Введение в математические модели механики сплошных сред

Упражнение 1:

Номер 1

Как называются величины, преобразующиеся при переходе от одной системы координат к другой, подобно компонентам вектора dr в разложении по векторам основного базиса?

Ответ:

(1) контрвариантные величины

(2) ковариантные величины

(3) скалярные величины

Номер 2

Как называются величины, преобразующиеся при переходе от одной системы координат к другой, подобно векторам основного базиса?

Ответ:

(1) контравариантные величины

(2) ковариантные величины

(3) скаларные величины

Номер 3

У ковариантной величины индекс:

Ответ:

(1) ставится вверху

(2) ставится внизу

(3) не ставится

Упражнение 2:

Номер 1

По какому закону проводится преобразование координат?

Ответ:

(1) ковариантный закон преобразования

(2) контрвариантный закон преобразования

(3) закон суммирования

Номер 2

По какому закону проводится преобразование векторов основного базиса при переходе от одной системы координат к другой?

Ответ:

(1) ковариантный закон преобразования

(2) контравариантный закон преобразования

(3) закон суммирования

Номер 3

Ковариантный и контрвариантный законы преобразования являются:

Ответ:

(1) необратимыми

(2) взаимно обратимыми

(3) невзаимно обратимыми

Упражнение 3:

Номер 1

У контрвариантной величины индекс:

Ответ:

(1) ставится внизу

(2) ставится вверху

(3) не ставится

Номер 2

Скалярным произведением тензоров первого ранга является:

Ответ:

(1) векторная величина, равная сумме попарных произведений одноименных компонент

(2) скалярная величина, равная сумме попарных произведений одноименных компонент

(3) скалярная величина, равная сумме попарных произведений разноименных компонент

Номер 3

При скалярном умножении тензоров, результирующий тензор имеет ранг, равный:

Ответ:

(1) наивысшему из рангов перемножаемых тензоров

(2) разности рангов перемножаемых тензоров

(3) сумме рангов перемножаемых тензоров

(4) сумме рангов перемножаемых тензоров минус 2

Упражнение 4:

Номер 1

Скалярное произведение двух векторов определяется как ...

Ответ:

(1) вектор, по модулю равный площади параллелограмма, построенного на двух данных векторах, и направленный перпендикулярно плоскости векторов

(2) произведение модулей обоих векторов, умноженное на косинус угла между ними

(3) произведение модулей обоих векторов, умноженное на синус угла между ними

Номер 2

Векторное произведение двух векторов определяется как ...

Ответ:

(1) вектор, по модулю равный площади параллелограмма, построенного на двух данных векторах, и направленный перпендикулярно плоскости векторов

(2) произведение модулей обоих векторов, умноженное на косинус угла между ними

(3) вектор, по модулю равный периметру параллелограмма, построенного на двух данных векторах, и направленный перпендикулярно плоскости векторов

Номер 3

Векторные величины ...

Ответ:

(1) не инвариантны относительно преобразования системы координат

(2) не всегда инвариантны относительно преобразования системы координат

(3) инвариантны относительно преобразования системы координат

Упражнение 5:

Номер 1

Дискриминантный тензор является тензором:

Ответ:

(1) третьего ранга

(2) второго ранга

(3) первого ранга

Номер 2

При векторном умножении тензоров, результирующий тензор имеет ранг, равный:

Ответ:

(1) сумме рангов перемножаемых тензоров

(2) наивысшему из рангов перемножаемых тензоров

(3) разности рангов перемножаемых тензоров

Номер 3

Результатом умножения тензора на скалярную величину будет тензор:

Ответ:

(1) того же ранга, что и исходный

(2) большего на единицу ранга, чем исходный

(3) нулевого ранга

Упражнение 6:

Номер 1

Сколько компонент имеет тензор нулевого ранга?

Ответ:

(1) 9

(2) 3

(3) 1

Номер 2

Сколько компонент имеет тензор первого ранга?

Ответ:

(1) 3

(2) 9

(3) 1

Номер 3

Сколько компонент имеет тензор второго ранга?

Ответ:

(1) 3

(2) 1

(3) 9

(4) 6

Упражнение 7:

Номер 1

Равны ли свертки _i_ju_iu_j и t_i_ju_iu_j, где u_i - компоненты векторов

Ответ:

(1) да

(2) нет

Номер 2

Равны ли свертки _i_ju_iv_j и t_i_ju_iv_j, где u_i,v_j - компоненты векторов

Ответ:

(1) да

(2) нет

Номер 3

Равны ли свертки _i_ju_iu_j и t_i_ju_iv_j, где u_i,v_j - компоненты векторов

Ответ:

(1) да

(2) нет

Упражнение 8:

