игра брюс 2048
Главная / Алгоритмы и дискретные структуры / Решение олимпиадных задач по информатике / Тест 10

Решение олимпиадных задач по информатике - тест 10

Упражнение 1:
Номер 1 
Как определить существование треугольника, если известны его стороны?

Ответ:

 (1) треугольник существует, когда сумма любых двух его сторон больше третьей 

 (2) треугольник существует, когда сумма любых двух его сторон меньше третьей 

 (3) треугольник существует, когда сумма квадратов любых двух его сторон большеквадрата третьей 

 (4) треугольник существует, когда сумма квадратов любых двух его сторон меньшеквадрата третьей 

Номер 2 
Треугольник на плоскости задан координатами своих вершин: (2,3), (4,7), (7,2). Охарактеризуйте его:

Ответ:

 (1) треугольник остроугольный 

 (2) треугольник прямоугольный 

 (3) треугольник тупоугольный 

 (4) треугольник не существует 

Номер 3 
Треугольник на плоскости задан координатами своих вершин. Каким образом можно определить, прямоугольный ли это треугольник?

Ответ:

 (1) если: длины сторон треугольника являются пифагоровыми тройками (сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны) 

 (2) если: площади треугольника, найденные, как половина произведения двух меньших сторон (1) и по формуле Герона (2), равны 

 (3) если: произведение двух случайно выбранных сторон равно произведению двух других, случайно выбранных сторон 

 (4) данных для решения задачи недостаточно 

Номер 4 
Треугольник на плоскости задан координатами своих вершин: (1,7), (9,13), (9,1). Найдите его периметр:

Ответ:

 32 

Упражнение 2:
Номер 1 
Для нахождения площади треугольника используют:

Ответ:

 (1) формулу Герона (квадратный корень от math), где math - длины сторон, аmath - полупериметр) 

 (2) теорему Пифагора (квадратный корень от math) 

 (3) зависимость: площадь треугольника равна половине произведения длин его сторон 

 (4) зависимость: площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на его высоту (высоту необходимо найти) 

Номер 2 
 Для нахождения площади треугольника используют формулу Герона: math, где math - длины сторон, math - …

Ответ:

 полупериметр 

Номер 3 
Назначение программы на Паскале, фрагмент которой приведен ниже:

…
readln (x1, y1); readln (x2, y2); readln (x3, y3);
a:= sqrt (sqr(x1-x2)+sqr(y1-y2));
b:= sqrt (sqr(x2-x3)+sqr(y2-y3));
c:= sqrt (sqr(x3-x1)+sqr(y3-y1));
p:=(a+b+c) / 2;
writeln (sqrt (p*(p-a)*(p-b)*(p-c)));
…

Ответ:

 (1) вычисление площади треугольника, заданного координатами своих концов 

 (2) нахождение результата вычисления по формуле Герона 

 (3) вычисление произведения медиан треугольника 

 (4) вычисление произведения биссектрис треугольника 

Упражнение 3:
Номер 1 
Площадь выпуклого четырехугольника равна…

Ответ:

 (1) сумме площадей двух треугольников, его составляющих 

 (2) разности площадей прямоугольника (стороны которого параллельны осям координат), включающего в себя все вершины 4-хугольника и "лишних" треугольников ("отсечение" которых от прямоугольника даст данный 4-хугольник) 

 (3) math, где math - полупериметр, math - длины сторон 4-хугольника 

 (4) произведению разности максимальной и минимальной координат всех вершин 4-хугольника по оси math на разность максимальной и минимальной координат всех вершин по оси У 

Номер 2 
Площадь выпуклой фигуры, имеющей вершины math равна…

Ответ:

 (1) сумме площадей треугольников math 

 (2) math, где math - полупериметр, math - длины сторон многоугольника 

 (3) произведению разности максимальной и минимальной координат всех вершин многоугольника по оси math на разность максимальной и минимальной координат всех вершин по оси math 

 (4) разности площадей прямоугольника (стороны которого параллельны осям координат), включающего в себя все вершины данного многоугольника и "лишних" треугольников ("отсечение" которых от прямоугольника даст данный многоугольника) 

Номер 3 
Способы вычисления площади выпуклой фигуры:

Ответ:

 (1) через сумму площадей треугольников, составляющих выпуклую фигуру 

 (2) через разность площадей трапеций (трапеции находятся между вершинами многоугольника, имеющими минимальную и максимальную координату по оси Х) 

 (3) через вычисление длин сторон многоугольника с последующим использованием формулы math, math - полупериметр, math - длины сторон многоугольника 

 (4) через суммирование разностей координат по оси math (значение координаты math перебирается в цикле с очень маленьким шагом) 

Упражнение 4:
Номер 1 
Определить, находится точка math внутри или вне выпуклого многоугольника, имеющего вершины math.

Ответ:

 (1) если сумма площадей треугольников math равна сумме площадей треугольников math, то точка находится внутри многоугольника (иначе - вне многоугольника)  

 (2) если координата math точки входит в диапазон, ограниченный минимальной и максимальной координатой по оси math всех вершин многоугольника И координата math точки входит в диапазон, ограниченный минимальной и максимальной координатой по оси math всех вершин многоугольника, то точка находится внутри многоугольника (иначе - вне) 

 (3) если расстояние от начала координат до точки входит в диапазон, ограниченный расстоянием от начала координат "ближайшей" к началу координат точки и расстоянием от начала координат до наиболее удаленной от начала координат точки, то точка находится внутри многоугольника (иначе - вне) 

 (4) математической зависимости для определения вхождения точки в многоугольник нет  

Номер 2 
 Для определения вхождения одной фигуры в другую (например, треугольника в выпуклый многоугольник) необходимо:

Ответ:

 (1) найти вхождение каждой вершины треугольника внутрь многоугольника  

 (2) найти и сравнить площади треугольника и многоугольника  

 (3) ввести координаты вершин треугольника и многоугольника в массивы координат math и math, затем отсортировать элементы массивов и проверить - находятся ли координаты треугольника в "центре" массива math и math 

 (4) найти и проанализировать расстояние от всех вершин треугольника до всех вершин многоугольника  

Номер 3 
Как определить, находится точка на отрезке, заданном координатами своих концов?

