Линейная алгебра - тест 10

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Матрица проектора P в некотором базисе имеет вид "?

 (1) если , то . состоит из векторов , т.е. . Аналогично . 

 (2) любой вектор можно представить в виде , где и . Кроме того, если , то . В самом деле, тогда и , поэтому . Следовательно, . Выберем в качестве базиса V объединение базисов Im P и Ker P. Вэтом базисе матрица оператора P имеет требуемый вид. 

 (3) Выберем в пространстве W ортонормированный базис . Рассмотрим вектор . Условие означает, что $0=(\backslash lambda\; \_\{1\}e\_\{1\}+...+\backslash lambda\; \_\{k\}e\_\{k\}-\backslash upsilon\; ,\backslash \; e\_\{i\})=\backslash lambda\; \_\{i\}-(\backslash upsilon\; ,e\_\{i\})$, т.е. . Выбрав такие числа , получим требуемый вектор . 

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Если P-проектор, I-P - тоже проектор, причем Ker (I-P)=Im P и Im (I-P")=Ker P"?

 (1) если , то . состоит из векторов , т.е. . Аналогично . 

 (2) любой вектор можно представить в виде , где и . Кроме того, если , то . В самом деле, тогда и , поэтому . Следовательно, . Выберем в качестве базиса V объединение базисов Im P и Ker P. Вэтом базисе матрица оператора P имеет требуемый вид. 

 (3) Выберем в пространстве W ортонормированный базис . Рассмотрим вектор . Условие означает, что $0=(\backslash lambda\; \_\{1\}e\_\{1\}+...+\backslash lambda\; \_\{k\}e\_\{k\}-\backslash upsilon\; ,\backslash \; e\_\{i\})=\backslash lambda\; \_\{i\}-(\backslash upsilon\; ,e\_\{i\})$, т.е. . Выбрав такие числа , получим требуемый вектор . 

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Для любого вектора  существует единственная ортогональная проекция на подпространство W"?

 (1) если , то . состоит из векторов , т.е. . Аналогично . 

 (2) любой вектор можно представить в виде , где и . Кроме того, если , то . В самом деле, тогда и , поэтому . Следовательно, . Выберем в качестве базиса V объединение базисов Im P и Ker P. Вэтом базисе матрица оператора P имеет требуемый вид. 

 (3) Выберем в пространстве W ортонормированный базис . Рассмотрим вектор . Условие означает, что $0=(\backslash lambda\; \_\{1\}e\_\{1\}+...+\backslash lambda\; \_\{k\}e\_\{k\}-\backslash upsilon\; ,\backslash \; e\_\{i\})=\backslash lambda\; \_\{i\}-(\backslash upsilon\; ,e\_\{i\})$, т.е. . Выбрав такие числа , получим требуемый вектор . 

Какие операторы являются линейными?

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

 (5)  

 (6)  

Какие операторы являются линейными?

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

 (5)  

 (6)  

Какие операторы являются линейными?

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

 (5)  

 (6)  

Какие операторы являются нелинейными?

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

 (5)  

 (6)  

Какие операторы являются нелинейными?

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

 (5)  

 (6)  

Какие операторы являются нелинейными?

 (1)  

 (2)  

 (3)  

 (4)  

 (5)  

 (6)  

Оператор  Будет оператором:

Оператор  Будет оператором:

Оператор  Будет оператором:

 (1) поворота относительно оси OY на угол  

Какое собственное значение будет иметь матрица порядка n. 

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Какое собственное значение будет иметь матрица порядка n. 

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Какое собственное значение будет иметь матрица порядка n. 

 (1)  

 (2)  

 (3)  

Выберите верные утверждения:

 (1) ортогональную матрицу Q можно определить как такую матрицу, для которой транспонированная матрица равна обратной матрице  

Выберите не верные утверждения:

 (1) ортогональную матрицу Q можно определить как такую матрицу, для которой транспонированная матрица равна обратной матрице  

Выберите верные утверждения:

 (1) определитель ортогональной матрицы равен  

 (3) не всякая матрица с определителем равным , будет ортогональной 

Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что для нормального оператора в унитарном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов?