Номер 1

Найти главный компонент тензора , имеющего в некотором ортонормированном базисе е_i следующую матрицу компонент: 
         $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   1 & { - \sqrt 3 } & 0  \\
   { - \sqrt 3 } & { - 1} & 0  \\
   0 & 0 & 3  \\
\end{array}} \right)$

Ответ:

(1) -3

(2) 0

(3) 4

(4) -2

Номер 2

Найти главный компонент тензора ₂, имеющего в некотором ортонормированном базисе е₁ следующую матрицу компонент:
         $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   1 & { - \sqrt 3 } & 0  \\
   { - \sqrt 3 } & { - 1} & 0  \\
   0 & 0 & 3  \\
\end{array}} \right)$

Ответ:

(1) 0

(2) -1

(3) 1

(4) 2

Номер 3

Найти главный компонент тензора ₃, имеющего в некотором ортонормированном базисе е₁ следующую матрицу компонент:
         $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   1 & { - \sqrt 3 } & 0  \\
   { - \sqrt 3 } & { - 1} & 0  \\
   0 & 0 & 3  \\
\end{array}} \right)$

Ответ:

(1) 3

(2) 2

(3) 0

(4) -1

Упражнение 9:

Номер 1

Найти главный компонент тензора ₁, имеющего в некотором ортонормированном базисе е₁ следующую матрицу компонент:
          $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   1 & { - \sqrt 3 } & 0  \\
   { - \sqrt 3 } & { - 1} & 0  \\
   0 & 0 & 2  \\
\end{array}} \right)$

Ответ:

(1) -3

(2) 2

(3) 4

(4) -2

Номер 2

Найти главный компонент тензора ₂, имеющего в некотором ортонормированном базисе е₁ следующую матрицу компонент:
          $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   1 & { - \sqrt 3 } & 0  \\
   { - \sqrt 3 } & { - 1} & 0  \\
   0 & 0 & 2  \\
\end{array}} \right)$

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

Номер 3

Найти главный компонент  тензора ₃, имеющего в некотором ортонормированном базисе е₁ следующую матрицу компонент:
         $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   1 & { - \sqrt 3 } & 0  \\
   { - \sqrt 3 } & { - 1} & 0  \\
   0 & 0 & 2  \\
\end{array}} \right)$

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

Упражнение 10:

Номер 1

Указать вдоль какого из векторов направлена главная ось тензора, имеющего в некотором ортонормированном базисе е₁ следующую матрицу компонент:
         $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   1 & { - \sqrt 3 } & 0  \\
   { - \sqrt 3 } & { - 1} & 0  \\
   0 & 0 & 3  \\
\end{array}} \right)$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Указать вдоль какого из векторов направлена главная ось тензора, имеющего в некотором ортонормированном базисе е₁ следующую матрицу компонент:
         $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   1 & { - \sqrt 3 } & 0  \\
   { - \sqrt 3 } & { - 1} & 0  \\
   0 & 0 & 3  \\
\end{array}} \right)$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Указать вдоль какого из векторов направлена главная ось тензора, имеющего в некотором ортонормированном базисе е₁ следующую матрицу компонент:
         $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   1 & { - \sqrt 3 } & 0  \\
   { - \sqrt 3 } & { - 1} & 0  \\
   0 & 0 & 3  \\
\end{array}} \right)$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 11:

Номер 1

Указать вдоль какого из векторов направлена главная ось тензора, имеющего в некотором ортонормированном базисе е₁ следующую матрицу компонент:
         $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   1 & { - \sqrt 3 } & 0  \\
   { - \sqrt 3 } & { - 1} & 0  \\
   0 & 0 & 2  \\
\end{array}} \right)$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Указать вдоль какого из векторов направлена главная ось тензора, имеющего в некотором ортонормированном базисе е₁ следующую матрицу компонент:
         $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   1 & { - \sqrt 3 } & 0  \\
   { - \sqrt 3 } & { - 1} & 0  \\
   0 & 0 & 2  \\
\end{array}} \right)$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 12:

Номер 1

Базис e_i образован единичными векторами, каждые два из которых образуют угол π/3. Укажите длину одного из векторов взаимного ему базиса.

Ответ:

(1) (3e₁-e₂-e₃)/2

(2) (2e₁-e₂-e₃)/2

(3) (e₁-e₂-e₃)/2

Номер 2

Базис e_i образован единичными векторами, каждые два из которых образуют угол π/3. Укажите длину одного из векторов взаимного ему базиса.

Ответ:

(1) (5e₂-e₃-e₁)/2

(2) (4e₂-e₃-e₁)/2

(3) (3e₂-e₃-e₁)/2

Номер 3

Базис e_i образован единичными векторами, каждые два из которых образуют угол π/3. Укажите один из векторов взаимного ему базиса.

Ответ:

(1) (-3e₃-e₁-e₂)/2

(2) (3e₃-e₁-e₂)/2

(3) (7e₃-e₁-e₂)/2

Введение в математические модели механики сплошных сред - тест 4