Математический анализ

Упражнение 1:

Номер 1

Расстояние между точками  вычисляется по формуле

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Расстояние  в  обладает свойствами:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 3

Расстояние  в  вычисляется по формуле

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 4

Расстояние  в  вычисляется по формуле

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 5

Расстояние  в  вычисляется по формуле

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 2:

Номер 1

Множество  называется

Ответ:

(1) открытым шаром радиуса math

(2) замкнутым шаром радиуса math

(3) открытым параллелепипедом

(4) замкнутым параллелепипедом

Номер 2

Множество  называется

Ответ:

(1) открытым шаром радиуса math

(2) замкнутым шаром радиуса math

(3) открытым параллелепипедом

(4) замкнутым параллелепипедом

Номер 3

Множество  называется

Ответ:

(1) открытым шаром радиуса math

(2) замкнутым шаром радиуса math

(3) открытым параллелепипедом

(4) замкнутым параллелепипедом

Номер 4

Множество  называется

Ответ:

(1) открытым шаром радиуса math

(2) замкнутым шаром радиуса math

(3) открытым параллелепипедом

(4) замкнутым параллелепипедом

Номер 5

Окрестностью  точки  называется

Ответ:

(1) открытый шар радиуса math

с центром в точке math

(2) замкнутый шар радиуса math

с центром в точке math

Упражнение 3:

Номер 1

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) последовательность вложенных открытых шаров в math

имеет непустое пересечение

(2) последовательность вложенных замкнутых шаров в math

имеет пустое пересечение

(3) последовательность вложенных замкнутых шаров в math

имеет непустое пересечение

(4) последовательность вложенных открытых шаров в math

имеет пустое пересечение

(5) в каждый открытый шар можно вписать замкнутый параллелепипед

Номер 2

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) последовательность вложенных открытых параллелепипедов в math

имеет непустое пересечение

(2) последовательность вложенных замкнутых параллелепипедов в math

имеет пустое пересечение

(3) последовательность вложенных замкнутых параллелепипедов в math

имеет непустое пересечение

(4) последовательность вложенных открытых параллелепипедов в math

имеет пустое пересечение

(5) в каждый замкнутый параллелепипед можно вписать открытый шар

Номер 3

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) последовательность вложенных интервалов в math

имеет непустое пересечение

(2) последовательность вложенных отрезков в math

имеет пустое пересечение

(3) последовательность вложенных отрезков в math

имеет непустое пересечение

(4) последовательность вложенных интервалов в math

имеет пустое пересечение

Упражнение 4:

Номер 1

Точка  называется внутренней точкой множества , если

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 2

Точка  называется внешней точкой множества , если

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 3

Точка  называется граничной точкой множества , если

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 4

Точка  называется изолированной точкой множества , если

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 5

Точка  называется предельной точкой множества , если

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Упражнение 5:

Номер 1

Пусть  - внутренняя точка множества . Тогда

Ответ:

(1) принадлежит множеству math

(2) принадлежит множеству math

(3) граничная точка множества math

(4) граничная точка множества math

(5) предельная точка множества math

(6) предельная точка множества math

Номер 2

Пусть  - внешняя точка множества . Тогда

Ответ:

(1) принадлежит множеству math

(2) принадлежит множеству math

(3) граничная точка множества math

(4) граничная точка множества math

(5) предельная точка множества math

(6) предельная точка множества math

Номер 3

Пусть  - внешняя точка множества . Тогда

Ответ:

(1)

может быть предельной точкой множества math

(2)

может не быть предельной точкой множества math

(3)

(4)

может быть изолированной точкой множества math

(5)

может быть внутренней точкой множества math

Номер 4

Пусть  - изолированная точка множества . Какие утверждения верны:

Ответ:

(1)

открытое множество

(2)

не открытое множество

(3)

замкнутое

(4)

содержит граничные точки

(5)

предельная точка множества math

(6)

Номер 5

Пусть  - предельная точка множества . Какие утверждения верны:

Ответ:

(1)

может быть внутренней точкой множества math

(2)

может быть граничной точкой множества math

(3)

может быть изолированной точкой множества math

(4) в любой ее окрестности содержится бесконечно много точек множества math

(5) существует ее окрестность, в которой содержится только конечное число точек множества math

Упражнение 6:

Номер 1

Множеством  всех внутренних точек открытого шара

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Замыканием  открытого шара  является множество

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Границей  открытого шара  является множество

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 4

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

(1) любое множество math

имеет граничные точки

(2) любое множество math

имеет граничные точки

Номер 5

Пусть  – конечное множество. Тогда оно

Ответ:

(1) открытое множество

(2) замкнутое множество

(3) состоит из изолированных точек

(4) содержит предельные точки

(5) содержит граничные точки

Номер 6

Пусть . Какие утверждения верны:

Ответ:

(1)

счетное множество

(2)

имеет только 1 предельную точку

(3)

открытое множество

Упражнение 7:

Номер 1

Множество  называется открытым, если

Ответ:

(1) некоторые его точки внутренние

(2) любая его точка внутренняя

(3) любая точка из его дополнения math

внутренняя

(4) некоторые точки из его дополнения math

внутренние

Номер 2

Множество  является замкнутым, если

Ответ:

(1) некоторые его точки внутренние

(2) любая его точка внутренняя

(3) любая точка из его дополнения math

внутренняя

(4) некоторые точки из его дополнения math

внутренние

Номер 3

Множество  называется ограниченным, если оно

Ответ:

(1) содержится в некоторой окрестности math

(2) любая окрестность math

содержит точки множества math

(3) содержится в некотором открытом множестве

Номер 4

Множество  называется компактным, если оно

Ответ:

(1) ограничено и замкнуто

(2) ограничено и открыто

(3) ограничено и содержит все свои предельные точки

(4) ограничено и содержит все свои граничные точки

Упражнение 8:

Номер 1

Пусть множество  открыто. Какие утверждения верны:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Номер 2

Пусть множество  замкнуто. Какие утверждения верны:

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Номер 3

Какие из следующих множеств являются открытыми:

Ответ:

(1) пустое множество math

(2) пространство math

(3) окрестность math

(4) отрезок math

(5) пересечение конечного числа открытых множеств

(6) пересечение бесконечного числа открытых множеств

(7) пересечение любой совокупности открытых множеств

(8) объединение любой совокупности открытых множеств

(9) объединение бесконечного числа открытых множеств

(10) объединение конечного числа открытых множеств

Номер 4

Какие из следующих множеств являются замкнутыми:

Ответ:

(1) пространство math

(2) окрестность math

(3) множество предельных точек множества

(4) пересечение любой совокупности замкнутых множеств

(5) объединение любой совокупности замкнутых множеств

(6) объединение конечного числа замкнутых множеств

Упражнение 9:

Номер 1

 - множество рациональных чисел. Какие утверждения верны:

Ответ:

(1)

содержит хотя бы одну изолированную точку

(2) любая его точка является граничной

(3)

- замкнутое множество

(4)

не является открытым

(5) граница множества содержит множество math

иррациональных чисел

(6) граница множества совпадает с множеством math

иррациональных чисел

Номер 2

 - множество иррациональных чисел. Какие утверждения верны:

Ответ:

(1)

содержит хотя бы одну изолированную точку

(2) любая его точка является граничной

(3)

- замкнутое множество

(4)

не является открытым

Номер 3

 - множество натуральных чисел. Какие утверждения верны:

Ответ:

(1) 1 – предельная точка множества math

(2)

ограниченное множество

(3)

состоит из изолированных точек

(4)

замкнутое множество

(5)

счетное множество

Упражнение 10:

Номер 1

Пусть . Какое множество является множеством предельных точек :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 2

Пусть . Какое множество является множеством граничных точек :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Номер 3

Пусть . Какое множество является множеством изолированных точек :

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Математический анализ - тест 4