Введение в математические модели механики сплошных сред

Упражнение 1:

Номер 1

Дивергенция тензора определяется как:

Ответ:

(1) результат скалярного умножения оператора Лапласа на заданный тензор

(2) результат неопределенного умножения оператора Гамильтона на заданный тензор

(3) результат векторного произведения оператора Гамильтона на заданный тензор

Номер 2

Укажите определение дивергенции вектора в точке векторного поля:

Ответ:

(1) отнесенный к единице объема поток вектора через разомкнутую поверхность

(2) отнесенный к единице объема поток вектора через замкнутую поверхность, ограничивающую бесконечно малый объем, окружающий рассматриваемую точку

(3) отнесенный к единице длины поток вектора через замкнутую поверхность, ограничивающую бесконечно малый объем, окружающий рассматриваемую точку

Номер 3

При определении дивергенции тензора:

Ответ:

(1) ранг математического объекта не изменяется

(2) ранг математического объекта уменьшается на единицу

(3) ранг математического объекта увеличивается на единицу

Упражнение 2:

Номер 1

Ротор тензора определяется как:

Ответ:

(1) результат векторного произведения оператора Гамильтона на заданный тензор

(2) результат скалярного умножения оператора Лапласа на заданный тензор

(3) результат неопределенного умножения оператора Гамильтона на заданный тензор

Номер 2

Укажите физический смысл ротора вектора скорости при вращении твердого тела относительно неподвижной оси:

Ответ:

(1) утроенный вектор угловой скорости вращения тела

(2) вектор угловой скорости вращения тела

(3) удвоенный вектор угловой скорости вращения тела

Номер 3

При определении ротора тензора:

Ответ:

(1) ранг математического объекта увеличивается на единицу

(2) ранг математического объекта не изменяется

(3) ранг математического объекта уменьшается на единицу

Упражнение 3:

Номер 1

Укажите физический смысл дивергенции вектора скорости течения жидкости в точке поля:

Ответ:

(1) модуль и направление линейной скорости бесконечно малого объема жидкости

(2) относительная скорость изменения бесконечно малого индивидуального объема жидкости

(3) изменение температуры бесконечно малого объема жидкости

Номер 2

Укажите физический смысл ротора вектора скорости течения жидкости в точке поля:

Ответ:

(1) ротор вектора скорости характеризует модуль и направление линейной скорости бесконечно малого объема жидкости

(2) ротор вектора скорости характеризует модуль и направление вращения бесконечно малого объема жидкости

(3) ротор вектора скорости характеризует изменение температуры бесконечно малого объема жидкости

Номер 3

Укажите обозначение дивергенции функции F:

Ответ:

(1) div F

(2) F

(3) rot F

Упражнение 4:

Номер 1

Укажите отличительную особенность псевдовектора:

Ответ:

(1) не меняет свой знак при обращении знака координат

(2) меняет свой знак при обращении знака координат

(3) меняет свой модуль при обращении знака координат

Номер 2

Оператор Лапласа векторного поля эквивалентен:

Ответ:

(1) последовательному взятию операций градиента и дивергенции векторного поля

(2) последовательному взятию операций градиента и ротора векторного поля

(3) последовательному взятию операций ротора и дивергенции векторного поля

Номер 3

Оператор Лапласа обозначается символом:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 5:

Номер 1

Определение теоремы Остроградского-Гаусса:

Ответ:

(1) поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу, по объему ограниченному этой поверхностью, от дивергенции вектора

(2) вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону быстрейшего увеличения скалярной функции равен градиенту функции

(3) циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора вектора через поверхность, ограниченную этим контуром

Номер 2

Определение теоремы Стокса:

Ответ:

(1) вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону быстрейшего увеличения скалярной функции равен градиенту функции

(2) циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора вектора через поверхность, ограниченную этим контуром

(3) поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу, по объему ограниченному этой поверхностью, от дивергенции вектора

Номер 3

Укажите обозначение ротора функции F:

Ответ:

(1) div F

(2) F

(3) rot F

Упражнение 6:

Номер 1

Способ Эйлера для описания движения сплошной среды заключается:

Ответ:

(1) в наблюдении за макротелами движущейся среды

(2) в наблюдении за каждой точкой пространства, в котором движется среда

(3) в наблюдении за каждой точкой движущейся среды

Номер 2

Способ Лагранжа для описания движения сплошной среды заключается:

Ответ:

(1) в наблюдении за макротелами движущейся среды

(2) в наблюдении за каждой точкой пространства, в котором движется среда

(3) в наблюдении за каждой точкой движущейся среды

Номер 3

Способы Эйлера и Лагранжа для описания движения сплошной среды:

