Геометрические методы в классической теории поля

Упражнение 1:

Номер 1

Пусть плоскость покрыта одной картой. Какова может
быть форма этой карты?

Ответ:

(1) круг

(2) внешность круга

(3) прямая

Номер 2

 Пусть задано многообразие класса
гладкости C2. Скаляры какого класса
гладкости на нем НЕвозможны?

Ответ:

(1) C1

(2) C2

(3) C3

Номер 3

Является ли окружность хаусдорфовым многообразием?

Ответ:

(1) да

(2) нет

(3) нельзя определить

Упражнение 2:

Номер 1

Каково минимальное число карт необходимо, чтобы составить атлас окружности?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

Номер 2

Каково минимальное число карт необходимо, чтобы составить атлас сферы?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

Номер 3

Широта и долгота задают координаты
на поверхности сферы. Сколько в этих
координатах будет особых точек?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

Упражнение 3:

Номер 1

Заданы координаты (x,y,z).
Вектор v с компонентами (3,4,3)
действует на скаляр f=x+y-2z.
Чему равно выражение v[f]?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

Номер 2

Заданы координаты (x,y,z).
Ковектор u с компонентами (3,2,1)
действует на вектор v с
компонетами (1,2,3).
Чему равно выражение <u,v>?

Ответ:

(1) 12

(2) 10

(3) 6

Номер 3

Заданы координаты (x,y,z).
Какая интерпретация НЕдопустима
для выражения dx+2dy-3dz?

Ответ:

(1) скаляр

(2) вектор

(3) ковектор

Упражнение 4:

Номер 1

Заданы координаты (x,y,z).
dx, dy, dz НЕЛЬЗЯ рассматривать
как

Ответ:

(1) компонеты вектора

(2) базисные ковекторы

(3) производные по направлению

Номер 2

 Заданы координаты (x,y,z).
Пусть произведение dx dy 
задает тензор. Сколько индексов
несут компоненты этого тензора?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

Номер 3

Заданы координаты (x,y,z).
Пусть произведение dx dy 
задает тензор. Индексы, которые
несут компоненты этого тегнзора
вернхние или нижние?

Ответ:

(1) верхние

(2) нижние

Упражнение 5:

Номер 1

Тензор имел 3 индекса. К нему один раз применили операцию свертки. Сколько индексов осталось?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

Номер 2

Сколько индексов имеет тензорное произведение одного ковектора и матрицы (тензора) квадратичной формы?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4)

Номер 3

Что мы можем сделать с парой из одного вектора и одного ковектора?

Ответ:

(1) сложить

(2) свернуть

(3) скалярно умножить

(4)

Упражнение 6:

Номер 1

Сколько индексов несет производная Ли от скаляра?

Ответ:

(1) 0

(2) 1

(3) 2

(4)

Номер 2

Сколько индексов несет производная Ли от матрицы (тензора) квадратичной формы?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4)

Номер 3

 Вдоль какого поля берется производная Ли?

Ответ:

(1) Скалярного

(2) Ковекторного

(3) Векторного

(4)

Упражнение 7:

Номер 1

Если расписать производную Ли от тензора с 2 индексами, 
сколько членов будет в формуле?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4)

Номер 2

Какая из операций НЕ задает скобку Ли?

Ответ:

(1) скалярное произведение

(2) векторное произведение

(3) коммутатор

(4)

Номер 3

Сколько существует линейно независимых векторов Киллинга для сферы?

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4)

Упражнение 8:

Номер 1

Если задано пространство-время сферически симметричное и однородное по времени, то сколько в нем векторов Киллинга?

Ответ:

(1) 2

(2) 4

(3) 6

(4)

Номер 2

Пусть в евклидовом простанстве заданы декартовы координаты (x,y,z) и векторное поле V с компонетами (1,z,-y).
Какими кривыми описываются траектории точек под действием преобразования exp(tV)?

Ответ:

(1) прямые

(2) окружности

(3) винтовые линии

(4)

Номер 3

Пусть в евклидовом простанстве заданы декартовы координаты (x,y,z) и векторное поле V с компонетами (1,z,-y).
Какая ось координат является траекторией точек под действие преобразования exp(tV)?

Ответ:

(1) x

(2) y

(3) z

Геометрические методы в классической теории поля - тест 4