 (1) пусть . Тогда и $(Ax\_\{1\},x\_\{2\})=(x\_\{1\},A^\{\backslash ast\; \}x\_\{2\})=(x\_\{1\},\backslash lambda\; \_\{2\}x\_\{2\})=\%\; \backslash lambda\; \_\{2\}(x\_\{1\},x\_\{2\})$. Следовательно, . 

 (3) для любой нормальной матрицы А существует унитарная матрица С такая, что диагональна. Именно, в качестве С можно взять матрицу преобразования от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов. 

Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что ортогональность собственных векторов нормального оператора в унитарном пространстве, принадлежит различным собственным значениям?

 (1) пусть . Тогда и $(Ax\_\{1\},x\_\{2\})=(x\_\{1\},A^\{\backslash ast\; \}x\_\{2\})=(x\_\{1\},\backslash lambda\; \_\{2\}x\_\{2\})=\%\; \backslash lambda\; \_\{2\}(x\_\{1\},x\_\{2\})$. Следовательно, . 

 (3) для любой нормальной матрицы А существует унитарная матрица С такая, что диагональна. Именно, в качестве С можно взять матрицу преобразования от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов. 

Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что, евклидово пространство, в котором определен нормальный оператор А,раскладывается в прямую ортогональную сумму инвариантных одномерных и двумерных неприводимых подпространств?

 (1) пусть . Тогда и $(Ax\_\{1\},x\_\{2\})=(x\_\{1\},A^\{\backslash ast\; \}x\_\{2\})=(x\_\{1\},\backslash lambda\; \_\{2\}x\_\{2\})=\%\; \backslash lambda\; \_\{2\}(x\_\{1\},x\_\{2\})$. Следовательно, . 

 (3) для любой нормальной матрицы А существует унитарная матрица С такая, что диагональна. Именно, в качестве С можно взять матрицу преобразования от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов. 

Доказательство, какого следствия приведено ниже: Если  - угол между вектором  и подпространством W, то ?

 (1) причем равенство достигается только при  

 (3) для ортогональных векторов в m-мерное подпространство W, образующее с ними данные углы , существует тогда и только тогда, когда $\backslash frac\{\backslash cos\; ^\{2\}\backslash alpha\; \_\{1\}+...+\backslash cos\; ^\{2\}\backslash alpha\; \_\{n\}\}\{\backslash cos\; ^\{2\}-\backslash alpha\; \_\{i\}\}\%\; \backslash geq\; m$ при i=1,...,n. 

Доказательство, какого следствия приведено ниже: вектор   ортогонален всему пространству V.

 (1) если - ортонормированный базис пространства V и , то  

 (2) если w и - ортогональные проекции вектора на подпространства W и , то  

Доказательство, какой теоремы приведено ниже: Пусть  и . По определению , поэтому \backslash left\backslash Vert\; a\backslash perp\; b\backslash right\backslash Vert\; ^\{2\}=(a+b,a+b)=\backslash left\backslash Vert\; a\backslash right\backslash Vert\; ^\{2\}+\backslash left\backslash Vert\; b\backslash right\backslash Vert\; ^\{2\}

 (1) если - ортонормированный базис пространства V и , то  

 (2) если w и - ортогональные проекции вектора на подпространства W и , то  

 (3) если - ортогональная проекция вектора на подпространство W и , то \backslash left\backslash Vert\; v-w\_\{1\}\backslash right\backslash Vert\; ^\{2\}=\backslash left\backslash Vert\; v-w\backslash right\backslash Vert\; ^\{2\}+\backslash left\backslash Vert\; w-w\_\{1\}\backslash right\backslash Vert\; ^\{2\} 

Как будет выглядеть матрица X в уравнении 

Как будет выглядеть матрица X в уравнении 

Как будет выглядеть матрица X в уравнении 

Какая матрица, является обратной матрице 

Какая матрица, является обратной матрице 

Какая матрица, является обратной матрице  где 

Чему будет равен ранг матрицы 

Чему будет равен ранг матрицы 

Чему будет равен ранг матрицы 

Какая система линейных уравнений, из ниже перечисленных, не имеет решений?

Какая система линейных уравнений, из ниже перечисленных, не имеет решений?

Какая система линейных уравнений, из ниже перечисленных, не имеет решений?