Математический анализ

Упражнение 1:

Номер 1

Поверхностью уровня функции  являются

Ответ:

(1) концентрические сферы с центром в точке math

(2) концентрические сферы с центром в любой точке

(3) концентрические сферы с центром в точке math

(4)

Номер 2

Поверхностью уровня функции  являются

Ответ:

(1)

(2) концентрические сферы радиусом math

с центром в точке math

(3) концентрические сферы радиусом math

с центром в точке math

(4) параболоиды вращения с вершиной в точке math

(5) параболоиды вращения с вершиной в точке math

Номер 3

Линиями уровня функции  являются

Ответ:

(1) семейство парабол

(2) семейство гипербол

(3) концентрические круги

(4)

Упражнение 2:

Номер 1

Пусть функция  задана на множестве . Тогда

Ответ:

(1) наибольшее значение функции на множестве math

достигается только в одной точке

(2) наибольшее значение функции на множестве math

достигается более чем в одной точке

(3) наибольшее значение функции на множестве math

достигается в точке math

(4) наибольшее значение функции на множестве math

достигается в точках math

Номер 2

Пусть функция  задана на множестве . Тогда

Ответ:

(1) наибольшее значение функции на множестве math

достигается только в одной точке

(2) наибольшее значение функции на множестве math

достигается более чем в одной точке

(3) наибольшее значение функции на множестве math

не достигается

(4) наименьшее значение функции на множестве math

достигается только в одной точке

(5) наименьшее значение функции на множестве math

достигается более чем в одной точке

(6) наименьшее значение функции на множестве math

не достигается

Номер 3

Пусть функция  задана на множестве . Тогда

Ответ:

(1) функция достигает на множестве math

наибольшего значения

(2) функция достигает на множестве math

наименьшего значения

(3) функция ограничена на math

Упражнение 3:

Номер 1

Пусть для функции  в точке  существует градиент . Тогда

Ответ:

(1)

в точке

(2) градиент перпендикулярен к линии уровня math

(3) градиент направлен по касательной к линии уровня math

(4)

(5)

Номер 2

Пусть функция . Тогда  равен

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 3

Определить градиент функции  в точке  и найти его модуль (длину):

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 4:

Номер 1

Пусть задана функция . Какие утверждения верны:

Ответ:

(1) если math

в точке

, то

в точке

(2) если math

в точке

, то

в точке

(3) если math

непрерывны в точке math

, то

(4) если math

в точке

, то

Номер 2

Пусть задана функция . Тогда частные производные 2 порядка равны:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Пусть задана функция . Тогда частные производные 2 порядка равны:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 5:

Номер 1

Пусть задана функция . На каких множествах существует неявная функция :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 2

Пусть задана функция . На каких множествах существует неявная функция :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 3

Сколько непрерывных неявных функций вида  определяет уравнение  в окрестности точки :

Ответ:

(1) одна

(2) ни одной

(3) две

(4) четыре

Упражнение 6:

Номер 1

Пусть  непрерывна в окрестности точки  и  непрерывные в окрестности . Какие условия достаточны для существования единственной неявной функции :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Пусть  непрерывна в окрестности точки  и . Пусть существует единственная неявная функция . Тогда

Ответ:

(1)

(2)

(3)

может равняться 0

Номер 3

Пусть выполнены условия существования теоремы о неявной функции. Тогда её производная  равна:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 7:

Номер 1

Уравнение  не определяет неявной функции в достаточно малой окрестности точки . Какое условие не выполнено:

Ответ:

(1)

непрерывна в окрестности точки math

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Пусть задана неявная функция . Уравнение касательной в точке :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 8:

Номер 1

Точка  является точкой локального максимума для функции , если существует окрестность :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Точка  является точкой локального минимума для функции , если существует окрестность :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 3

Точка  не является точкой локального максимума для функции , если для любой окрестности :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 9:

Номер 1

Пусть  точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Пусть  - особая точка для дифференцируемой функции . Какое условие является достаточным для того, чтобы  была точкой локального максимума:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Номер 3

Пусть  - особая точка для дифференцируемой функции . Какое условие является достаточным для того, чтобы  была точкой локального минимума:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Упражнение 10:

Номер 1

Точка  является точкой локального максимума для функции  при условиях , если для  существует окрестность :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Точка  является точкой локального минимума для функции  при условиях , если для  существует окрестность :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 3

Точка , лежащая на кривой , является точкой условного максимума, если существует окрестность :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 11:

Номер 1

Пусть  - точка условного экстремума функции  и задана функция Лагранжа . Тогда

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Пусть задана функция  при условии . Пусть задана функция Лагранжа . Тогда особая точка  будет точкой условного локального максимума, если для любого допустимого сдвига

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

знакопеременная

Номер 3

Пусть задана функция  при условии . Пусть задана функция Лагранжа . Тогда особая точка  будет точкой условного локального минимума, если для любого допустимого сдвига

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

знакопеременная

Упражнение 12:

Номер 1

Пусть  точка экстремума функции  при условии . Тогда линия уровня  пересекает кривую  под углом

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Пусть  не является точкой экстремума функции  при условии . Тогда линия уровня  пересекает кривую  под углом

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Пусть  точка экстремума функции  при условии . Тогда

Ответ:

(1)

(2)

(3)

линейно зависимы

(4)

линейно независимы

(5)

перпендикулярны

Математический анализ - тест 14