Главная / Математика /
Математический анализ / Тест 12
Математический анализ - тест 12
Упражнение 1:
Номер 1
Каким условиям должна удовлетворять функция в теореме Ролля:
Ответ:
 
(1) непрерывность на
 
 
(2) непрерывность на
 
 
(3) дифференцируемость на
 
 
(4) дифференцируемость в точке
 
 
(5)  
 
(6)  
Номер 2
Каким условиям должна удовлетворять функция в теореме Лагранжа:
Ответ:
 
(1) непрерывность на
 
 
(2) непрерывность на
 
 
(3) дифференцируемость на
 
 
(4) дифференцируемость в точке
 
 
(5)  
 
(6)  
Упражнение 2:
Номер 1
В условиях теоремы Лагранжа точка с:
Ответ:
 
(1) совпадает с концами отрезка
или
 
 
(2) лежит вне отрезка
 
 
(3) принадлежит интервалу
 
 (4) единственная 
 (5) хотя бы одна 
Номер 2
Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что существует хотя бы одна точка графика функции , в которой касательная
Ответ:
 
(1) параллельна оси
 
 
(2) параллельна оси
 
 
(3) перпендикулярна оси
 
 
(4) перпендикулярна оси
 
 
(5) параллельна хорде
 
Номер 3
Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что существует хотя бы одна точка графика функции , в которой касательная
Ответ:
 
(1) параллельна оси
 
 
(2) перпендикулярна оси
 
 
(3) параллельна хорде
 
Упражнение 3:
Номер 1
Какое условие теоремы Ролля не выполняется для функции :
Ответ:
 
(1) непрерывность на
 
 
(2) дифференцируемость на
 
 (3) f(a)=f(b) 
Номер 2
Какое условие теоремы Ролля не выполняется для функции , где - означает целую часть от числа:
Ответ:
 
(1) непрерывность на
 
 
(2) дифференцируемость на
 
 (3) f(a)=f(b) 
Упражнение 4:
Номер 1
Функция называется неубывающей на множестве , если
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
 
(4)  
Номер 2
Функция называется невозрастающей на , если
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
 
(4)  
Номер 3
Функция называется возрастающей на , если
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
 
(4)  
Упражнение 5:
Номер 1
Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на . Какое утверждение верно:
Ответ:
 
(1) если
на
, то
возрастает на
 
 
(2) если
возрастает на
, то
на
 
 
(3) если
возрастает на
, то
на
 
 
(4) если
, то
локально возрастает 
 
(5) если
, то
локально возрастает 
Номер 2
Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на . Какое утверждение верно:
Ответ:
 
(1) если
на
, то
возрастает на
 
 
(2) если
на
, то
убывает на
 
 
(3) если
убывает на
, то
на
 
 
(4) если
, то
локально убывает 
 
(5) если
, то
локально убывает 
Упражнение 6:
Номер 1
Пусть задана функция . Тогда
Ответ:
 
(1) убывает на
 
 
(2) убывает на
 
 
(3) непрерывна на
 
 
(4)  
 
(5)  
Номер 2
Пусть задана функция . Тогда
Ответ:
 
(1) дифференцируема на
 
 
(2) непрерывна на
 
 
(3) равномерно непрерывна на
 
 
(4) ограничена на
 
Упражнение 7:
Номер 1
Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на . Какие утверждения верны:
Ответ:
 
(1) если
не ограниченна на
, то
равномерно непрерывна на
 
 
(2) если
ограниченна на
, то
равномерно непрерывна на
 
 
(3) если
равномерно непрерывна на
, то
ограниченна на
 
 
(4) если
не равномерно непрерывна на
, то
не ограниченна на
 
Номер 2
Пусть функция непрерывна на . Какие утверждения верны:
Ответ:
 
(1) если
, то
равномерно непрерывна на
 
 
(2) если
, то
равномерно непрерывна на
 
 
(3) если
равномерно непрерывна на
, то
 
 
(4) если
не равномерно непрерывна на
, то
 
Номер 3
Пусть функция непрерывна на , дифференцируема на и . Какие утверждения верны:
Ответ:
 
(1) равномерно непрерывна на
 
 
(2) если
ограничена на
, то
 
 
(3) если
не ограничена на
, то
 
Упражнение 8:
Номер 1
Какое выражение является многочленом Тейлора для раз дифференцируемой в окрестности точки функции
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
 
(4)  
Номер 2
Каким свойством обладает многочлен Тейлора функции :
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
 
(4)  
Номер 3
Как связаны многочлен Тейлора функции , сама функция и остаточный член :
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
Упражнение 9:
Номер 1
Множество называется выпуклым, если
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
 
(4)  
Номер 2
Функция называется выпуклой на множестве (выпуклое), если
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
 
(4)  
Номер 3
Функция выпуклая на множестве (выпуклое). Верно ли, что она
Ответ:
 
(1) непрерывная на
 
 
(2) дифференцируемая на
 
 
(3) может быть разрывной на
 
 
(4) может быть не дифференцируемой на
 
 
(5) разрывна на
 
 
(6) не дифференцируема на
 
Упражнение 10:
Номер 1
Чему равны частные производные функции :
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
 
(4)  
Номер 2
Функция называется дифференцируемой в точке , если
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
 
(4)  
Упражнение 11:
Номер 1
Пусть задана функция .Какие утверждения верны:
Ответ:
 
(1) если
в данной точке
, то
непрерывна в
 
 
(2) если
дифференцируема в
, то она непрерывна в
 
 
(3) если
дифференцируема в
, то
в точке
 
 
(4) если
в точке
, то
дифференцируема в
 
Номер 2
Пусть функция дифференцируема в точке . Какие утверждения верны:
Ответ:
 
(1) - внутренняя точка области определения 
 
(2) может быть граничной точкой области определения 
 
(3) существуют частные производные в точке
по каждому аргументу 
 (4) частные производные существуют и непрерывны 
 
(5) функция
непрерывна в точке
 
 
(6) функция
может быть разрывна в точке
 
Номер 3
Какие условия являются достаточными для дифференцируемости функции в точке :
Ответ:
 
(1) непрерывна в точке
 
 
(2) существуют частные производные в точке
по каждому аргументу 
 
(3) Частные производные в точке
по каждому аргументу существуют и непрерывны в точке
 
Упражнение 12:
Номер 1
Пусть . Какие утверждения верны:
Ответ:
 
(1) непрерывна на
 
 
(2)  
 
(3) дифференцируема в
 
 
(4) непрерывны в
 
Номер 2
Пусть . Какие утверждения верны:
Ответ:
 
(1) непрерывна на
 
 
(2) существуют
 
 
(3) дифференцируема в
 
 
(4) непрерывны в
 
Номер 3
Пусть . Какие утверждения верны:
Ответ:
 
(1) непрерывна на
 
 
(2)  
 
(3) дифференцируема в
 
 
(4) непрерывны в