Введение в математические модели механики сплошных сред

Упражнение 1:

Номер 1

Диадные произведения базисных векторов представляют собой:

Ответ:

(1) результат неопределенного умножения векторов

(2) результат скалярного умножения векторов

(3) результат векторного умножения векторов

Номер 2

Результатом диадного произведения двух векторов будет:

Ответ:

(1) скаляр

(2) тензор второго ранга

(3) вектор

Номер 3

Укажите несправедливое равенство для неопределенного умножения векторов:

Ответ:

(1) ab=ba

(2) ab≠ba

(3) ab*c=a(b*c)

Упражнение 2:

Номер 1

Укажите определение симметричного тензора:

Ответ:

(1) тензор, значения компонент которого не изменяются на противоположные при перестановке одноименных индексов

(2) тензор, значения компонент которого изменяются на противоположные при перестановке одноименных индексов

(3) тензор, все значения компонент которого равны нулю

Номер 2

Укажите определение антисимметричного тензора:

Ответ:

(1) тензор, значения компонент которого не изменяются на противоположные при перестановке одноименных индексов

(2) тензор, значения компонент которого изменяются на противоположные при перестановке одноименных индексов

(3) тензор, все значения компонент которого равны нулю

Номер 3

Укажите выражение, справедливое для неопределенного умножения векторов:

Ответ:

(1) ab=ba

(2) ab≠ba

(3) ab*c≠a(b*c)

Упражнение 3:

Номер 1

Суммирование двух тензоров может выполняться в случае, если:

Ответ:

(1) тензоры имеют одинаковый ранг, но разную структуру

(2) тензоры имеют одинаковый ранг и структуру

(3) тензоры имеют различный ранг

Номер 2

Вычитание двух тензоров может выполняться в случае, если:

Ответ:

(1) тензоры имеют одинаковый ранг, но разную структуру

(2) тензоры имеют одинаковый ранг и структуру

(3) тензоры имеют различный ранг

Номер 3

Результатом сложения двух тензоров будет являться:

Ответ:

(1) тензор большего на единицу ранга, чем исходный

(2) тензор того же ранга, что и исходный

(3) тензор в два раза большего ранга, чем исходный

Упражнение 4:

Номер 1

Градиент тензора - это ...

Ответ:

(1) результат неопределенного умножения метрического тензора на заданный тензор

(2) результат неопределенного умножения оператора Гамильтона на заданный тензор

(3) результат неопределенного умножения симметричного тензора на заданный тензор

Номер 2

Оператор Гамильтона - это ...

Ответ:

(1) векторный символический оператор, компонентами которого являются абсолютные производные математических объектов

(2) векторный символический оператор, результат неопределенного умножения метрического тензора на заданный тензор

(3) векторный символический оператор, результат неопределенного умножения симметричного тензора на заданный тензор

Номер 3

Укажите физический смысл градиента скалярной функции векторного аргумента:

Ответ:

(1) вектор, направленный параллельно к поверхности уровня в сторону быстрейшего уменьшения скалярной функции и равный производной по этому направлению

(2) вектор, направленный параллельно к поверхности уровня в сторону быстрейшего увеличения скалярной функции и равный производной по этому направлению

(3) вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону быстрейшего увеличения скалярной функции и равный производной по этому направлению

(4) вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону быстрейшего уменьшения скалярной функции и равный производной по этому направлению

Упражнение 5:

Номер 1

Укажите значение метрического коэффициента взаимного базиса g¹¹ в декартовой системе координат:

Ответ:

(1) 1

(2) r²

(3) 0

(4) 1/r²

Номер 2

Укажите значение метрического коэффициента взаимного базиса g²² в декартовой системе координат:

Ответ:

(1) 1

(2) r²

(3) 0

(4) 1/r²

Номер 3

Укажите значение метрического коэффициента взаимного базиса g³² в декартовой системе координат:

Ответ:

(1) 1

(2) r²

(3) 0

(4) 1/r²

Упражнение 6:

Номер 1

Укажите значение метрического коэффициента взаимного базиса g¹¹ в цилиндрической системе координат:

Ответ:

(1) 1

(2) r²

(3) 0

(4) 1/r²

Номер 2

Укажите значение метрического коэффициента взаимного базиса g²² в цилиндрической системе координат:

Ответ:

(1) 1

(2) r²

(3) 0

(4) 1/r²

Номер 3

Укажите значение метрического коэффициента взаимного базиса g²³ в цилиндрической системе координат:

Ответ:

(1) 1

(2) r²

(3) 0

(4) 1/r²

Упражнение 7:

Номер 1

Выразите вектор  связанного с цилиндрической системой координат физического базиса , через базисы  цилиндрической и  декартовой систем координат

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Выразите вектор  связанного с цилиндрической системой координат физического базиса , через базисы  цилиндрической и  декартовой систем координат

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Выразите вектор  связанного с цилиндрической системой координат физического базиса , через базисы  цилиндрической и  декартовой систем координат

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 8:

Номер 1

Какому из перечисленных ниже значений равна одна из контрвариантных компонент суммы тензоров  и , где  - базис системы координат , , ,  и  - декартовы координаты

Ответ:

(1) 4

(2) 3

(3) 2

Номер 2

Какому из перечисленных ниже значений равна одна из контрвариантных компонент суммы тензоров  и , где  - базис системы координат , , ,  и  - декартовы координаты

Ответ:

(1) -2

(2) -1

(3) -3

Номер 3

Какому из перечисленных ниже значений равна одна из контрвариантных компонент суммы тензоров  и , где  - базис системы координат , , ,  и  - декартовы координаты

Ответ:

(1) 1

(2) 3

(3) 4

Упражнение 9:

Номер 1

Тело вращается вокруг оси с угловой скоростью . Найдите физическую компоненту  вектора угловой скорости в цилиндрической системе координат, для которой координатной линией  является ось вращения.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Тело вращается вокруг оси с угловой скоростью . Найдите физическую компоненту  вектора угловой скорости в цилиндрической системе координат, для которой координатной линией  является ось вращения.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Тело вращается вокруг оси с угловой скоростью . Найдите физическую компоненту  вектора угловой скорости в цилиндрической системе координат, для которой координатной линией  является ось вращения.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 10:

Номер 1

Верно ли утверждение, что если компонента  векторного поля в некоторой системе координат равна нулю во всех точках, то в этой системе координат и ?

Ответ:

(1) да

(2) нет

Номер 2

Вычислите ковариантные производные компонент метрического тензора

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Вычислите ковариантные производные компонент тензора Леви-Чивита

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 11:

Номер 1

Тело вращается вокруг оси с угловой скоростью . Найдите физическую компоненту  вектора углового ускорения в цилиндрической системе координат, для которой координатной линией  является ось вращения.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Тело вращается вокруг оси с угловой скоростью . Найдите физическую компоненту  вектора углового ускорения в цилиндрической системе координат, для которой координатной линией  является ось вращения.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Тело вращается вокруг оси с угловой скоростью . Найдите физическую компоненту  вектора углового ускорения в цилиндрической системе координат, для которой координатной линией  является ось вращения.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 12:

Номер 1

Найдите символ Кристоффеля  для цилиндрической системы координат

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Найдите символ Кристоффеля  для цилиндрической системы координат

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Найдите символ Кристоффеля  для цилиндрической системы координат

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Введение в математические модели механики сплошных сред - тест 6