Основы математической статистики

Упражнение 1:

Номер 1

Рассматривается модель . Какие из следующих статистик являются центральными статистиками для ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Рассматривается модель . Какие из следующих статистик являются центральными статистиками для ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Рассматривается модель независимых случайных величин . Какие из следующих статистик являются центральными статистиками для ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 2:

Номер 1

По выборке  построены доверительные интервалы уровня надежности  для параметра .Обозначим - выборочную дисперсию, а -квантиль уровня  распределения Стьюдента с  степенями свободы. Какой из представленных интервалов является центральным доверительным интервалом параметра ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

По выборке  с известной дисперсией  построены доверительные интервалы уровня надежности  для параметра . Обозначим - квантиль стандартного гауссовского распределения уровня . Какой из представленных интервалов является центральным доверительным интервалом параметра ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

По выборке  с известным математическим ожиданием  построены доверительные интервалы уровня надежности  для параметра .Обозначим - квантиль уровня  распределения хи-квадрат с  степенями свободы. Какой из представленных интервалов является центральным доверительным интервалом параметра ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 3:

Номер 1

По выборке из гауссовского распределения с известной дисперсией строят доверительный интервал для неизвестного математического ожидания заданного уровня надежности. Как изменится длина доверительного интервала, если объем выборки увеличить в 4 раза?

Ответ:

(1) увеличится в 4 раза

(2) уменьшится в 4 раза

(3) увеличится в 2 раза

(4) уменьшится в 2 раза

Номер 2

По выборке из гауссовского распределения с известной дисперсией построены доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания уровня надежности 0.95 и уровня надежности 0.99. Как соотносятся длины построенных интервалов?

Ответ:

(1) эти интервалы имеют одинаковую длину

(2) Длина первого интервала больше, чем длина второго

(3) Длина второго интервала больше, чем длина первого

Номер 3

Имеются две гауссовские выборки одинакового объема. Известно, что дисперсия первой выборки равна 1, а дисперсия второй выборки равна 4. По каждой из выборок построен доверительный интервал уровня надежности 0.95. Как соотносятся длины постоенных интервалов?

Ответ:

(1) второй интервал длиннее в 4 раза

(2) второй интервал длиннее в 2 раза

(3) первый интервал длиннее в 4 раза

(4) первый интервал длиннее в 2 раза

(5) интервалы имеют одинаковую длину

Упражнение 4:

Номер 1

Рассматриваются две независимые гауссовские выборки  и . Параметры  неизвестны. Пусть -выборочная дисперсия первой выборки, -выборочная дисперсия второй выборки. Какое распределение имеет статистика  в случае, когда дисперсии первой и второй выборок одинаковы?

Ответ:

(1) cтандартное гауссовское

(2) распределение Фишера math

(3) распределение Фишера math

(4) распределение хи-квадрат math

Номер 2

Рассматриваются две независимые гауссовские выборки  и . Параметры  неизвестны, - известно. Какое распределение имеет статистика  ?

Ответ:

(1) распределение Стьюдента math

(2) cтандартное гауссовское math

(3) распределение хи-квадрат math

Номер 3

Рассматриваются две независимые гауссовские выборки  и . Параметры  и неизвестны. Обозначим  .  Какое распределение имеет статистика  ?

Ответ:

(1) распределение Стьюдента math

(2) cтандартное гауссовское math

(3) распределение хи-квадрат math

Упражнение 5:

Номер 1

Выборка  , а выборка  имеет равномерное распределение . В каком случае эти выборки будут являться однородными?

Ответ:

(1) если math

(2) если math

(3) если math

(4) эти выборки являются однородными

(5) эти выборки неоднородны при любых условиях на параметры их распределений

Номер 2

Выборка  имеет равномерное распределение , а выборка  имеет равномерное распределение . В каком случае эти выборки будут являться однородными?

Ответ:

(1) если math

(2) если math

и

(3) если math

и

(4) если math

(5) если math

(6) эти выборки являются однородными

(7) эти выборки неоднородны при любых условиях на параметры их распределений

Номер 3

Имеются две гауссовские выборки  и . В каком случае эти выборки будут являться однородными?

Ответ:

(1) если math

(2) если math

(3) если math

(4) если math

и

(5) эти выборки являются однородными

(6) эти выборки неоднородны при любых условиях на параметры их распределений

Упражнение 6:

Номер 1

Дана следующая реализация выборки: 5; 1; 4; 7; 6; 4; 10. Какой ранг имеет третье наблюдение этой выборки?

Ответ:

(1) 2

(2) 3

(3) 2,5

Номер 2

Дана следующая реализация выборки: 6; 2; 8;10;8; 6; 4; 8; 9. Какой ранг имеет третье наблюдение этой выборки?

Ответ:

(1) 3

(2) 6

(3) 5

(4) 7

Номер 3

Дана следующая реализация выборки: -2; 0;1;3; -1;-1; 1; 2; 0.5; 1.5; 1;-3; 1. Какой ранг имеет третье наблюдение этой выборки?

Ответ:

(1) 3

(2) 8.5

(3) 7

(4) 8

(5) 9

(6) 10

Основы математической статистики - тест 5