игра брюс 2048
Главная / Математика / Дифференциальные уравнения / Тест 25

Дифференциальные уравнения - тест 25

Упражнение 1:
Номер 1 
Найти матрицу math линейной однородной системы
		
\left(
\begin{array}{c}
  \dot{x}  \\
  \dot{y}
\end{array}
\right)
=
A(t)
\left(
\begin{array}{c}
  x  \\
  y
\end{array}
\right),
		
		зная её фундаментальную матрицу
		
\Phi(t)=\left(
\begin{array}{cc}
  e^t & 0  \\
  te^t & e^t
\end{array}
\right).
				
		В ответе укажите значение суммы всех элементов найденной матрицы при math.

Ответ:

 (1) 2 

 (2) 3 

 (3) 5 

 (4) 10 

Номер 2 
Найти матрицу math линейной однородной системы
		
\left(
\begin{array}{c}
  \dot{x}  \\
  \dot{y}
\end{array}
\right)
=
A(t)
\left(
\begin{array}{c}
  x  \\
  y
\end{array}
\right),
					
		зная её фундаментальную матрицу
		
\Phi(t)=\left(
\begin{array}{cc}
  e^t & 0  \\
  te^t & e^{2t}
\end{array}
\right).
				
		В ответе укажите значение суммы всех элементов найденной матрицы при math

Ответ:

 (1) -10 

 (2) -6 

 (3) 6 

 (4) 10 

Номер 3 
Найдите фундаментальную матрицу math системы
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&x+y  \\
  \dot{y} &=&x+y
\end{array}
\right.,
				
		если math (math - единичная матрица). В ответе укажите сумму собственных чисел матрицы math.

Ответ:

 (1) 0 

 (2) 5 

 (3) 10 

 (4) 15 

Номер 4 
Найдите фундаментальную матрицу math системы
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&3x-y  \\
  \dot{y} &=&9x-3y
\end{array}
\right.,
				
		если math (math - единичная матрица). В ответе укажите сумму всех элементов матрицы math.

Ответ:

 (1) 5 

 (2) 10 

 (3) 15 

 (4) 20 

Упражнение 2:
Номер 1 
Вычислите значение при math определителя Вронского двух вектор-функций
		
\left(
\begin{array}{c}
  \sh{t} \\
  \ch{t}
\end{array}
\right),
\left(
\begin{array}{c}
  \ch{t} \\
  \sh{t}
\end{array}
\right).
				
		Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?

Ответ:

 (1) -1, да 

 (2) -1, нет 

 (3) 1, да 

 (4) 1, нет 

Номер 2 
Вычислите значение при math определителя Вронского двух вектор-функций
		
\left(
\begin{array}{c}
  e^t\cos{t} \\
  e^t\sin{t}
\end{array}
\right),
\left(
\begin{array}{c}
  e^t\sin{t} \\
  e^t\cos{t}
\end{array}
\right).
					
		Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?

Ответ:

 (1) 2, да 

 (2) 2, нет 

 (3) 4, да 

 (4) 4, нет 

Номер 3 
Вычислите значение при $t=10$ определителя Вронского двух вектор-функций
		
\left(
\begin{array}{c}
  1 \\
  -t
\end{array}
\right),
\left(
\begin{array}{c}
  -1 \\
  t
\end{array}
\right).
					
		Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?

Ответ:

 (1) 1, да 

 (2) 1, нет 

 (3) 0, да 

 (4) 0, нет 

Упражнение 3:
Номер 1 
Вычислите значение при math определителя Вронского двух вектор-функций
		
\left(
\begin{array}{c}
  1 \\
  -1
\end{array}
\right),
\left(
\begin{array}{c}
  -t \\
  t
\end{array}
\right).
				
		Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?

Ответ:

 (1) 1, да 

 (2) 1, нет 

 (3) 0, да 

 (4) 0, нет 

Номер 2 
Вычислите значение при math определителя Вронского трёх вектор-функций
		
\left(
\begin{array}{c}
  e^t \\
  e^t \\
  e^t
\end{array}
\right),
\left(
\begin{array}{c}
  \sh{t} \\
  \ch{t} \\
  \sh{t}
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{c}
  \ch{t} \\
  \sh{t} \\
  \ch{t}
\end{array}
\right).
					
		Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?

Ответ:

 (1) 1, да 

 (2) 1, нет 

 (3) 0, да 

 (4) 0, нет 

Номер 3 
Вычислите значение при math определителя Вронского трёх вектор-функций
		
\left(
\begin{array}{c}
  1 \\
  1 \\
  1
\end{array}
\right),
\left(
\begin{array}{c}
  \sh{t} \\
  \ch{t} \\
  \sh{t}
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{c}
  \ch{t} \\
  \sh{t} \\
  \ch{t}
\end{array}
\right).
				
		Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?

Ответ:

 (1) 1, да 

 (2) 1, нет 

 (3) 0, да 

 (4) 0, нет 

Упражнение 4:
Номер 1 
Найти значение при math определителя фундаментальной матрицы системы
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&(1+t)^{-1}x+(1+t^2)y  \\
  \dot{y} &=&-(1+t^2)x+(1+t)^{-1}y
\end{array}
\right.,
				
		если его значение при math равно math.

