Номер 1

Координатная линия - это геометрическое место точек в пространстве, характеризуемое ...

Ответ:

(1) изменением только одной из координат, тогда как две другие остаются неизменными

(2) изменением двух координат и постоянством третьей

(3) изменением всех трех координат

Номер 2

Координатная поверхность - это геометрическое место точек в пространстве, характеризуемое ...

Ответ:

(1) изменением только одной из координат, тогда как две другие остаются неизменными

(2) изменением двух координат и постоянством третьей

(3) изменением всех трех координат

Номер 3

Укажите, какая из перечисленных ниже систем координат, является прямолинейной?

Ответ:

(1) цилиндрическая система координат

(2) декартова система координат

(3) сферическая система координат

Упражнение 3:

Номер 1

Скалярное произведение векторов основного и взаимного базиса с разными индексами равно:

Ответ:

(1) 1

(2) 0

(3) -1

Номер 2

Скалярное произведение векторов основного и взаимного базиса с одинаковыми индексами равно:

Ответ:

(1) 1

(2) 0

(3) -1

Номер 3

Укажите, какие из перечисленных ниже систем координат, являются криволинейными?

Ответ:

(1) цилиндрическая система координат

(2) декартова система координат

(3) сферическая система координат

Упражнение 4:

Номер 1

Какую особенность необходимо учитывать при дифференцировании тензоров прямоугольной системы координат?

Ответ:

(1) совокупность базисных векторов в разных точках пространства различна

(2) совокупность базисных векторов не изменяется при переходе от одной точки пространства к другой

(3) совокупность базисных векторов является функцией времени и не зависит от координат

Номер 2

Какую особенность необходимо учитывать при дифференцировании тензоров криволинейной системы координат?

Ответ:

(1) совокупность базисных векторов в разных точках пространства различна

(2) совокупность базисных векторов не изменяется при переходе от одной точки пространства к другой

(3) совокупность базисных векторов является функцией времени и не зависит от координат

Номер 3

Базисные векторы являются функциями:

Ответ:

(1) времени и координат

(2) времени

(3) координат

Упражнение 5:

Номер 1

Символы Кристоффеля второго рода - это ...

Ответ:

(1) компоненты Г_ijk производной вектора основного базиса r_i по координате x^j в разложении по векторам взаимного базиса

(2) компоненты Г_ijk производной вектора основного базиса r_i по координате x^j в разложении по векторам основного базиса

(3) компоненты Г_ijk производной вектора взаимного базиса rⁱ по координате x^j в разложении по векторам основного базиса

Номер 2

Символы Кристоффеля первого рода - это ...

Ответ:

(1) компоненты Г_ijk производной вектора основного базиса r_i по координате x^j в разложении по векторам взаимного базиса

(2) компоненты Г_ijk производной вектора основного базиса r_i по координате x^j в разложении по векторам основного базиса

(3) компоненты Г_ijk производной вектора взаимного базиса rⁱ по координате x^j в разложении по векторам основного базиса

Номер 3

Символы Кристоффеля ...

Ответ:

(1) не являются компонентами некоторого тензора третьего ранга

(2) являются компонентами некоторого тензора третьего ранга

(3) являются компонентами некоторого тензора второго ранга

Упражнение 6:

Номер 1

Укажите соотношение векторов основного и взаимного базиса системы координат при i=j:

Ответ:

(1) r_i*r^j=1

(2) r_i*r^j=0

(3) r_i*r^j=-1

Номер 2

Укажите соотношение векторов основного и взаимного базиса системы координат при i≠j:

Ответ:

(1) r_i*r^j=1

(2) r_i*r^j=0

(3) r_i*r^j=-1

Номер 3

Символы Кристоффеля первого и второго рода являются:

Ответ:

(1) компонентами производной вектора взаимного базиса по координате

(2) компонентами производной вектора основного базиса по времени

(3) компонентами производной вектора основного базиса по координате

Упражнение 7:

Номер 1

Выписать подробно выражение t_i_i, используя числовые значения индексов, а не их буквенные обозначения:

Ответ:

(1) t₁₁+t₂₂+t₃₃

(2) t₁₁+t₁₂+t₁₃

(3) t₁₁+t₂₁+t₃₁

Номер 2

Выписать подробно выражение Z_i_i, используя числовые значения индексов, а не их буквенные обозначения:

Ответ:

