Дифференциальные уравнения

Упражнение 1:

Номер 1

Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&\displaystyle{\frac{x}{(x+y)^2}}  \\
  \dot{y} &=&\displaystyle{\frac{y}{(x+y)^2}}
\end{array}
\right.,$ 
		удовлетворяющее начальным условиям  и . В ответе укажите значение .

Ответ:

(1) 2

(2) 3

(3) 4

(4) 5

Номер 2

Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&x^2y  \\
  \dot{y} &=&xy^2
\end{array}
\right.,$ 		
		удовлетворяющее начальным условиям  и . В ответе укажите значение .

Ответ:

(1) 1

(2) 6

(3) 12

(4) 25

Номер 3

Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&\displaystyle{\frac{x^2}{y}}  \\
  \dot{y} &=&\displaystyle{x}
\end{array}
\right.,$ 			
		удовлетворяющее начальным условиям  и . В ответе укажите значение .

Ответ:

(1) 3

(2) 6

(3) 18

(4) 24

Номер 4

Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&\displaystyle{-\frac{x}{y}}  \\
  \dot{y} &=&\displaystyle{\frac{y}{x}}
\end{array}
\right.,$ 		
		удовлетворяющее начальным условиям  и . В ответе укажите значение
		 $x(+\infty)=\lim_{t \to + \infty} x(t).$

Ответ:

(1) 0

(2) 6

(3) 10

(4) 15

Упражнение 2:

Номер 1

У системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&-y - xy^2  \\
  \dot{y} &=&x+x^2y
\end{array}
\right.$ 			
		с помощью первого интеграла определите тип (характер) нулевого положения равновесия.

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Номер 2

У системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&x^3+xy^2  \\
  \dot{y} &=&-x^2y-y^3
\end{array}
\right.$ 			
		с помощью первого интеграла определите тип (характер) нулевого положения равновесия.

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Номер 3

У системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&x^2y+y^3  \\
  \dot{y} &=&-x^3-xy^2
\end{array}
\right.$ 			
		с помощью первого интеграла определите тип (характер) нулевого положения равновесия.

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Номер 4

У системы
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&x^4y+y^5  \\
  \dot{y} &=&x^5+xy^4
\end{array}
\right.$ 			
		с помощью первого интеграла определите тип (характер) нулевого положения равновесия.

Ответ:

(1) неустойчивый узел

(2) устойчивый узел

(3) седло

(4) неустойчивый фокус

(5) устойчивый фокус

(6) центр

Упражнение 3:

Номер 1

Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&xy-x^2  \\
  \dot{y} &=&y^2\\
  \dot{z} &=&2yz+z^2
\end{array}
\right.,$ 		
		удовлетворяющее начальным условиям ,  и . В ответе укажите значение  при .

Ответ:

(1) 5

(2) 10

(3) 15

(4) 20

Номер 2

Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&-x^2  \\
  \dot{y} &=&xy-2z^2\\
  \dot{z} &=&xz
\end{array}
\right.,$ 		
		удовлетворяющее начальным условиям ,  и . В ответе укажите значение .

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 3

(4) 5

Упражнение 4:

Номер 1

Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений
		 $\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&xy  \\
  \dot{y} &=&y\\
  \dot{z} &=&xe^{-y}+z
\end{array}
\right.,$ 		
		удовлетворяющее начальным условиям ,  и . В ответе укажите значение .

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 8

Номер 2

Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений
		 $\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}=\frac{dz}{z}.$ 		
		В ответе укажите значение координаты  точки пересечения плоскости  и решения, проходящего через точку .

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 3

(4) 4

Упражнение 5:

Номер 1

Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений
		 $\frac{dx}{y-x}=\frac{dy}{x+y+z}=\frac{dz}{x-y}.$ 		
		В ответе укажите абсциссу точки пересечения плоскости  и решения, проходящего через точку .