Ответ:

 (1) 2 

 (2) 3 

 (3) 6 

 (4) 9 

Номер 2 
Два решения math и math системы
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&x\cos{t}-y\sin{t} \\
  \dot{y} &=&x\sin{t}+y\cos{t}
\end{array}
\right.,
				
		удовлетворяют начальным условиям:
		
\overrightarrow{\varphi}(0)=
\left(
\begin{array}{c}
  1 \\
  0
\end{array}
\right),
\quad \overrightarrow{\psi}(0)=
\left(
\begin{array}{c}
  0 \\
  1
\end{array}
\right).
				
		Найдите их определитель Вронского math. В ответе укажите значение math.

Ответ:

 (1) 0 

 (2) 2 

 (3) 4 

 (4) 6 

Номер 3 
Два решения math и math  системы
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&x\ln{t}-ye^{t} \\
  \dot{y} &=&x\arctg{t}+y
\end{array}
\right.,
				
		удовлетворяют начальным условиям:
		
\overrightarrow{\varphi}(1)=
\left(
\begin{array}{c}
  1 \\
  2
\end{array}
\right),
\quad \overrightarrow{\psi}(1)=
\left(
\begin{array}{c}
  3 \\
  4
\end{array}
\right).
				
		Найдите значение их определителя Вронского при math.

Ответ:

 (1) -64 

 (2) -54 

 (3) -44 

 (4) -34 

Упражнение 5:
Номер 1 
Найти значение при math определителя фундаментальной матрицы системы
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&-(1+t^2)x+(1+t)^{-1}y \\
  \dot{y} &=&(1+t)^{-1}x+(1+t^2)y
\end{array}
\right.,
					
		если его значение при math равно math.

Ответ:

 (1) 0 

 (2) 1 

 (3) 2 

 (4) 3 

Номер 2 
Найти значение при math определителя фундаментальной матрицы системы
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&x\tg{t}+y\th{t} \\
  \dot{y} &=&x\th{t}+y\tg{t}
\end{array}
\right.,
				
		если его значение при math равно math.

Ответ:

 (1) 1 

 (2) 2 

 (3) 3 

 (4) 5 

Упражнение 6:
Номер 1 
Система
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&\displaystyle{\frac{1}{1+t^2}\left(tx+y\right)} \\
    \dot{y} &=&\displaystyle{\frac{1}{1+t^2}\left(-x+ty\right)}
\end{array}
\right.,
				
		имеет решение
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  x &=&t \\
  y &=&1
\end{array}
\right..
				
		Найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.

Ответ:

 (1) -12 

 (2) -9 

 (3) -6 

 (4) -3 

Номер 2 
Система
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&(1-2t)x-2y \\
    \dot{y} &=&(2t^2-2t-1)x+(2t-1)y
\end{array}
\right.,
				
		имеет решение
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  x &=&e^{t} \\
  y &=&-te^t
\end{array}
\right..
				
		Найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.

Ответ:

 (1) 0 

 (2) 1 

 (3) 2 

 (4) 4 

Номер 3 
Система
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&\displaystyle{x\cos^2t+y(\sin{t}\cos{t}-1)} \\
    \dot{y} &=&\displaystyle{x(\sin{t}\cos{t}+1)+y\sin^2t}
\end{array}
\right.,
				
		имеет решение
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  x &=&-\sin{t} \\
  y &=&\cos{t}
\end{array}
\right..
					
		Найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math при math.

Ответ:

 (1) 1 

 (2) 2 

 (3) 5 

 (4) 7 

Упражнение 7:
Номер 1 
Решите неоднородную систему
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&-4x-2y+\displaystyle{\frac{2}{e^t-1}}  \\
  \dot{y} &=&6x+3y-\displaystyle{\frac{3}{e^t-1}}
\end{array}
\right.
				
		методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.

Ответ:

 (1) math 

 (2) math 

 (3) math 

 (4) math 

 (5) math 

 (6) math 

Номер 2 
Решите неоднородную систему
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&y+\tg^2{t}-1  \\
  \dot{y} &=&-x+\tg{t}
\end{array}
\right.
					
		методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.

Ответ:

 (1) 0 

 (2) 1 

 (3) 2 

 (4) 3 

Номер 3 
Решите неоднородную систему
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&4x-2y  \\
  \dot{y} &=&8x-4y+5\sqrt{t}
\end{array}
\right.
				
		методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.

Ответ:

 (1) -4 

 (2) -2 

 (3) 4 

 (4) 5 

Упражнение 8:
Номер 1 
Решите неоднородную систему
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&3x-2y  \\
  \dot{y} &=&2x-y+15e^t\sqrt{t}
\end{array}
\right.
					
		методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.

Ответ:

 (1) -8 

 (2) -2 

 (3) 3 

 (4) 15 

Номер 2 
Решите неоднородную систему
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&2x+y-\ln{t}  \\
  \dot{y} &=&-4x-2y+\ln{t}
\end{array}
\right.
				
		методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math. В ответе укажите значение math.

Ответ:

 (1) math 

 (2) math 

 (3) math 

 (4) math 

 (5) math 

 (6) math 

Номер 3 
Решите неоднородную систему
		
\left\{
\begin{array}{ccl}
  \dot{x} &=&-2x+y+4t\ln{t}  \\
  \dot{y} &=&-4x+2y+8t\ln{t}
\end{array}
\right.
				
		методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям math, math. В ответе укажите значение math.

Ответ:

 (1) -12 

 (2) -4 

 (3) -3 

 (4) -2 



Главная / Математика / Дифференциальные уравнения / Тест 25