Ответ:

 (1) найти сумму расстояний от точки до концов отрезка и сравнить ее с длиной отрезка (при равенстве - точка на отрезке, иначе - вне) 

 (2) найти площадь треугольника, образованного отрезком и точкой в качестве третьей вершины. Если площадь равна длине отрезка, то точка на отрезке, иначе - вне 

 (3) найти линейную функцию для отрезка, сравнить - подходят ли координаты точки под эту функцию 

 (4) сравнить координаты по оси math и math точки с координатами концов отрезка - при "вхождении" координат точки в диапазон координат, заданных координатами концов отрезка, то точка входит, иначе - нет 

Упражнение 5:
Номер 1 
Определить, пересекаются ли два отрезка math и math.

Ответ:

 (1) если сумма площадей треугольников math и math равна сумме площадей треугольников math и math, то отрезки пересекаются (иначе - нет) 

 (2) если большая координата по оси math первого отрезка больше меньшей координаты по оси math втрого отрезка и большая координата по оси math первого отрезка больше меньшей координаты по оси math втрого отрезка, то отрезки пересекаются (иначе - нет) 

 (3) если площадь четырехугольника math равна произведению длин отрезков math и math, то отрезки пересекаются (иначе - нет) 

 (4) если отсортированные в порядке возрастания точки по оси math и по оси math чередуются: сначала идет координата конца первого отрезка, затем - координата конца второго отреза, затем - опять первого, затем - второго, то отрезки пересекаются (иначе - нет) 

Номер 2 
Признак пересечения одного выпуклого многоугольника с другим:

Ответ:

 (1) если хотя бы одна вершина одного из многоугольников находится внутри другого многоугольника, то пересечение есть 

 (2) если есть хотя бы одно пересечение сторон двух многоугольников, то пересечение многоугольников есть 

 (3) если площадь фигуры, образованной двумя многоугольниками равна сумме площадей двух многоугольников, то пересечение многоугольников есть 

 (4) если введенные координаты вершин двух многоугольников в массивы координат math и math, и затем отсортированные дают определенное "положение" координат одного многоугольника (находятся в "центре" массива координат math и в "центре" массива координат math), то пересечение есть 

Номер 3 
Метод определения пересечения двух отрезков math и math: "Если сумма площадей треугольников math и math равна сумме площадей треугольников math и math, то отрезки пересекаются (иначе - нет)" имеет исключение:

Ответ:

 (1) если отрезки равной длины и параллельны 

 (2) если отрезки находятся на одной прямой, но не имеют общих точек 

 (3) если отрезки перпендикулярны 

 (4) если отрезки совпадают 

Упражнение 6:
Номер 1 
Многоугольник задан координатами своих последовательных вершин. Внутренний угол одной из вершин многоугольника - тупой. Каким образом можно найти эту вершину?

Ответ:

 (1) поочередно перебрать все вершины многоугольника и определить - какая из них находится внутри многоугольника, образованного оставшимися вершинами 

 (2) сумма расстояний от искомой вершины до остальных будет минимальна 

 (3) определить площадь многоугольника, приняв за первую вершину поочередно все вершины многоугольника. Та площадь, которая будет не равна остальным и укажет на нужную вершину 

 (4) данных для решения задачи недостаточно 

Номер 2 
Даны координаты n точек на плоскости. За исключением одной точки все остальные образуют выпуклый многоугольник (при этом координаты точек вводятся в порядке обхода вершин многоугольника. "Лишняя" точка вводится в любом месте). Как можно определить эту "лишнюю" точку?

Ответ:

 (1) поочередно перебрать все вершины многоугольника, заданные координатами точек, и определить - какая из них находится внутри многоугольника, образованного оставшимися вершинами 

 (2) "лишняя" точка будет "центральной точкой", то есть той точкой, сумма расстояний от которой до остальных будет минимальна 

 (3) определить площадь многоугольника, образованного данными точками, приняв за первую вершину поочередно каждую из точек. Та площадь, которая будет не равна остальным и укажет на нужную точку 

 (4) данных для решения задачи недостаточно 

Номер 3 
Многоугольник задан координатами своих последовательных вершин. Внутренний угол одной из вершин (назовем ее math) многоугольника - тупой (вершина, у которой образуется тупой угол известна). Каким образом можно найти площадь многоугольника?

Ответ:

 (1) найти площадь выпуклого многоугольника, образованного всеми вершинами, кроме вершины math, из нее вычесть площадь треугольника, образованного вершиной math и соседними с ней вершинами 

 (2) найти сумму площадей всех треугольников с вершиной math, кроме треугольника, образованного вершиной А и соседними с ней вершинами 

 (3) найти сумму площадей всех треугольников с вершиной не в math 

 (4) данных для решения задачи недостаточно 



Главная / Алгоритмы и дискретные структуры / Решение олимпиадных задач по информатике / Тест 10