Дифференциальные уравнения - тест 15

Упражнение 1:

---

Номер 1

Решите простейшую вариационную задачу для функционала
		\backslash int\backslash limits\_1^9\backslash left[2y\text{'}-yy\text{'}+x(y\text{'})^2\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(1)=1,\; \backslash quad\; y(9)=11.
		В ответе введите значение .

Ответ:

---

Номер 2

Решите простейшую вариационную задачу для функционала
		\backslash int\backslash limits\_0^\backslash pi\backslash left[(y\text{'}+y)^2+2y\backslash sin\{x\}\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(0)=0,\; \backslash quad\; y(\backslash pi)=1.		
		

Ответ:

---

Номер 3

Решите простейшую вариационную задачу для функционала
		\backslash int\backslash limits\_1^2\backslash left[x(y\text{'})^2+\backslash frac\{y^2\}\{x\}\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(1)=2,\; \backslash quad\; y(2)=\backslash frac52.		
		В ответе введите значение .

Ответ:

---

Упражнение 2:

---

Номер 1

Решите простейшую вариационную задачу для функционала
		\backslash int\backslash limits\_1^4\backslash left[\backslash frac\{2yy\text{'}\}\{x\}-\backslash frac\{3y^2\}\{x^2\}-(y\text{'})^2-\backslash frac\{y\}\{x\}\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(1)=y(4)=4.			
		

Ответ:

---

Номер 2

Решите простейшую вариационную задачу для функционала
		\backslash int\backslash limits\_\{-1\}^1\; e^x\; \backslash left[(y\text{'})^2+6y^2\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(-1)=0,\; \backslash quad\; y(1)=e^7-e^\{-3\}.			
		

Ответ:

---

Номер 3

Решите простейшую вариационную задачу для функционала
		\backslash int\backslash limits\_2^4\backslash left[x^2yy\text{'}+8x^2y-x^2(y\text{'})^2+(x-2)y^2\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(2)=0,\; \backslash quad\; y(4)=-8.			
		В ответе введите значение .

Ответ:

---

Упражнение 3:

---

Номер 1

Найдите все значения вещественного параметра $a$, при которых на допустимой экстремали достигается минимум
		\backslash int\backslash limits\_0^1\backslash left[y-2y\text{'}+a(y\text{'})^2\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(0)=0,\; \backslash quad\; y(1)=1.			
		

Ответ:

---

Номер 2

Найдите все значения вещественного параметра , при которых на допустимой экстремали достигается минимум
		\backslash int\backslash limits\_0^1\backslash left[x+x^2+y^2+a(y\text{'})^2\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(0)=0,\; \backslash quad\; y(1)=1.			
		

Ответ:

---

Номер 3

Решите вариационную задачу со свободным концом
		\backslash int\backslash limits\_0^2\backslash left[2xy\text{'}+(y\text{'})^2\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(0)=0.			
		В ответе укажите значение .

Ответ:

---

Упражнение 4:

---

Номер 1

Решите вариационную задачу со свободным концом
		\backslash int\backslash limits\_1^2\backslash left[x^2(y\text{'})^2+6y^2+x^3y\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(1)=11.			
		В ответе укажите значение 

Ответ:

---

Номер 2

Решите вариационную задачу со свободным концом
		\backslash int\backslash limits\_1^2\backslash left[x^2(y\text{'})^2+12y^2\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(1)=97.		
		В ответе укажите значение .

Ответ:

---

Номер 3

Решите вариационную задачу со свободным концом
		\backslash int\backslash limits\_1^3\backslash left[8yy\text{'}\; \backslash ln\{x\}-x(y\text{'})^2+6xy\text{'}\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(3)=15.			
		В ответе укажите значение .

Ответ:

---

Упражнение 5:

---

Номер 1

Решите вариационную задачу без ограничений
		\backslash int\backslash limits\_1^\{e\}\backslash left[x(y\text{'})^2+\backslash frac\{y^2\}\{x\}+\; \backslash frac\{2y\backslash ln\{x\}\}\{x\}\backslash right]dx.			
		В ответе укажите значение .

Ответ:

---

Номер 2

Найдите допустимые экстремали в задаче без ограничений
		\backslash int\backslash limits\_0^\{1\}\backslash left[2yy\text{'}+(y\text{'})^2\backslash right]dx.		
		В ответе укажите значение .

