Дифференциальные уравнения

Упражнение 1:

Номер 1

Определить тип особой точки линейной невырожденной системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&x+3y \\
  \dot{y} &=&5y-x
\end{array}
\right..$

Ответ:

(1) невырожденный узел

(2) вырожденный узел

(3) седло

(4) центр

(5) фокус

Номер 2

Определить тип особой точки линейной невырожденной системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&x-5y \\
  \dot{y} &=&2x-y
\end{array}
\right..$

Ответ:

(1) невырожденный узел

(2) вырожденный узел

(3) седло

(4) центр

(5) фокус

Номер 3

Определить тип особой точки линейной невырожденной системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&x-5y \\
  \dot{y} &=&5x-5y
\end{array}
\right..$

Ответ:

(1) невырожденный узел

(2) вырожденный узел

(3) седло

(4) центр

(5) фокус

Номер 4

Определить тип особой точки линейной невырожденной системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&x+y \\
  \dot{y} &=&3y-x
\end{array}
\right..$

Ответ:

(1) невырожденный узел

(2) вырожденный узел

(3) седло

(4) центр

(5) фокус

Упражнение 2:

Номер 1

Найдите все значения вещественного параметра , при которых особая точка системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&ax+ay \\
  \dot{y} &=&a^2y
\end{array}
\right.$ 		
		является седлом.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 2

Найдите значение вещественного параметра , при котором особая точка системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&ax+y \\
  \dot{y} &=&ay-(2a+1)x
\end{array}
\right.$ 		
		является центром.

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

(4) 3

Упражнение 3:

Номер 1

Найдите все значения вещественного параметра , при которых особая точка системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&ax+y \\
  \dot{y} &=&ay-(2a+1)x
\end{array}
\right.$ 			
		асимптотически устойчива.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 2

Найдите все значения вещественного параметра , при которых особая точка системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&ax+y \\
  \dot{y} &=&ay-(2a+1)x
\end{array}
\right.$ 		
		устойчива.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 3

Найдите все значения вещественного параметра , при которых особая точка системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&2ax+y \\
  \dot{y} &=&ay-2ax
\end{array}
\right.$ 			
		асимптотически устойчива.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Упражнение 4:

Номер 1

Найдите все значения вещественного параметра , при которых особая точка системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&2ax+y \\
  \dot{y} &=&ay-2ax
\end{array}
\right.$ 		
		устойчива.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 2

Найдите все значения вещественного параметра , при которых особая точка системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&x+(1-a)y \\
  \dot{y} &=&(1+a)x-3y
\end{array}
\right.$ 			
		асимптотически устойчива.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 3

Найдите все значения вещественного параметра , при которых особая точка системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&x+(1-a)y \\
  \dot{y} &=&(1+a)x-3y
\end{array}
\right.$ 			
		устойчива.

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Упражнение 5:

Номер 1

У системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&e^{2x+2y}+x \\
  \dot{y} &=&\arccos{(x-x^3)}-\pi/2
\end{array}
\right.$ 		
		найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Номер 2

У системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&\ln{(1-y)} \\
  \dot{y} &=&\sqrt[3]{x-4y}+x-2
\end{array}
\right.$ 		
		найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Номер 3

У системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&3xy \\
  \dot{y} &=&e^{-4xy}-x
\end{array}
\right.$ 		
		найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Упражнение 6:

Номер 1

У системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&5x-8y+3 \\
  \dot{y} &=&\ln{\frac{x}{y}}
\end{array}
\right.$ 			
		найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Номер 2

У системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&\ln{(x^3-6e^y-1)}-y \\
  \dot{y} &=&4x-4e^y-4
\end{array}
\right.$ 			
		найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Номер 3

У системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&\pi+\arctg{(x^3-8-\tg{y})}-y \\
  \dot{y} &=&2x+12\tg{y}-4
\end{array}
\right.$ 			
		найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Упражнение 7:

Номер 1

Для уравнения
		 $\ddot{x}+x^3=e^{-4\dot{x}/x}$ 			
		найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Номер 2

Для уравнения
		 $\ddot{x}+3\dot{x}=\ln{(\dot{x}+x^3)}$ 		
		найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Номер 3

Для уравнения
		 $\ddot{x}-e^{2\dot{x}}-x^3=0$ 		
		найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Упражнение 8:

Номер 1

Для уравнения
		 $\ddot{x}+\sqrt[5]{5x+5\dot{x}}+\cos{\dot{x}}=0$ 			
		найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Номер 2

Для уравнения
		 $\ddot{x}=(3\dot{x}-2x)e^{{\dot{x}}^2}$ 			
		найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Номер 3

Для уравнения
		 $\ddot{x}+\ln{(1-2\dot{x})}+2\arctg{x}=0$ 			
		найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Дифференциальные уравнения - тест 21