Математический анализ - тест 6

Последовательность  точек в  - это отображение

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Пусть задана последовательность . Какая последовательность натуральных чисел задает подпоследовательность :

 (1)  

 (2)  

Пусть числовая последовательность . Тогда она

Пусть числовая последовательность . Тогда она

Последовательность  в пространстве  называется ограниченной, если все ее элементы содержатся в

Точка  называется пределом последовательности  ,если

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Пусть . Тогда вне каждой окрестности  -

 (1) бесконечное, начиная с некоторого номера, число точек  

 (2) конечное число точек  

 (3) все точки  

Пусть . Тогда внутри каждой окрестности  -

 (1) бесконечное, начиная с некоторого номера, число точек  

 (2) конечное число точек  

 (3) все точки  

Число  называется пределом числовой последовательности , если

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Пусть числовая  последовательность  - множество частичных пределов . Верхний предел числовой последовательности  - это

 (1) верхняя грань множества , большая  

 (2) нижняя грань множества , меньшая  

 (3)  

 (4)  

Пусть числовая  последовательность  - множество частичных пределов . Верхний предел числовой последовательности  - это

 (1) верхняя грань множества , большая  

 (2) нижняя грань множества , меньшая  

 (3)  

 (4)  

Пусть . Тогда последовательность 

Пусть . Тогда

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Пусть  сходящаяся. Тогда предел последовательности

 (1) может быть предельной точкой множества значений последовательности  

 (2) может не быть предельной точкой множества значений последовательности  

 (3) может быть изолированной точкой множества значений последовательности  

 (4) есть предельная точка , если оно конечно 

 (5) есть предельная точка , если оно бесконечно 

Если  - предельная точка множества , то

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Пусть  сходящаяся и . Тогда

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Число  называется частичным пределом последовательности , если

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Пусть  сходящаяся. Какие утверждения верны:

 (1) множество частичных пределов бесконечно 

 (2) множество частичных пределов состоит из элементов 

 (3) множество частичных пределов состоит из одного элемента 

 (4) множество частичных пределов - пустое множество 

Множество частичных пределов  состоит из одного элемента . Тогда последовательность 

 (2) сходится и  

 (3) сходится и  

Пусть в некоторой окрестности точки  содержится конечное число элементов последовательности . Какие утверждения верны:

 (1) ограниченная 

 (2) сходится к  

 (3) расходится 

Пусть числовые последовательности  и  сходятся и . Какие утверждения верны:

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть числовая последовательность  сходится и . Тогда

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Пусть числовые последовательности: . Тогда 

 (2) сходится и  

 (3) сходится и  

Пусть числовые последовательности  и  сходятся и .Тогда последовательность  сходится и ее предел равен

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Пусть числовые последовательности  и   сходятся и . Тогда последовательность  сходится и ее предел равен

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Пусть числовые последовательности  и   сходятся и . Тогда последовательность  сходится и ее предел равен

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Пусть числовая последовательность  сходится. Какие варианты возможны?

 (1) ограниченная сверху и неубывающая 

 (2) ограниченная сверху и невозрастающая 

 (3) ограниченная снизу и неубывающая 

 (4) ограниченная снизу и невозрастающая 

Пусть числовая последовательность  сходится,  расходится. Тогда последовательность 

Пусть числовая последовательность  сходится,  расходится. Тогда последовательность 

Пусть числовая последовательность  ограничена. Тогда

 (1) существует только одна сходящаяся подпоследовательность  

 (2) существует хотя бы одна сходящаяся подпоследовательность  

 (3) любая подпоследовательность сходится 

 (4) любая подпоследовательность расходится 

Пусть числовая последовательность  ограничена.  - множество  частичных пределов последовательности . Какие утверждения верны:

 (1)  

 (2)  

 (3) состоит только из одного элемента 

Пусть числовая последовательность  ограничена.  - множество  частичных пределов последовательности . Какие утверждения верны:

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть числовая последовательность  ограничена.  - множество  частичных пределов последовательности . Какие утверждения верны:

 (1) - ограничено 

 (2) - неограниченное 

 (3) - открытое 

 (4) - замкнутое 

Пусть числовая последовательность  сходится и .  -множество частичных пределов . Какие утверждения верны:

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Пусть  - сходящаяся к точке  последовательность элементов замкнутого множества . Тогда

 (1)  

 (2)  

 (3) может принадлежать или не принадлежать множеству  

Пусть  - неограниченная последовательность в пространстве . Какие утверждения верны:

 (1) расходится 

 (2) из можно выделить сходящуюся подпоследовательность 

 (3) в некоторой окрестности лежит бесконечное число точек  

Пусть  - последовательность элементов компактного множества . Какие утверждения верны:

 (1) сходится 

 (2) из можно выделить сходящуюся подпоследовательность 

 (3) множество частичных пределов и  

 (4) найдется частичный предел  

 (5) ограниченная 

Пусть ,  - множество частичных пределов . Какие утверждения верны:

 (1) неубывающая 

 (2) ограничена сверху 

 (3) сходится 

 (4)  

 (5)  

Пусть ,  - множество частичных пределов . Какие утверждения верны:

 (1) неубывающая 

 (2) ограниченная 

 (3) сходится 

 (4)  

 (5)  

Пусть . Какие утверждения верны:

 (1) сходится 

 (2) ограничена 

 (3) - предел последовательности  

 (4) - предельная точка множества значений последовательности 

Пусть . Какие утверждения верны:

 (1) неограниченная снизу 

 (2) невозрастающая 

 (3) сходится 

Пусть . Какие утверждения верны:

 (1) ограничена 

 (2) неубывающая 

 (3) сходится 

Найдите предел последовательности , если . Выберете правильные ответ:

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Найдите предел последовательности , если . Выберете правильные ответ:

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

Найдите предел последовательности , если . Выберете правильные ответ:

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)