(1) Z₁₁+Z₂₂+Z₃₃

(2) Z₁₁+Z₁₂+Z₁₃

(3) Z₁₁+Z₂₁+Z₃₁

Номер 3

Выписать подробно выражение P_i_i, используя числовые значения индексов, а не их буквенные обозначения:

Ответ:

(1) P₁₁+P₂₂+P₃₃

(2) P₁₁+P₁₂+P₁₃

(3) P₁₁+P₂₁+P₃₁

Упражнение 8:

Номер 1

Указать равные между собой выражения: 1) p_i_ju_j 2) u_jp_i_j 3) p_i_ju_i 4) u_ip_i_j

Ответ:

(1) первое и третье

(2) второе и третье

(3) первое и второе

(4) третье и четвертое

Номер 2

Указать равные между собой выражения: 1) q_i_ja_ib_j 2) q_i_jb_ja_i 3) b_jq_i_ja_i 4) a_iq_i_jb_j

Ответ:

(1) первое, второе и третье

(2) все равны

(3) второе, третье и четвертое

(4) первое, второе и четвертое

Номер 3

Указать равные между собой выражения: 1) a_ib_jq_i_j 2) b_ja_iq_i_j 3) q_i_ja_jb_i

Ответ:

(1) первое и второе

(2) второе и третье

(3) все равны

Упражнение 9:

Номер 1

Вычислить сумму выражения δ_i_i

Ответ:

(1) 3

(2) 2

(3) 1

(4) 0

Номер 2

Вычислить сумму выражения δ_i_jδ_j_i

Ответ:

(1) 3

(2) 2

(3) 1

(4) 0

Номер 3

Вычислить сумму выражения δ_i_jδ_j_kδ_k_i

Ответ:

(1) 3

(2) 2

(3) 1

(4) 0

Упражнение 10:

Номер 1

Вычислить сумму выражения δ_i_i, если все индексы пробегают значения 1,2,...,n

Ответ:

(1) 3

(2) 2

(3) 1

(4) 0

(5) n

Номер 2

Вычислить сумму выражения δ_i_jδ_j_i, если все индексы пробегают значения 1,2,...,n

Ответ:

(1) 3

(2) 2

(3) 1

(4) 0

(5) n

Номер 3

Вычислить сумму выражения δ_i_jδ_j_kδ_k_i, если все индексы пробегают значения 1,2,...,n

Ответ:

(1) 3

(2) 2

(3) 1

(4) 0

(5) n

Упражнение 11:

Номер 1

Вычислить сумму выражения p_i_ju_j при i=1

Ответ:

(1) p₁₁u₁+p₁₂u₂+p₁₃u₃

(2) p₂₁u₁+p₂₂u₂+p₂₃u₃

(3) p₃₁u₁+p₃₂u₂+p₃₃u₃

Номер 2

Вычислить сумму выражения p_i_ju_j при i=2

Ответ:

(1) p₁₁u₁+p₁₂u₂+p₁₃u₃

(2) p₂₁u₁+p₂₂u₂+p₂₃u₃

(3) p₃₁u₁+p₃₂u₂+p₃₃u₃

Номер 3

Вычислить сумму выражения p_i_ju_j при i=3

Ответ:

(1) p₁₁u₁+p₁₂u₂+p₁₃u₃

(2) p₂₁u₁+p₂₂u₂+p₂₃u₃

(3) p₃₁u₁+p₃₂u₂+p₃₃u₃

Упражнение 12:

Номер 1

Вычислить сумму выражения p_i_ju_i при j=1

Ответ:

(1) p₁₁u₁+p₂₁u₂+p₃₁u₃

(2) p₁₂u₁+p₂₂u₂+p₃₂u₃

(3) p₁₃u₁+p₂₃u₂+p₃₃u₃

Номер 2

Вычислить сумму выражения p_i_j*u_i при j=2

Ответ:

(1) p₁₁u₁+p₂₁u₂+p₃₁u₃

(2) p₁₂u₁+p₂₂u₂+p₃₂u₃

(3) p₁₃u₁+p₂₃u₂+p₃₃u₃

Номер 3

Вычислить сумму выражения p_i_ju_i при j=3

Ответ:

(1) p₁₁u₁+p₂₁u₂+p₃₁u₃

(2) p₁₂u₁+p₂₂u₂+p₃₂u₃

(3) p₁₃u₁+p₂₃u₂+p₃₃u₃

Введение в математические модели механики сплошных сред - тест 2