Введение в геометрическое программирование

Упражнение 1:

Номер 1

Вычислите степень трудности задачи ГП }
 при ограничении

 $\bf{g_{1}(x) = 0.5 x_{1}x_{3} + 0. 25 x_{1}x_{2}\leq 1,\ x_j>0,\ j=1, 2,
3.}$

Ответ:

(1) -2

(2) 2

(3) 0

(4) 1

Номер 2

Вычислите степень трудности задачи ГП 
 при ограничении

Ответ:

(1) 1

(2) -3

(3) 3

(4) 0

Номер 3

Вычислите степень трудности задачи ГП 
 при ограничении

Ответ:

(1) 1

(2) -1

(3) 0

(4) 2

Номер 4

Вычислите степень трудности задачи ГП 
 при ограничениях

Ответ:

(1) 2

(2) -1

(3) 0

(4) 3

Номер 5

Вычислите степень трудности задачи ГП 
 при ограничениях

Ответ:

(1) 2

(2) -1

(3) 0

(4) 3

Упражнение 2:

Номер 1

Запишите индексное множество  для задачи ГП 
 при ограничении 
 $\bf{g_{1}(x) = 0. 5 x_{1}x_{3} + 0. 25 x_{1}x_{2}\leq 1,\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.}$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Запишите индексное множество  для задачи ГП 
 при ограничениях 

 $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-1}x_{2} + x_{3}^{-4} \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 3

Запишите индексное множество  для задачи ГП 
 при ограничениях 

 $\bf{g_{2}(x) = x_{2}x_{3}^{-2} \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 4

Запишите индексное множество  для задачи ГП 
 при ограничениях 

 $\bf{g_{2}(x) = 0. 5 x_{2}^{3}x_{3} + x_{1}^{-3} \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 5

Запишите индексное множество  для задачи ГП 
 при ограничениях 

 $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-2}x_{2}x_{3}^{4}  \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 3:

Номер 1

Запишите матрицу экспонент  для задачи ГП 
 при ограничении

Ответ:

(1)

A=\left\| \begin{array}{rrr}
-1&-1&-1\\
0&1&1\\
1&0&1\\
1&1&0
\end{array} \right\|

(2)

A=\left\| \begin{array}{rrrrrr}
-1&-1&-1&1&0&1\\
0&1&1&1&1&0\\ \end{array} \right\|

(3)

A=\left\| \begin{array}{rr}
40&40\\
0.5&0.25\\ \end{array} \right\|

Номер 2

Запишите матрицу экспонент  для задачи ГП 
 при ограничениях

 $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-1}x_{2} + x_{3}^{-4} \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

A=\left\| \begin{array}{rrr}
1&-2&1\\
1&2&0\\
1&-1&0\\
0&1&-1\\
-1&1&0\\
0&0&-4\\ \end{array} \right\|

(2)

A=\left\| \begin{array}{rrrrrrrrr}
1&-2&1&1&-1&0&-1&1&0\\
1&2&0&0&1&-1&0&0&-4\\ \end{array} \right\|

(3)

A=\left\| \begin{array}{rr}
1&1\\
1&1\\
1&1\\ \end{array} \right\|

Номер 3

Запишите матрицу экспонент  для задачи ГП 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) = x_{2}x_{3}^{-2} \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

A=\left\| \begin{array}{rrr}
1&-2&1\\
0&1&-2\\
-1&0&1\\
1&1&0\\
0&1&-2\\ \end{array} \right\|

(2)

A=\left\| \begin{array}{rrrrrrrrr}
0&-2&1&-1&0&1&0&1&-2\\
0&1&-2&1&1&0&0&0&0\\ \end{array} \right\|

(3)

A=\left\| \begin{array}{rr}
5&6\\
4&1\\
1&0\\ \end{array} \right\|

Номер 4

Запишите матрицу экспонент  для задачи ГП 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) = 0. 5 x_{2}^{3}x_{3} + x_{1}^{-3} \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

A=\left\| \begin{array}{rrr}
-1&1&0\\
0&-1&1\\
1&0&-1\\
1&2&0\\
0&3&1\\
-3&0&0\\ \end{array} \right\|

(2)

A=\left\| \begin{array}{rrrrrrrrr}
-1&1&0&1&0&-1&0&3&1\\
0&-1&1&1&2&0&-3&0&0\\ \end{array} \right\|

(3)

A=\left\| \begin{array}{rr}
2&3\\
1&1\\
0.5&1\\ \end{array} \right\|

Номер 5

Запишите матрицу экспонент  для задачи ГП 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-2}x_{2}x_{3}^{4}  \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

A=\left\| \begin{array}{rrr}
-1&1&1\\
1&0&-1\\
1&0&-3\\
0&-2&1\\
-2&1&4\\ \end{array} \right\|

(2)

A=\left\| \begin{array}{rrrrrrrrr}
-1&1&1&1&0&-3&-2&1&4\\
1&0&-1&0&-2&1&0&0&0\\ \end{array} \right\|

