Дифференциальные уравнения

Упражнение 1:

Номер 1

Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций  и . Являются эти функции линейно зависимыми?

Ответ:

(1) -1 да

(2) -1 нет

(3) 1 да

(4) 1 нет

(5) 0 да

(6) 0 нет

Номер 2

Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций ,  и . Являются эти функции линейно зависимыми?

Ответ:

(1) -1 да

(2) -1 нет

(3) 1 да

(4) 1 нет

(5) 0 да

(6) 0 нет

Номер 3

Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций  и . Являются эти функции линейно зависимыми?

Ответ:

(1) -1 да

(2) -1 нет

(3) 1 да

(4) 1 нет

(5) 0 да

(6) 0 нет

Упражнение 2:

Номер 1

Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций ,  и . Являются эти функции линейно зависимыми?

Ответ:

(1) -1 да

(2) -1 нет

(3) 1 да

(4) 1 нет

(5) 0 да

(6) 0 нет

Номер 2

Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций  и . Являются эти функции линейно зависимыми?

Ответ:

(1) -1 да

(2) -1 нет

(3) 1 да

(4) 1 нет

(5) 0 да

(6) 0 нет

Номер 3

Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций ,  и . Являются эти функции линейно зависимыми?

Ответ:

(1) -1 да

(2) -1 нет

(3) 1 да

(4) 1 нет

(5) 0 да

(6) 0 нет

Упражнение 3:

Номер 1

Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение вида
		 $y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0$ 
		наименьшего порядка , которое имеет следующие частные решения:
		 $1, \quad \cos x.$ 		
		В ответе укажите .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 2

Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение вида
		 $y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0$ 		
		наименьшего порядка , которое имеет следующие частные решения:
		 $3x, \quad x-2, \quad e^x+1.$ 			
		В ответе укажите .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 3

Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение вида
		 $y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0$ 		
		наименьшего порядка , которое имеет следующие частные решения:
		 $\sh x, \quad \ch x, \quad e^x.$ 		
		В ответе укажите .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Упражнение 4:

Номер 1

Известны два частных решения линейного неоднородного уравнения первого порядка:  и . Найдите решение с начальным условием .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 2

Известны три частных решения линейного неоднородного уравнения второго порядка: ,  и . Найдите решение с начальным условием , .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 3

Известны три частных решения линейного неоднородного уравнения второго порядка: ,  и . Найдите решение с начальным условием , .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Упражнение 5:

Номер 1

С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши:
		 $(2x+1)y''+(4x-2)y'-8y=4(2x+1)^3, \quad y(0)=-1, \quad y'(0)=0.$ 
		В ответе укажите значение .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 2

С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши:
		 $2xy''+(4x+1)y'+(2x+1)y=e^{-x}, \quad y(1)=y'(1)=0.$ 		
		В ответе укажите значение .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 3

С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши:
		 $xy''+(2-2x)y'+(x-2)y=2e^{2x}, \quad y(1)=e^2, \quad y'(1)=e^2+e$ 			
		В ответе укажите значение .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Упражнение 6:

Номер 1

С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши:
		 $x(x+1)^2y''+2(x+1)y'-2y=(x+1)^3e^x, \quad y(1)=2e, \quad y'(1)=2e^2+e.$ 		
		В ответе укажите значение .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 2

С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши:
		 $(2x+3)y''-2y'-\frac{6}{x^2}y=3(2x+3)^2, \quad y(1)=y'(1)=0.$ 			
		В ответе укажите значение .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 3

С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши:
		 $x^2y''-x(x+3)y'+(2x+3)y=x^4, \quad y(1)=1+e, \quad y'(1)=2e.$ 			
		В ответе укажите значение .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Упражнение 7:

Номер 1

Решите неоднородное уравнение
		 $y''+y=\frac{4}{\cos^2{x}}$ 			
		методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям , . В ответе укажите значение .

Ответ:

(1) -4

(2) 4

(3) 6

(4) 8

Номер 2

Решите неоднородное уравнение
		 $y''+y=-\ctg^2{x}$ 		
		методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям , . В ответе укажите значение .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 3

Решите неоднородное уравнение
		 $\displaystyle{y''+3y'=\frac{3x-1}{x^2}}$ 			
		методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям , . В ответе укажите значение .

Ответ:

(1) 3

(2) 5

(3) 6

(4) 8

Упражнение 8:

Номер 1

Решите неоднородное уравнение
		 $\displaystyle{y''-y'=-\frac{x+1}{x^2}}$ 			
		методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям . В ответе укажите значение .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 2

Решите неоднородное уравнение
		 $y''-4y=(15-16x^2)\sqrt{x}$ 			
		методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям . В ответе укажите значение .

Ответ:

(1) 32

(2) 64

(3) 128

(4) 256

Номер 3

Решите неоднородное уравнение
		 $y''+2y=2-4x^2\sin{x^2}$ 		
		методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям . В ответе укажите значение .

Ответ:

(1) 2

(2) 4

(3) 8

(4) 16

Упражнение 9:

Номер 1

Какое наименьшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения  на интервале длины ?

Ответ:

(1) 7

(2) 14

(3) 20

(4) 25

Номер 2

Какое наибольшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения  на отрезке длины ?

Ответ:

(1) 20

(2) 25

(3) 40

(4) 50

Номер 3

Какое наименьшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения  на интервале длины ?

Ответ:

(1) 0

(2) 5

(3) 10

(4) 15

Упражнение 10:

Номер 1

Какое наибольшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения  на отрезке длины ?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

(4) 3

Номер 2

Какое наименьшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения  на отрезке длины 100?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

(4) 3

Номер 3

Какое наименьшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения  на отрезке длины 100?

Ответ:

(1) 4

(2) 7

(3) 9

(4) 63

Упражнение 11:

Номер 1

Какое наибольшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения  на отрезке длины 100?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

(4) 3

Номер 2

Какое наибольшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения
		 $\ddot{x}-2\dot{x}+\frac{10t^2+1}{t^2+10}x=0$ 
		на отрезке длины 100?

Ответ:

(1) 24

(2) 48

(3) 96

(4) 192

Номер 3

Вещественная функция  определена, непрерывна и положительна на всей числовой прямой. Какое наименьшее число нулей может иметь на всей числовой прямой нетривиальное решение уравнения ?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

(4) 3

Упражнение 12:

Номер 1

Вещественная функция  определена, непрерывна и положительна на всей числовой прямой. Какое наибольшее число нулей может иметь на всей числовой прямой нетривиальное решение уравнения ?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

(4) 3

Номер 2

Вещественная функция  определена, непрерывна и положительна на всей числовой прямой. Какое наименьшее число нулей может иметь на всей числовой прямой нетривиальное решение уравнения ?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

(4) 3

Номер 3

Напишите уравнение вида , которому удовлетворяет функция  и найдите его решение с начальными условиями , . В ответе укажите значение .

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Дифференциальные уравнения - тест 26