Математический анализ

Упражнение 1:

Номер 1

Последовательность  называется функциональной, если

Ответ:

(1)

функция и область определения math

(2)

функция и область определения math

(3)

функция и область определения math

(4)

функция и область определения math

Номер 2

Точка  называется точкой сходимости функциональной последовательности , если

Ответ:

(1) числовая последовательность math

сходится

(2) числовая последовательность math

расходится

(3)

(4)

Номер 3

Пусть  - множество сходимости последовательности . Функция  является пределом  последовательности . Тогда она

Ответ:

(1) определена на множестве math

(2) определена на множестве math

(3)

(4)

(5) непрерывна на math

, если

непрерывны на math

(6) разрывна на math

, если

разрывна на math

Упражнение 2:

Номер 1

Найти множество сходимости последовательности

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Найти предел последовательности  на множестве :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Найти предел последовательности  на множестве :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 3:

Номер 1

Последовательность  сходится к  равномерно на множестве , если

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Последовательность  не сходится к  равномерно на множестве , если

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 3

Последовательность  сходится к  неравномерно на множестве , если она

Ответ:

(1) сходится к math

и

(2) не сходится к math

и

(3) сходится к math

и

(4) не сходится к math

и

Упражнение 4:

Номер 1

Последовательность  сходится равномерно к  тогда и только тогда, когда

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Последовательность  сходится равномерно к  на множестве . Тогда

Ответ:

(1)

сходится к math

на

(2)

не сходится к math

на

(3)

(4)

Номер 3

Последовательность  сходится к  на множестве . Тогда

Ответ:

(1)

сходится равномерно к math

на

(2)

сходится неравномерно к math

на

(3)

сходится равномерно к math

на

, если

(4)

сходится равномерно к math

на

, если

Упражнение 5:

Номер 1

Последовательность  сходится равномерно на множестве

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Последовательность  сходится равномерно на множестве

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Последовательность  сходится неравномерно на множестве

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 6:

Номер 1

Пусть последовательность  равномерно сходится к  на множестве . Какие утверждения верны:

Ответ:

(1) последовательность разрывных на math

функций

может сходиться к непрерывной math

(2) последовательность ограниченных на math

функций

сходится к неограниченной math

(3) если math

разрывны на math

, то

разрывна на math

(4) если math

непрерывны на math

, то

непрерывна на math

Номер 2

Пусть последовательность  равномерно сходится к непрерывной  на множестве . Какие утверждения верны:

Ответ:

(1)

непрерывны на math

(2)

могут быть непрерывны на math

(3)

могут быть разрывны на math

(4)

разрывны на math

Упражнение 7:

Номер 1

Функциональным рядом для последовательности  называется выражение

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Функциональный ряд называется сходящимся в точке , если

Ответ:

(1) числовой ряд math

сходится

(2) числовой ряд math

расходится

(3)

(4)

Номер 3

Пусть  - множество сходимости ряда . Функция  является суммой ряда. Тогда она

Ответ:

(1) определена на множестве math

(2) определена на множестве math

(3)

(4)

(5) непрерывна на math

, если

непрерывны на math

(6) разрывна на math

, если

разрывна на math

Упражнение 8:

Номер 1

Какое множество является областью сходимости ряда :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Какое множество является областью сходимости ряда :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 3

Какое множество является областью сходимости ряда :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 9:

Номер 1

Какая функция является суммой ряда :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Какая функция является суммой ряда

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 3

Какая функция является суммой ряда

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 10:

Номер 1

Функциональный ряд  сходится равномерно к функции  на множестве  тогда и только тогда, когда

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Функциональный ряд  сходится равномерно к функции  на множестве , если

Ответ:

(1) последовательность частичных сумм math

равномерно сходится к math

на

(2) последовательность частичных сумм math

сходится к math

на

(3) последовательность math

равномерно сходится к math

на

(4) последовательность math

сходится к math

на

Номер 3

Пусть функциональный ряд  сходится равномерно к функции  на множестве . Тогда

Ответ:

(1) ряд сходится к math

на

(2) область сходимости ряда содержит множество math

(3) область сходимости ряда содержится в множестве math

(4)

(5) последовательность math

сходится равномерно к math

на

(6) последовательность math

сходится к math

на

Упражнение 11:

Номер 1

Какие условия достаточны для того, чтобы функциональный ряд   сходился равномерно на множестве :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Пусть ряд  сходится равномерно на множестве . Какие утверждения верны:

Ответ:

(1) существует сходящийся числовой ряд math

, для которого math

(2) может не существовать сходящийся числовой ряд math

такой, что math

(3) последовательность math

сходится равномерно к math

на

(4) последовательность math

может не сходиться равномерно к math

на

Номер 3

Какие утверждения верны:

Ответ:

(1) сумма функционального ряда с непрерывными членами может быть разрывной функцией сумма равномерно сходящегося функционального ряда с непрерывными членами может быть разрывной функцией

(2) сумма функционального ряда может быть разрывной функцией

(3) функциональный ряд равномерно сходится в области сходимости сумма равномерно сходящегося функционального ряда с непрерывными членами может быть разрывной функцией

(4) сумма функционального ряда с ограниченными членами может быть неограниченной функцией

Упражнение 12:

Номер 1

Какой числовой ряд нужно использовать для доказательства равномерной сходимости ряда  по признаку Вейерштрасса:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Какой числовой ряд нужно использовать для доказательства равномерной сходимости ряда  по признаку Вейерштрасса:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Математический анализ - тест 16