(3)

A=\left\| \begin{array}{rr}
4&1\\
1&1\\
1&0\\ \end{array} \right\|

Упражнение 4:

Номер 1

Запишите двойственную функцию к задаче 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) =  x_{1}^{-1}x_{2} + x_{2}^{-1}   \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2.$

Ответ:

(1)

\left(\frac{1}{w_1}\right)^{w_1}\left(\frac{1}{w_2}\right)^{w_2}
\left(\frac{1}{w_3}\right)^{w_3}\left(\frac{1}{w_4}\right)^{w_4}\left(\frac{1}{w_5}\right)^{w_5}
\left(\frac{1}{w_6}\right)^{w_6}\times

(2)

(3)

\left(\frac{1}{w_1}\right)^{w_1}\left(\frac{1}{w_2}\right)^{w_2}
\left(\frac{1}{w_3}\right)^{w_3}\left(\frac{1}{w_4}\right)^{w_4}\left(\frac{1}{w_5}\right)^{w_5}
\left(\frac{1}{w_6}\right)^{w_6}\times

(4)

(5)

Номер 2

Запишите двойственную функцию к задаче 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) =  x_{1}^{-1}x_{2} + x_{3}^{-4} \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

\left(\frac{1}{w_1}\right)^{w_1}\left(\frac{1}{w_2}\right)^{w_2}\left(\frac{1}{w_3}\right)^{w_3}
\left(\frac{1}{w_4}\right)^{w_4}\left(\frac{1}{w_5}\right)^{w_5}
\left(\frac{1}{w_6}\right)^{w_6}\times

(2)

(3)

\left(\frac{1}{w_1}\right)^{w_1}\left(\frac{1}{w_2}\right)^{w_2}
\left(\frac{1}{w_3}\right)^{w_3}\left(\frac{1}{w_4}\right)^{w_4}\left(\frac{1}{w_5}\right)^{w_5}
\left(\frac{1}{w_6}\right)^{w_6}\times

(4)

(5)

Номер 3

Запишите двойственную функцию к задаче 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) =  x_{2}x_{3}^{-2} \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

\left(\frac{5}{w_1}\right)^{w_1}\left(\frac{6}{w_2}\right)^{w_2}\left(\frac{4}{w_3}\right)^{w_3}
\left(\frac{1}{w_4}\right)^{w_4}\left(\frac{1}{w_5}\right)^{w_5}\times

(2)

(3)

\left(\frac{5}{w_1}\right)^{w_1}\left(\frac{6}{w_2}\right)^{w_2}
\left(\frac{4}{w_3}\right)^{w_3}\left(\frac{1}{w_4}\right)^{w_4}\left(\frac{1}{w_5}\right)^{w_5}\times

(4)

(5)

Номер 4

Запишите двойственную функцию к задаче 
 при ограничениях 

 $\bf{g_{2}(x) =  0. 5 x_{2}^{3}x_{3} + x_{1}^{-3} \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

\left(\frac{2}{w_1}\right)^{w_1}\left(\frac{3}{w_2}\right)^{w_2}\left(\frac{1}{w_3}\right)^{w_3}
\left(\frac{1}{w_4}\right)^{w_4}\left(\frac{0.5}{w_5}\right)^{w_5}
\left(\frac{1}{w_6}\right)^{w_6}\times

(2)

(3)

\left(\frac{2}{w_1}\right)^{w_1}\left(\frac{3}{w_2}\right)^{w_2}
\left(\frac{1}{w_3}\right)^{w_3}\left(\frac{1}{w_4}\right)^{w_4}\left(\frac{0.5}{w_5}\right)^{w_5}
\left(\frac{1}{w_6}\right)^{w_6}\times

(4)

w_{1}^{w_1} w_{2}^{w_2} w_{3}^{w_3}
w_{4}^{w_4} w_{5}^{w_5} w_{6}^{w_6}

(5)

Номер 5

Запишите двойственную функцию к задаче 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) =  x_{1}^{-2}x_{2}x_{3}^{4}  \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

\left(\frac{4}{w_1}\right)^{w_1}\left(\frac{1}{w_2}\right)^{w_2}\left(\frac{1}{w_3}\right)^{w_3}
\left(\frac{1}{w_4}\right)^{w_4}\left(\frac{1}{w_5}\right)^{w_5}\times

(2)

(3)

\left(\frac{4}{w_1}\right)^{w_1}\left(\frac{1}{w_2}\right)^{w_2}
\left(\frac{1}{w_3}\right)^{w_3}\left(\frac{1}{w_4}\right)^{w_4}
\left(\frac{1}{w_5}\right)^{w_5}\times

(4)

(5)

Упражнение 5:

Номер 1

Запишите условия ортогональности для задачи 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) =  x_{1}^{-1}x_{2} + x_{2}^{-1}   \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2.$

Ответ:

