Математический анализ

Упражнение 1:

Номер 1

Какие утверждения верны:

Ответ:

(1) каждый степенной ряд является функциональным

(2) каждый функциональный ряд является степенным

(3) каждый степенной ряд имеет ненулевой интервал сходимости

(4) интервал сходимости степенного ряда может равняться одной точке

(5) интервал сходимости степенного ряда может равняться числовой прямой

Номер 2

Какие утверждения верны:

Ответ:

(1) каждый степенной ряд является функциональным

(2) каждый функциональный ряд является степенным

(3) степенной ряд может иметь нулевой интервал сходимости

(4) интервал сходимости степенного ряда открытое множество

(5) интервал сходимости степенного ряда может равняться числовой прямой

Номер 3

Какие утверждения верны:

Ответ:

(1) степенной ряд может не быть функциональным

(2) функциональный ряд может не быть степенным

(3) каждый степенной ряд имеет ненулевой интервал сходимости

(4) интервал сходимости степенного ряда может равняться одной точке

(5) интервал сходимости степенного ряда никогда не совпадает с числовой прямой

Упражнение 2:

Номер 1

Пусть  - интервал сходимости степенного ряда . Тогда

Ответ:

(1) ряд расходится в точке math

(2) если math

, то ряд расходится

(3) если math

, то ряд сходится

Номер 2

Пусть  - интервал сходимости степенного ряда . Тогда

Ответ:

(1) ряд сходится в точке math

(2) если math

, то ряд расходится

(3) если math

, то ряд сходится

Номер 3

Пусть  - интервал сходимости степенного ряда . Тогда

Ответ:

(1) ряд может сходиться или расходиться в точке math

(2) в точке math

ряд может сходиться или расходится

(3) если math

, то ряд расходится

Упражнение 3:

Номер 1

Какие утверждения верны:

Ответ:

(1) если степенной ряд сходится в точке math

, то она лежит в интервале сходимости

(2) если точка math

лежит в интервале сходимости, то степенной ряд сходится в этой точке

(3) если степенной ряд расходится в точке math

, то она лежит в интервале сходимости

(4) если точка math

не лежит в интервале сходимости, то степенной ряд расходится в этой точке

Номер 2

Пусть  - подмножество интервала сходимости. Тогда ряд сходится на множестве  равномерно, если оно

Ответ:

(1) произвольное

(2) замкнутое

(3) ограниченное

(4) компактное

Номер 3

Степенной ряд сходится равномерно

Ответ:

(1) в интервале сходимости

(2) на компактном подмножестве интервала сходимости

(3) на замкнутом подмножестве интервала сходимости

(4) на ограниченном подмножестве интервала сходимости

Упражнение 4:

Номер 1

Радиус сходимости степенного ряда  равен

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Если , то интервал сходимости ряда

Ответ:

(1) равен числовой прямой

(2) равен интервалу math

(3) вырождается в одну точку math

Номер 3

Если , то интервал сходимости ряда

Ответ:

(1) равен числовой прямой

(2) равен интервалу math

(3) вырождается в одну точку math

Упражнение 5:

Номер 1

Сумма степенного ряда

Ответ:

(1) может быть разрывной функцией на интервале сходимости

(2) является разрывной функцией на интервале сходимости

(3) непрерывна на интервале сходимости

(4) может быть непрерывной или разрывной функцией на интервале сходимости

Номер 2

Пусть  интервал сходимости степенного ряда . Тогда множеством непрерывности суммы ряда является множество

Ответ:

(1)

(2) вся числовая прямая

(3)

Номер 3

Какое множество является множеством непрерывности суммы ряда

Ответ:

(1)

(2) вся числовая прямая

(3)

Упражнение 6:

Номер 1

Пусть задан ряд . Какие утверждения верны:

Ответ:

(1) интервал сходимости ряда – вся числовая прямая

(2) интервал сходимости ряда – множество math

(3) на концах интервала сходимости ряд сходится

(4) ряд сходится равномерно на math

(5) сумма ряда непрерывна на math

Номер 2

Пусть задан ряд . Какие утверждения верны:

Ответ:

(1) радиус сходимости ряда равен 1

(2) интервал сходимости ряда – множество math

(3) на концах интервала сходимости ряд расходится

(4) ряд сходится равномерно на math

Номер 3

Пусть задан ряд . Какие утверждения верны:

Ответ:

(1) интервал сходимости ряда – множество math

(2) на концах интервала сходимости ряд сходится

(3) на концах интервала сходимости ряд расходится

(4) ряд сходится равномерно на math

(5) сумма ряда неограниченна в окрестности 1

Упражнение 7:

Номер 1

Какое уравнения является обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Уравнение  является

Ответ:

(1) линейным уравнением

(2) уравнением с разделяющимися переменными

(3) однородным уравнением

Номер 3

Уравнение  является

Ответ:

(1) линейным уравнением

(2) уравнением с разделяющимися переменными

(3) однородным уравнением

Упражнение 8:

Номер 1

Пусть функция  - решение дифференциального уравнения . Тогда

Ответ:

(1)

- дифференцируемая на math

функция

(2)

(3)

(4) область определения math

Номер 2

Если дифференциальное уравнение  имеет решение , то

Ответ:

(1) оно единственно

(2) существует бесконечно много решений

(3) существует хотя бы одно решение

(4) область определения решения math

Упражнение 9:

Номер 1

Что является общим решением дифференциального уравнения :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Что является общим решением дифференциального уравнения :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Что является общим решением дифференциального уравнения :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 10:

Номер 1

Какие условия входят в достаточные для существования и единственности решения задачи Коши :

Ответ:

(1)

непрерывна в некоторой окрестности math

(2)

ограничена в некоторой окрестности math

(3)

(4)

Номер 2

Какие утверждения для задачи Коши  верны:

Ответ:

(1) если math

непрерывна в окрестности math

, то решение задачи Коши существует и единственно

(2) если math

ограничена в окрестности math

, то решение задачи Коши существует и единственно

(3) если math

непрерывна и не удовлетворяет условию Липшица в окрестности math

, то решение задачи Коши существует, но он не единственно

Номер 3

Если  непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности  и  - решения задачи Коши , то

Ответ:

(1)

в некоторой окрестности math

(2)

на всей области определения

Упражнение 11:

Номер 1

Пусть у задачи Коши  решение  является продолжением решения . Тогда

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Пусть у задачи Коши  решение  является продолжением решения . Тогда

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Решение задачи Коши  может быть продолжено

Ответ:

(1) на всю область определения math

(2) до границы замкнутого подмножества math

(3) до границы компактного подмножества math

(4) до границы ограниченного подмножества math

Упражнение 12:

Номер 1

Пусть задана задача Коши . Тогда

Ответ:

(1) уравнение является линейным

(2)

имеет неограниченную производную в некоторой ограниченной по math

области

(3) условие Липшица выполнено для произвольной ограниченной по math

области

(4) функция math

- решение задачи Коши

(5) решение math

можно продолжить для math

Номер 2

Пусть задана задача Коши . Тогда

Ответ:

(1) в любой окрестности math

выполнено условие Липшица

(2) через начало координат проходит единственная интегральная кривая данного уравнения

(3) решение задачи существует, но не единственно

Номер 3

Пусть задана задача Коши . Тогда

Ответ:

(1) уравнение является линейным неоднородным

(2) максимальное решение может быть задано на интервале math

(3) функция math

является максимальным решением для math

(4) функция math

является максимальным решением для math

Математический анализ - тест 18