Ответ:

---

Номер 3

Исследовать функционал на экстремум:
		\backslash int\backslash limits\_0^1\backslash left[(y\_1\text{'})^2+(y\_2\text{'})^2\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y\_1(0)=y\_2(0)=0,\; \backslash quad\; y\_1(1)=y\_2(1)=1.			
		В ответе введите значение .

Ответ:

---

Упражнение 6:

---

Номер 1

Исследовать функционал на экстремум:
		\backslash int\backslash limits\_1^2\backslash left[12y\_1^2+y\_2^2+x^2(y\_1\text{'})^2+(y\_2\text{'})^2\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y\_1(1)=1,\; \backslash quad\; y\_2(1)=e,\; \backslash quad\; y\_1(2)=8,\; \backslash quad\; y\_2(2)=e^2.		
		В ответе введите значение .

Ответ:

---

Номер 2

Исследовать функционал на экстремум:
		\backslash int\backslash limits\_0^1\backslash left[12(y\text{'}\text{'})^2-xy\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(0)=y\text{'}(0)=0,\; \backslash quad\; y(2)=\backslash frac\{52\}\{5\},\; \backslash quad\; y\text{'}(2)=24.			
		В ответе введите значение производной .

Ответ:

---

Номер 3

Найти допустимые экстремали  вариационной задачи:
		\backslash int\backslash limits\_0^\{\backslash pi/2\}\backslash left[y^2-2(y\text{'})^2+(y\text{'}\text{'})^2\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(0)=y\text{'}(0)=0,\; \backslash quad\; y\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)=1,\; \backslash quad\; y\text{'}\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)=\backslash frac2\backslash pi.				
		В ответе введите значение .

Ответ:

---

Упражнение 7:

---

Номер 1

Решите изопериметрическую вариационную задачу
		\backslash int\backslash limits\_0^2(y\text{'})^2\backslash ,dx,\; \backslash quad\; y(0)=0,\; \backslash quad\; y(2)=-11,\; \backslash quad\; \backslash int\backslash limits\_0^2xy\backslash ,dx=-4.				
		В ответе укажите значение .

Ответ:

---

Номер 2

Решите изопериметрическую вариационную задачу
		\backslash int\backslash limits\_0^2\backslash left[2xy+(y\text{'})^2\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(0)=0,\; \backslash quad\; y(2)=6,\; \backslash quad\; \backslash int\backslash limits\_0^2\; xy\backslash ,dx=8.				
		В ответе укажите значение .

Ответ:

---

Номер 3

Решите изопериметрическую вариационную задачу
		\backslash int\backslash limits\_1^2\; x(y\text{'})^2\; \backslash ,\; dx,\; \backslash quad\; y(1)=0,\; \backslash quad\; y(2)=12,\; \backslash quad\; \backslash int\backslash limits\_1^2\; xy\backslash ,dx=9.			
		В ответе укажите значение .

Ответ:

---

Упражнение 8:

---

Номер 1

Решите изопериметрическую вариационную задачу
		\backslash int\backslash limits\_0^\backslash pi\backslash left[y^2+2y\backslash cos\{x\}+(y\text{'})^2\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(0)=2,\; \backslash quad\; y(\backslash pi)=-2,\; \backslash quad\; \backslash int\backslash limits\_0^\backslash pi\; y\backslash cos\{x\}\backslash ,dx=\backslash pi.		
		В ответе укажите значение .

Ответ:

---

Номер 2

Найдите допустимые экстремали  изопериметрической задачи
		\backslash int\backslash limits\_0^\{1\}\{\backslash left[2yy\text{'}+\backslash left(y\text{'}\backslash right)^2\backslash right]\}\; dx,\; \backslash quad\; \backslash int\backslash limits\_0^\{1\}\{\backslash left[4xy\text{'}+yy\text{'}\backslash right]\}\; dx\; =8,\; \backslash quad\; y(0)=y(1)=0.			
		В ответе введите значение 

Ответ:

---

Номер 3

Найдите минимум функционала
		\backslash int\backslash limits\_0^\{\backslash pi/2\}\{\backslash left(y\text{'}\backslash right)^2\}\; dx,			
		если
		\backslash int\backslash limits\_0^\{\backslash pi/2\}\{\backslash left(y\backslash right)^2\}\; dx\; =1,\; \backslash quad\; y(0)=y(\backslash pi)=1.				
		

Ответ:

---