(1)

\begin{array}{rcrcr} w_1&-&w_2&=&0,\\ w_1&-&w_2&=&0,\\
-2 w_1&-&w_2&=&0,\\ -w_1&-&w_2&=&0,\\ -w_1&&&=&0,\\ w_1&-&w_2&=&0.
\end{array}

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 2

Запишите условия ортогональности для задачи 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) =  x_{1}^{-1}x_{2} + x_{3}^{-4} \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

\begin{multiple} w_1&-&2 w_2&+&w_3&=&0,\\ w_1&+&2 w_2&&&=&0,\\ w_1&-&w_2&&&=&0,\\
&&w_2&-&w_3&=&0,\\ -w_1&+&w_2&&&=&0,\\
&&&-&4 w_3&=&0.
\end{multiple}

(2)

\begin{multiple} w_1&+&w_2&+&w_3&&&-&w_5&&&=&0,\\
-2 w_1&+&2 w_2&-&w_3&+&w_4&+&w_5&&&=&0,\\ w_1&&&&&-&w_4&&&-&4 w_6&=&0.
\end{multiple}

(3)

(4)

(5)

Номер 3

Запишите условия ортогональности для задачи 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) =  x_{2}x_{3}^{-2} \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

\begin{multiple} w_1&-&2 w_2&+&w_3&=&0,\\
&&w_2&-&2 w_3&=&0,\\ -w_1&&&+&w_3&=&0,\\ w_1&+&w_2&&&=&0,\\
&&w_2&-&2 w_3&=&0.
\end{multiple}

(2)

\begin{multiple} w_1&&&-&w_3&+&w_4&&&=&0,\\
-2 w_1&+&w_2&&&+&w_4&+&w_5&=&0,\\ w_1&-&2 w_2&+&w_3&&&-&2 w_5&=&0.
\end{multiple}

(3)

(4)

(5)

Номер 4

Запишите условия ортогональности для задачи 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) =  0. 5 x_{2}^{3}x_{3} + x_{1}^{-3} \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

\begin{multiple} -w_1&+&w_2&&&=&0,\\
&-&w_2&+&w_3&=&0,\\ w_1&&&-&w_3&=&0,\\ w_1&+&2 w_2&&&=&0,\\
&&3 w_2&+&w_3&=&0,\\
-3 w_1&&&&&=&0.
\end{multiple}

(2)

\begin{multiple} -w_1&&&+&w_3&+&w_4&&&-&3 w_6&=&0,\\ w_1&-&w_2&&&+&2 w_4&+&3 w_5&&&=&0,\\
&&w_2&-&w_3&&&+&w_5&&&=&0.
\end{multiple}

(3)

(4)

(5)

Номер 5

Запишите условия ортогональности для задачи 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) =  x_{1}^{-2}x_{2}x_{3}^{4}  \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

\begin{array}{rcrcrcr} -w_1&+&w_2&+&w_3&=&0,\\ w_1&&&-&w_3&=&0,\\ w_1&&&-&3 w_3&=&0,\\
&-&2 w_2&+&w_3&=&0,\\
-2 w_1&+&w_2&+&4 w_3&=&0.\\ \end{array}

(2)

\begin{array}{rcrcrcrcrcr} -w_1&+&w_2&+&w_3&&&-&2 w_5&=&0,\\ w_1&&&&&-&2 w_4&+&w_5&=&0,\\ w_1&-&w_2&-&3 w_3&+&w_4&+&4 w_5&=&0.
\end{array}

(3)

(4)

(5)

Упражнение 6:

Номер 1

Запишите  условие нормальности для задачи 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) =  x_{1}^{-1}x_{2} + x_{2}^{-1}   \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2.$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 2

Запишите  условие нормальности для задачи 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) =  x_{1}^{-1}x_{2} + x_{3}^{-4} \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 3

Запишите  условие нормальности для задачи 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) =  x_{2}x_{3}^{-2} \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 4

Запишите  условие нормальности для задачи 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) =  0. 5 x_{2}^{3}x_{3} + x_{1}^{-3} \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 5

Запишите  условие нормальности для задачи 
 при ограничениях


 $\bf{g_{2}(x) =  x_{1}^{-2}x_{2}x_{3}^{4}  \leq 1},\ x_j>0,\
j=1, 2, 3.$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Упражнение 7:

Номер 1

Значения переменных в двойственной задаче должны быть:

Ответ:

(1) положительными

(2) отрицательными

(3) не положительными

(4) не отрицательны

Номер 2

Задача ГП совместна, если:

Ответ:

(1) не существует вектора, удовлетворяющего ее ограничениям

(2) существует вектор, удовлетворяющий ее ограничениям

(3) матрица экспонент состоит только из положительных элементов

(4) матрица экспонент состоит только из отрицательных элементов

Номер 3

Укажите замену переменных, которая преобразует прямую задачу ГП в задачу выпуклого программирования:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 8:

Номер 1

Ограничения задачи ГП в канонической форме имеют вид:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Введение в геометрическое программирование - тест 5