Ответ:

(1) 1

(2) 3

(3) 5

(4) 7

Номер 2

Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений
		 $\frac{dx}{x(y+z)}=\frac{dy}{z(z-y)}=\frac{dz}{y(y-z)}.$ 			
		В ответе укажите абсциссу точки пересечения плоскости  и решения, проходящего через точку .

Ответ:

(1) 1

(2) 3

(3) 5

(4) 7

Номер 3

Найдите функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению
		 $x\frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial u}{\partial y}=0$ 		
		и начальному условию
		 $u=2x \quad \textrm{при} \quad y=1.$ 			
		В ответе укажите значение .

Ответ:

(1) 3

(2) 4

(3) 12

(4) 24

Упражнение 6:

Номер 1

Найдите функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению
		 $y\frac{\partial u}{\partial x}-x\frac{\partial u}{\partial y}=0$ 		
		и начальному условию
		 $u=|x| \quad \textrm{при} \quad y=1.$ 			
		В ответе укажите значение .

Ответ:

(1) 10

(2) 15

(3) 18

(4) 20

Номер 2

Найдите функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению
		 $\frac{\partial u}{\partial x}+(2e^x-y)\frac{\partial u}{\partial y}=0$ 			
		и начальному условию
		 $u=y \quad \textrm{при} \quad x=0.$ 			
		В ответе укажите значение .

Ответ:

(1) 2

(2) 5

(3) 7

(4) 9

Номер 3

Найдите функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению
		 $2 \sqrt{x} \frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial u}{\partial y}=0$ 			
		и начальному условию
		 $u=y^2 \quad \textrm{при} \quad x=1.$ 			
		В ответе укажите значение  при  и .

Ответ:

(1) 15

(2) 17

(3) 19

(4) 21

Упражнение 7:

Номер 1

Найдите функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению.
		 $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+2\frac{\partial u}{\partial z}=0$ 		
		и начальному условию
		 $u=yz \quad \textrm{при} \quad x=1.$ 		
		В ответе укажите значение .

Ответ:

(1) 123

(2) 132

(3) 213

(4) 231

Номер 2

Найдите функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению
		 $x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+ (x-3y)z^2\frac{\partial u}{\partial z}=0$ 		
		и начальному условию
		 $u=\frac{x^2}{y} \quad \textrm{при} \quad 3yz=1.$ 		
		В ответе укажите значение .

Ответ:

(1) -1

(2) 0

(3) 1

(4) 2

Номер 3

Найдите функцию $u$, удовлетворяющую дифференциальному уравнению
		 $xy^3\frac{\partial u}{\partial x}+x^2z^2\frac{\partial u}{\partial y}+y^3z\frac{\partial u}{\partial z}=0$ 		
		и начальному условию
		 $u={y}^4 \quad \textrm{при} \quad xz^3=1.$ 			
		В ответе укажите значение .

Ответ:

(1) 2

(2) 5

(3) 10

(4) 12

Упражнение 8:

Номер 1

Найдите функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению
		 $x^2\frac{\partial u}{\partial x}+(2z-e^y)\frac{\partial u}{\partial y}+z^2\frac{\partial u}{\partial z}=0$ 		
		и начальному условию
		 $u=\frac{(x-z)^2}{x^2} \quad \textrm{при} \quad y=\ln{x}.$ 		
		В ответе укажите значение  при ,  и .

Ответ:

(1) 68

(2) 69

(3) 96

(4) 86

Номер 2

Найдите функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению
		 $2xy\frac{\partial u}{\partial x}+(1-2xz-y^2)\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{y}{x}\frac{\partial u}{\partial z}=0$ 		
		и начальному условию
		 $u=\frac12-y^2 \quad \textrm{при} \quad xz+y^2=1.$ 			
		В ответе укажите значение  при ,  и .

Ответ:

(1) 42

(2) 43

(3) 44

(4) 45

Дифференциальные уравнения - тест 23