Ответ:

(1) не эквивалентны

(2) не всегда эквивалентны

(3) эквивалентны

Упражнение 7:

Номер 1

Движение среды происходит по закону: x₁=₁+a*t*₂ x₂=₂+b*t*₁ x₃=₃, где a,b=const. Найти составляющую поля скорости ₁ в лагранжевом описании

Ответ:

(1) a*₂

(2) a*₂+a*₁

(3) a*₁

Номер 2

Движение среды происходит по закону: x₁=₁+a*t*₂ x₂=₂+b*t*₁ x₃=₃, где a,b=const. Найти составляющую поля скорости ₂ в лагранжевом описании

Ответ:

(1) b*₁

(2) 2*b*₁

(3) b*₂

Номер 3

Движение среды происходит по закону: x₁=₁+a*t*₂ x₂=₂+b*t*₁ x₃=₃, где a,b=const. Найти составляющую поля скорости ₃ в лагранжевом описании

Ответ:

(1) 0

(2) 2*b*₁

(3) b*₂

Упражнение 8:

Номер 1

Движение среды происходит по закону: , , , где =const. Найти составляющую поля скорости ₁ в лагранжевом описании

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Движение среды происходит по закону: , , , где =const. Найти составляющую поля скорости ₂ в лагранжевом описании

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Движение среды происходит по закону: , , , где =const. Найти составляющую поля скорости ₃ в лагранжевом описании

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 9:

Номер 1

Движение среды происходит по закону: x₁=₁+a*t*₂ x₂=₂+b*t*₁ x₃=₃, где a,b=const. Найти лагранжеву координату ₁ частицы, которая в момент t₀ находится в точке пространства с координатами (x₀₁,x₀₂,x₀₃)

Ответ:

(1) (x₀₁-a*t₀*x₀₂)/(1-a*b*t₀²)

(2) (x₀₂+a*t₀*x₀₂)/(1+a*b*t₀²)

(3) (x₀₁-2*b*t₀*x₀₂)/(1-a*b*t₀)

Номер 2

Движение среды происходит по закону: x₁=₁+a*t*₂ x₂=₂+b*t*₁ x₃=₃, где a,b=const. Найти лагранжеву координату ₂ частицы, которая в момент t₀ находится в точке пространства с координатами (x₀₁,x₀₂,x₀₃)

Ответ:

(1) (x₀₂+a*t₀*x₀₁)/(1-a*b*t₀)

(2) (x₀₂-a*t₀*x₀₁)/(1-a*b*t₀²)

(3) (x₀₂-t₀*x₀₂)/(1-a*t₀²)

Номер 3

Движение среды происходит по закону: x₁=₁+a*t*₂ x₂=₂+b*t*₁ x₃=₃, где a,b=const. Найти лагранжеву координату ₃ частицы, которая в момент t₀ находится в точке пространства с координатами (x₀₁,x₀₂,x₀₃)

Ответ:

(1) 2*x₀₃

(2) x₀₃

(3) x₀₃-1

Упражнение 10:

Номер 1

Движение среды происходит по закону: , , , где =const. Найти составляющую поля ускорения а₁ в лагранжевом описании

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Движение среды происходит по закону: , , , где =const. Найти составляющую поля ускорения а₂ в лагранжевом описании

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Движение среды происходит по закону: , , , где =const. Найти составляющую поля ускорения а₃ в лагранжевом описании

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 11:

Номер 1

Найти составляющую поля ускорения а₁ движения среды, если оно происходит с полем скорости , , , где =const > 0

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Найти составляющую поля ускорения а₂ движения среды, если оно происходит с полем скорости , , , где =const > 0

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Найти составляющую поля ускорения а₃ движения среды, если оно происходит с полем скорости , , , где =const > 0

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 12:

Номер 1

Движение среды происходит по закону: , , , где =const. Укажите координату x₁ частицы в момент t=3*, которая в момент t= находилась в точке пространства с координатами (a,b,c)

Ответ:

(1) 2*a

(2) 5*a

(3) 3*a/2

Номер 2

Движение среды происходит по закону: , , , где =const. Укажите координату x₂ частицы в момент t=3*T, которая в момент t=T находилась в точке пространства с координатами (a,b,c)

Ответ:

(1) 2*b/3

(2) 5*b/3

(3) 7*b/3

Номер 3

Движение среды происходит по закону: , , , где =const. Укажите координату x₃ частицы в момент t=3*, которая в момент t= находилась в точке пространства с координатами (a,b,c)

Ответ:

(1) c

(2) 5*c

(3) 3*c

Введение в математические модели механики сплошных сред - тест 8